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第一节 重积分的概念与性质,特点：平顶,柱体体积=？,特点：曲顶,1、曲顶柱体的体积,一、问题的提出,曲顶柱体,求曲边梯形面积的步骤：,分割、近似、求和、取极限,这里，我们求曲顶柱体体积也采用这一思想。,步骤如下：,（3）求出所有小平顶柱体 体积之和；,（1）先分割曲顶柱体的底， 并取典型小区域；,（4）取极限即得曲顶柱体的体积,（2）作小平顶柱体近似代 替小曲顶柱体；,2、求平面薄片的质量,（1）将薄片分割成若干小块；,（2）取典型小块，将其近似 看作均匀薄片；,（4）取极限得薄片总质量,（3）求出均匀薄片质量和；,步骤如下：,二、二重积分的概念,定义：,积分区域,积分和,被积函数,积分变量,被积表达式,面积元素,（1）二重积分的值只与被积函数和积分区域有关， 而与积分变量的选取和区域的划分无关。,（2）被积函数在积分区域连续，则积分存在。,（3）几何意义：曲顶柱体体积（被积函数为正）。,（4）类似二重积分可得三重积分定义式：,体积元素,（5）当对积分区域的划分采用与坐标轴（面）平行的 直线（平面）时，可得,故也有,三、二重积分的性质（与定积分类似）,性质1：,性质2（线性性）：,性质3（可加性）：,性质4（比较定理）：,性质5：,性质6（估值不等式）：,性质7（积分中值定理）：,例1、根据二重积分的几何意义，确定下列积分值：,例2、比较下列二重积分的大小。,例3、估计下

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