集合论创始人康托尔.ppt

1、1/39，集合论的创立和康托的相遇，19世纪末数学界发生了引人注目的事情。一位名叫康托尔(G.Cantor，18451918)的德国数学家提出了一个奇怪的理论集合论。其内容不符合常识，一出生就引起了轩然大波。自17世纪牛顿和莱布尼茨创立微积分理论体系以来，近200年来，微积分理论缺乏严格的逻辑基础。它的几个茄子基本概念的表达，还有一些混乱和自相矛盾。从19世纪开始，柯西、拜尔斯特拉斯等公司做了严格的微积分理论工作。他们建立了极端理论，把极端理论的基础归结为错误理论。那么，错误理论的基础是什么呢？康托试图将集合论作为错误理论，甚至是整个微积分理论体系的基础。4/39，为了这一目的，康托以聚合的观

2、点重新审视了各种数量关系，尤其是无限数量的关系。他的发现，无穷的集合，具有没有弓箭手关系的性质。例如，在无限集合区域中，所有整数和所有偶数之间的一一对应，所有有理数和所有整数之间的一一对应，平面中的所有点和线段上的所有点都是一对一对应，即在无限世界中，整个元素和部分的所有元素之间的一一对应。此外，无限集并不都是相同的。例如，所有错误和所有有理数之间不是一对一的对应关系。因此无限集合是大小的。集合论使用“基数”的概念来表示无限集合之间的差异。所以，有最大的集合吗？康托通过研究否定了牙齿思想。由于每个已知集合的所有子集集合组成的集合，基数大于已知集合的基数。因为没有最大的基数，当然也没有最大的集合

3、。无穷无尽的世界里的这些性质，一开始看起来真的很乱，眼前很眩。5/39，康托的研究结果发表后不久，受到了当时著名数学家的激烈攻击。德国数学家克隆尼克是牙齿人群中最激烈、攻击时间最长的人。克隆尼克比康托大22岁。他主张，不能认为数学对象存在于数学上，除非可以通过有限的程序在自然数中制造。他有“名言”。“上帝创造了自然数，剩下的是人做的事。”因此，他否认了无理数的存在和极限理论的意义。康托是他的学生，但集合论的内容与他的主张大相径庭，克隆尼克简直无法接受。他认为对Contol有限数量的研究是一种非常危险的数学疯病。受克隆尼克的影响，康托的学术论文一再推迟发表日期。除了克隆尼克，一些著名数学家也发表

4、了反对集合论的意见。法国数学家彭加莱说：“我个人，不仅仅是我一个人。重要的一点是不要引入不能用限定的字完全定义的东西。”他将集合论视为有趣的“病理情况”，预测：“下一代将把(Cantor)集合论视为疾病，人们已经康复了。”，德国数学家魏尔认为康托对骑手的等级观点是雾上的雾。菲利克斯克拉印度也不赞成集合论的思想。数学家Haschwaz本来是Contol的朋友，但他反对集合论，与Contol断绝了来往。7/39，希尔伯特等著名数学家赞成他的集合论，但他的集合论实际上取得了巨大的成功，但康托没有感到高兴和满足。从1884年春天开始，也就是他40岁的时候，他患有严重的抑郁症，极度沮丧，表情不安。但是在

5、精神病发作的间歇阶段，康托仍然顽强地坚持集合论的研究。而且每次从精神病发作中恢复过来，他都感到自己的大脑格外清晰。他在集合论方面取得了很多卓越的成果，都是在精神病发作的间歇时期取得的。但是，长期精神顾问所造成的损失是不可忽视的。健康每况愈下，他于1918年在哈勒大学附属精神病医院去世。直到8/39，20世纪初，集合论得到了数学家的赞同。数学家们陶醉于所有数学成果都可以建立在集合论基础上的前景。他们乐观地认为，在算术巩俐系统中，通过集合论的概念，可以建设整个数学的大厦。1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱高兴地宣布：“数学被算术化了。”今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。“但是这种

6、自满情绪并没有持续很久。不久，集合论有漏洞的消息迅速传遍了数学界。这就是罗素在1902年得到的罗素悖论。9/39，罗素组成了所有不属于他的集合R(即元素自己)。现在问你是否属于R牙齿R？如果R属于牙齿R，那么R必须不属于它本身，因为R符合R的定义。也就是说，R不属于R。另一方面，如果R不属于牙齿R，则R不满足R的定义，因此R必须属于自身，即R。这样，在任何情况下都有矛盾。这是属于集合论和两个茄子最基本概念的悖论，这样简单明了，根本没有借口解释集合论的漏洞。(威廉莎士比亚哈姆雷特)绝对严密的数学本身陷入了矛盾之中。这就是数学史上的第三次数学危机。10/39，1908年，切梅罗提出了公理化集合论，之后进行了改进，形成了没有矛盾的集合论公理体系，简称ZF公理体系。原来的直觉集合概念是在严格的公理的基础上构建的，从而避免了悖论的出现。这是集合论发展的第二阶