《最短路径教学设计》PPT课件.ppt

1、第十三章 轴对称,13.4 课题学习 最短路径问题,人民教育出版社义务教育教科书八年级数学（上册),如图所示：从A地到B地有三条路可供选择，你会选择哪条路距离最短？你的理由是什么？,两点之间线段最短,探究一：最短路径问题的概念 1 提出问题：,探究一：最短路径问题的概念,(2)图中点C与直线AB上所有的连线中哪条线最短？,“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”,引言： 关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马题

2、”；和“造桥选址题”。,引入新知,【学习目标】 利用轴对称、平移变换等转化思想，结合线段公理解决最短路径问题。 【学习重、难点】通过轴对称、平移解决将军饮马和造桥选址的最短路径问题;如何理解通过轴对称、平移解决将军饮马和造桥选址的路径一定是最短.,134课题学习最短路径问题,相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：,探索新知,问题一： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？,探索新知,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题这个问题

3、后来被称为“将军饮马 问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？,探索新知,问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线,探索新知,探索新知,问2你能用自己的语言说明这个问题的意思， 并把它抽象为数学问题吗？,（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最 短的直线l上的点设C 为直线上的一个动点，上 面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图）,问1对于问题2，如何 将点B“移”到l 的另一侧B 处，满足直线l 上的任意一点 C，都保持CB 与CB的长度 相等？,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的

4、同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,问2你能利用轴对称的 有关知识，找到上问中符合条 件的点B吗？,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,作法： （1）作点B 关于直线l 的对称 点B； （2）连接AB，与直线l 相交 于点C 则点C 即为所求,探索新知,问题2 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直 线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？,探索新知,问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,证明：如图，在

5、直线l 上任取一点C（与点C 不 重合），连接AC，BC，BC 由轴对称的性质知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC,探索新知,问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,探索新知,问题3你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？,证明：在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC 即AC +BC 最短,问题二（造桥选址问题）如图13.4-6,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短?（假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直.),将实际问题中A，B两地与笔直的河L抽象成

6、点A.点B和直线a,b如图8,桥MN建在何处时，才能使AM+MN+NB最短呢？因为河的宽度MN是不变的，所以问题就转化为求AM+NB最短。怎样找出点M和点N的位置呢？事实上MN 与河两边垂直。因此只要找出M，N其中一点的位置就可确定另一点的位置。以在直线b上确定N点为例,AM+NB最短，要先确定点N在直线b的位置，如果我先将A点往直线a的垂直方向平移MN个单位后到A，由于MN垂直直线a，N点就是M点往直线b的垂直方向平移MN个单位后到的点，由图形平移后的对应点之间的线段是平行且相等的，得到AM=AN. AM+NB最短即AN+NB最短. 转变成了直线b上是找到一点N，使A N+NB最短,连结A,

7、B,与直线b相交的一点为N点,A,B,b,M,N,a,A,A,B,b,M,N,A,图11,将A点往直线a的垂直方向平移MN个单位后到A，连结A,B,与直线b相交的一点为N点,再过N点作NM a,与直线a的交点为M. 即MN为所求AM+MN+NB最短的位置（如图）.,a,作图过程：,提出疑问 这线段NM的位置就一定是A点到B点之间最短的吗？,在直线a,b上再取两点M,N与M,N不重合.（如图12） 求证：AM+MN+NBAM+MN+NB,A,B,b,M,N,A,a,M,N,图12,证明：把A点往直线a的垂直方向平移MN个单位后有了A,N为M点平移后的，N为M平移后，由图形平移后对应点间的线段平行

8、且相等得到：,最短路径问题,又 在,当堂检测1：,某供电部门准备在输电主干线L上连接一个分支线路，分支点为M，同时向新落成的A，B两个居民小区送电， （1）如果居民小区A，B在主干线L的两旁，如图1所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短 （2）如果居民小区A，B在主干线L的同旁，如图2所示，那么分支点M在什么地方时总线路最短,A,B,M,图1,l,l,A,B,M,图2,最短路径问题,当堂检测2：,如图，A、B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）,最短路径问题,归纳小结,（1）本节课研究问题的

9、基本过程是什么？ （2）轴对称、平移在所研究问题中起什么作用？解决问题中,我们应用了哪些数学思想方法?你还有哪些收获?,本节课以数学史中的一个经典问题“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，在利用轴对称和平移将线段和最小问题转化为“两点之间线段最短”（或三角形两边之和大于第三边）问题； 。,归纳小结,1.已知直线L上一动点和直线外一定点求最短路径，过定点作直线L的垂线段，垂线段即为最短路径，其理论依据是,“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.,2.已知直线L上一动点和直线L外两定点 （1）当两定点在L的异侧 得最短路径； （2）当两定点在L同侧，作其中一定点的 ，转化为（1）的情况在连线得最短路径,连接两点之间线段长度,对称点,4.在解决最短路径问题时，我们常利用 等变化把已知问题转化为容易解决的数学问题，从而作出最短路径。,轴对称和平移,3.已知两条平行线和两线异侧两个定点问题：再利用,利用平移图形将平行线间的距离平行移动,两点之间线段最短解决