第三章 统计描述.ppt

1、1-1,第三章 统计描述,第一节 分布的集中趋势 第二节 分布的离散趋势 第三节 分布的偏度与峰度,1-2,第一节 分布的集中趋势,一、统计平均指标概述 （一）定义：是同类社会经济现象在一定时间、地点条件下所达到的一般水平，是度量分布集中趋势或中心位置的指标。 （二）作用： 1.反映总体各单位变量分布的集中趋势和一般水平。 2.比较同类现象在不同单位的发展水平。 3.比较同类现象在不同时期的发展变化趋势或规律。 4.分析现象之间的依存关系。 (三)两种平均数 数值平均数：算术平均数，调和平均数，几何平均数。 位置平均数：中位数，众数。,1-3,二、算术平均数,（一）算术平均数的计算 1.简单算

2、术平均数：未分组的资料。 例：生产小组5个工人的日产量分别为28、25、30、35、42件，则平均工人日产量=（28+25+30+35+42）/5=32（件） 2.公式：,强度相对指标：,算术平均数：,1-4,2.加权算术平均数：已编制分配数列的情况下。,（1）单项式数列的算术平均数 例：某机械厂工人日产零件数的分配数列。,权数,加权,公式：,1-5,例：某年我国80个产棉大县的分配数列如表。,以组中值作为各组的代表值，假定各组标志值在组内分布是均匀的。,（3）下列两种情况，分组资料可以不考虑权数，而用简单算术平均数。 当各组的权数相同时。 当分布数列完全对称时。,(4)加权算术平均数的频率公

3、式。,（2）组距式加权算术平均数,1-6,3.正确选择权数当从相对数或平均数求平均数时,选择权数的准则：最终的平均指标的涵义要符合原来相对指标(平均指标)本身的涵义,例：某管理局所属15个企业销售计划完成情况资料如下表：,1-7,（二）算术平均数的数学性质,1.各单位标志值与算术平均数的离差之和等于0。,2.各单位标志值与算术平均数的离差平方和为最小。,1-8,4.变量线性变换的平均数等于变量平均数的线性变换。,3.若对每一个标志值加、减、乘、除一个常数A，则平均数也加、减、乘、除这个常数A。,或,或,1-9,5.n个独立总体各变量的代数和的平均数等于各总体变量平均数的代数和。,对两变量，有,

4、若两变量分别取值如下：,则有,那么,1-10,三、调和平均数（H）,（一）调和平均数的公式 1.调和平均数：又称倒数平均数，是标志值倒数的算术平均数的倒数。 2.简单调和平均数,例：某工厂工人日产零件数资料：,3.加权调和平均数,（二）调和平均数的应用场合 1.作为算术平均数的变形使用。权数m为各组的标志总量。即,1-11,2.从相对数或平均数求平均数时,例：某管理局所属15个企业销售计划完成情况资料如下表：,1-12,从相对数（或平均数）求平均数时: 若已知的是相对数（或平均数）的分子指标时，用调和平均数计算； 若已知的是相对数（或平均数）的分母指标时，用算术平均数计算。,1-13,例：已知

5、某地区甲、乙、丙三个乡粮食平均亩产和粮食总产量如表，求全区平均亩产。,（三）在运用加权调和平均数时，各组权数相等，就可以采用简单调和平均数。,1-14,四、几何平均数,（一）公式 1.简单几何平均数：,2.加权几何平均数,（二）应用：在某些情况下，若总体总量是由标志值相乘得出，这时平均数就应该用几何平均数的方式来计算。,例：1.某产品经过三个流水连续作业的车间加工生产而成，本月第一车间的产品合格率为90%，第二车间的产品合格率为80%，第三车间的产品合格率为70%。则全厂的总合格率为,这样平均合格率为,与算术平均数不同,1-15,例2：以复利计算利息。,若以单利计算：,可以看出，以复利计算利息

6、时，n年后本利率的总量为n个（1+r）相乘，所以本利率的平均数用几何平均数计算。,若以复利计算：,例:设某笔为期20年的投资按复利计算收益，前10年的年利率为10%，中间5年的利率为8%，最后5年的年利率为6%。求平均年利率。,1-16,练习：,1.三个工人加工某零件所需的时间分别为20、25、10分钟。问： （1）各做10小时工，平均每零件加工时间（分）。 （2）各完成10件零件，平均每零件加工时间（分）。 2.银行为吸收存款，逐年提高存款利率，5年各年分别为10%、12%、15%、18%、24%。若本金为1000元。问： （1）按算术平均数计算平均利率，第五年末的实际存款额是多少？ （2）

7、按几何平均数计算平均利率，第五年末的实际存款额是多少？ （3）哪种计算方法比较合理，为什么？,1-17,1.（1） （2） 2.（1） （2）,1-18,*幂平均数,1.k 阶简单幂平均数,2.k 阶加权幂平均数,1-19,3.当k取不同值时,所以，当用同样变量值资料和权数资料来计算时，,1-20,五、众数 （ ）：,众数 （ ）：出现次数最多的变量值。,1999年某市80个中型工业企业资料：,假定众数组的标志值的分布是均匀的。,1.未分组资料和单项式分组资料：出现次数最多的变量值。2.组距分组数列：（图示见P64页）,1-21,六、中位数（ ）,1.定义：将总体各单位按其标志值大小顺序排列，

8、处于中点位置单位的标志值，即为中位数。 2.未分组资料： 3.单项式分组：,例：(1) 7个人的成绩分别为：56、64、67、75、79、85、87分，,则中位数为75分,(2) 若6个人的成绩分别为：64、67、75、79、85、87分，,则中位数为（75+79）/2分，即77分。,中位数,(3) 某工厂工人的月工资分布数列如表。,1-22,4.组距分组数列,（1）确定“中位数组”。 （2）假定中位数组内分布是均匀的，计算出中位数来。,20百万元,30百万元,第35个,第55个,第40个,共20个,向上累计时,向下累计时,1-23,七、其他分位数,一般，将能够将全部总体单位按标志值的大小等分

9、为K个部分的数值称为“k分位数”， k分位数共有K-1个。,中位数可以称为二分位数。,常见的分位数有四分位数、十分位数。,1-24,四分位数,是将全部总体单位按标志值大小等分为四部分的3个数值：,1/4分位数，下四分位数,中位数,3/4分位数，上四分位数,1-25,若是未分组或单项式分组资料：,若是组距式分组资料：,1-26,八、各种平均数的比较,（一）数值平均数与位置平均数比较 1.数值平均数具有更强的概括能力。 2.数值平均数容易受到数列中极端值的影响。 3.对数据量化尺度的要求不同。 数值平均数只适用定距尺度和定比尺度；而位置平均数还适用定序尺度和定类尺度。,1-27,（二）各种数值平均

10、数的比较 1.各自的适用场合不同。 2.某些特殊值对数值平均数的影响。 例如：0，负数等。,1-28,（三）众数、中位数和算术平均数的关系,正态分布,正偏分布,负偏分布,皮尔生规则,在适度偏态情况下,1-29,根据上述关系，可以从已知的两个平均指标推算另一个平均指标。 例如，某科考试结果，有半数考生成绩在80分以上，得84分的考生最多，试估计平均成绩，以判断成绩分布的偏斜情况。 解：已知me=80，mo=84,1-30,前例中：,1-31,第二节 分布的离散趋势,一、变异指标概述 1.概念：用来描述总体分布的离中趋势或分散程度的指标。 2.作用： （1）用以说明平均指标的代表性程度。,（2）反

11、映社会经济现象变动的均匀性和稳定性。 （3）研究总体标志值偏离正态的情况。 （4）是进行抽样推断等统计分析的一个基本指标。,例如：假定某车间两个小组工人的月工资（元）资料如下。 甲：800，900，1000，1100，1200。 乙：900，950，1000，1050，1100。,3.两类： （1）标志变异指标 ：反映总体中各变量值离散程度的指标。 （2）分布变异指标：描述分布状态的指标，说明统计分布偏离正态分布的情况。,1-32,二、极差（ ）,又称“全距”,例如：假定某车间两个小组工人的月工资（元）资料如下。 甲：800，900，1000，1100，1200。 乙：900，950，1000

12、，1050，1100。,在分组条件下,三、四分位差（ Q.D ）,为了排除部分极端值对变异指标的影响，从总体分布中剔除最大和最小各四分之一的单位，再对剩下的总体半数单位计算全距，即上四分位数与下四分位数之差，称为“四分位间距”。 “四分位间距”的一半称为 “四分位差”：,1-33,三、平均差（ ）,是总体各单位标志值对算术平均数的绝对离差的算术平均数。,1.公式：,例如：假定某车间两个小组工人的月工资（元）资料如下。 甲：800，900，1000，1100，1200。 乙：900，950，1000，1050，1100。,1-34,2.平均差系数,当水平不同或计量单位不同的总体之间比较离散程度时

13、，不能直接用平均差（标准差、极差)等变异指标，而要用变异系数（平均差系数、标准差系数、极差系数等。）,又如： 丙：1800，1900，2000，2100，2200。,甲：800，900，1000，1100，1200。,1-35,四、方差（ ）和标准差（ ）,（一）公式： 将平均差公式中的绝对值符号换成平方，得到方差的公式，将方差开方便为标准差。,对于分组资料，有加权公式。,仍用前面的例子：,（二）标准差系数,To,over,1-36,400,100,100,0,400,2800,2100,0,1900,3200,_,10000,back,1-37,（三）总方差、组内方差和组间方差,组间方差反映

14、组平均数对总平均数的方差。,总方差表示总体各标志值对总平均数的方差。,有,其中,组内方差反映组内部标志值对组平均数的方差。,称为“方差的加法定理”。,可以计算：经验相关比指数,表示在总体变异中，有多少是由于分组因素引起的。,在总体分组的情况下，变量的总方差可以分解为组内方差和组间方差两部分。,1-38,P86:20,（1）计算各组的组平均数和组内方差和组内方差平均数。,第一组,第二组,第三组,（2）计算组间方差。,（3）验证,1-39,（四）方差的数学性质,1.变量的方差等于变量平方的平均数减去变量平均数的平方。,由于,2.变量线性变换的方差等于变量的方差乘以变量系数的平方。,对于标准差：,3

15、.n个独立总体各变量代数和的方差，等于各变量方差之和。,若两变量：,对于标准差：,1-40,五、成数指标,1.“是非”标志：将总体分成具有 某种性质和不具有某种性质两部分,我们所关心标志的称为“是”，另一部分称为“非”。 2.成数：设总体的n个单位中，具有 某种特征的单位数是n1个，不具有某种特征的单位数是n0个，n1+n0=n 。则有 具有某种特征的单位的成数为,3.是非标志数量化,不具有某种特征的单位的成数为,例如：设某批电子元件100件产品，经检验有92件合格，8件不和格。则有,1 （当单位具有某种特征）,0 （当单位不具有某种特征）,“01分布”,1-41,4.“01”分布的数值特征,当p=q=0.5时，01变量分布的方差有最大值，即0.25。,1-42,六、标准