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文档简介

1、其中,利用二次型的表示方法，方程,（1）可表示成下列形式：,（2）,为研究一般二次曲面的性态，我们需将二次 曲面的一般方程转化为标准方程，为此分两步进 行.,第一步，,利用正交变换x = Py 将方程（2）左,边的二次型xTAx的部分化成标准形：,其中P为正交矩阵，y =(x1, y1, z1)T,相应地有,于是方程(2)可化为,(3),第二步, 作平移变换,将方程(3),化为标准方程, 其中,这里只要用,配方法就能找到所用的平移变换.以下对,(1)当,是否为零进行讨论:,用配方法将方程(3)化为,标准方程:,(6-1),根据,与d 的正负号，可具体确定方程,（6-1）表示什么曲面.,例如,与

2、d 同号，,则方程（6-1）表示椭球面.,（2）当,中有一个为0，设,方程（3）可化为：,(6-2),(6-3),根据,与d 的正负号, 可具体确定方程(6-2),(6-3)表示什么曲面. 例如当,同号时, 方程,(6-2)表示椭圆抛物面. 当,异号时,方程,(6-2)表示双曲抛物面, (6-3) 表示柱面.,(3) 当,中有两个为0 , 不妨设,方程(3) 可化为下列情况之一:,此时, 再作新的坐标变换:,方程可化为:,表示抛物柱面;,表示抛物柱面;,表示抛物柱面;,例13,二次曲面由以下方程给出, 通过坐标,变换, 将其化为标准型，并说明它是什么曲面.,解,将二次曲面的一般方程写成矩阵形式

3、：,A 的特征值为,分别求出,它们所对应的特征向量，并将它们标准正交化：,取 P= ( p1 , p2 , p3 ) , 则 P 为正交矩阵. 作正交变换,x = Py , 其中,则有:,因此, 原方程可化为:,配方得:,令,则原方程化为标准方程:,该曲面为椭圆抛物面.,例14,将二次曲面 z = x y 的方程化为标准,方程, 并说明它是什么曲面.,解,z = x y 可写成 xy z = 0 , 令,该曲面方程用矩阵形式表示为:,A的特征值为,分别,求出它们所对应的特征向量, 并单位化得:,取P= ( p1 , p2 , p3 ) ，则P为正交矩阵. 作正交变换,x = Py ,则有：,因此，所给二次曲面化成标准方程为：,即,表示双曲抛物面（马鞍面）.,图6.18,注：,所作的正交变换实际上是一个旋转变换，z 轴不动，逆z 轴方向看去，x 轴，y 轴顺时针方向旋转45 0角.,例15,求 xoy 面上的椭圆,的面积. 其中, 0 ,0 .,解,设二次型,其系数矩阵,由于, 0 ,0 ,知T 正定,故特征值全大于0,其特征多项式为

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