第8章第8节曲线与方程(含轨迹问题)(理)

1、理 要 点 一、曲线与方程 在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系： (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解； (2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上 那么，这个方程叫做 ；这条曲线叫做 ,曲线的方程,方程的曲线,二、求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系建立适当的坐标系 (2)设点设轨迹上的任一点P(x，y) (3)列式列出动点P所满足的关系式 (4)代换依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式 等将其转化为x，y的方程式，并化简 (5)证明证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程,三、曲线的交点 设曲线C1的方程为F1(

2、x，y)0，曲线C2的方程为F2(x，y)0，则C1，C2的交点坐标即为方程组 的实数解，若此方程组 ，则两曲线无交点,无解,四、直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y(或x)得变量x(或y)的方程：ax2bxc0(或ay2byc0) 若a0，可考虑一元二次方程的判别式，有： 0直线与圆锥曲线 ； 0直线与圆锥曲线 ； 0直线与圆锥曲线 若a0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点,相交,相切,相离,究 疑 点 1由直线与圆锥曲线的位置关系知，直线与双曲线有 且只有一个交点的充要条件是什么？抛物线呢？,2若曲线与方程的对应关系中只满足

3、(2)条会怎样？,提示：若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”， 则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程,2设圆(x1)2y225的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点， Q为圆周上任一点，线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，求M的轨迹方程,3由抛物线y22x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q， 连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于点R， 求点R的轨迹方程,归纳领悟 1直接法求轨迹方程是求曲线方程的基本方法圆锥曲 线的标准方程都是由直接法求得的当轨迹易于列出动点(x，y)满足的方程时可用此法 2求动点轨迹时应注意它的完备性化简过程破坏了方 程的同解性

4、，要注意补上遗漏的点或者挖去多余的点“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，前者指曲线的形状、位置、大小等特征，后者指方程(包括范围).,2过点(2,0)的直线l和抛物线C：y28x有且只有一个 公共点，求直线l的斜率,归纳领悟 判断直线与圆锥曲线的位置关系时只需联立消元，消元后要注意方程的二次项系数是否含参数，若含参数需讨论，同时充分利用根与系数的关系求出x1x2，x1x2后进行整体运算变形,题组自测 1已知直线l与抛物线y28x交于A、B两点，且l经过抛 物线的焦点F，A的坐标为(8,8)，求线段AB的中点到准线的距离,归纳领悟 1求定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关 (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量， 从而得到定值 2定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为ykxb，然 后利用条件建立b、k等量关系进行消元，借助于直线 系的思想找出定点 (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关,一、把脉考情 从近两年的高考试题来看，求曲线的轨迹方程是高考的一个热点题型，一般考查直接法与定义法直线与圆锥曲线的位置关系、弦长、中点弦、最值等问题是高考的