1.3.1相似三角形的判定 ppt课件3 高中数学 选修4-1 新人教A版.ppt

1、1.相似三角形的判定,1.理解相似三角形和相似比的概念，理解预备定理的本质. 2.掌握相似三角形的判定定理，能应用相似三角形的判定定理证明相关几何问题. 3.经历从试验探究到归纳证明的过程，发展逻辑思维能力.,1.本节课的重点是相似三角形判定定理的应用. 2.本节课的难点是相似三角形判定定理的证明.,1.相似三角形的定义 (1)定义：_相等、_成比例的两个三角形. (2)相似比(相似系数)：相似三角形_的比值. 2.预备定理 如图，在ABC中， 条件：_, 结论：_.,对应角,对应边,对应边,DEBC,ADEABC,3.相似三角形的判定定理 在ABC和ABC中， (1)判定定理1： 条件：A_

2、，B_， 结论:_. (2)判定定理2： 条件：A_， = ， 结论：_.,A,B,ABCABC,A,ABCABC,_,(3)判定定理3： 条件： = = ， 结论：_. 4.引理(平行于三角形一边直线的判定) 如图，在ABC中， 条件： , 结论：_.,ABCABC,DEBC,_,_,_,5.直角三角形相似的判定 在RtABC和RtABC中，CC90， (1)条件：A_， 结论：_. (2)条件： = ， 结论：_.,A,RtABCRtABC,RtABCRtABC,_,1.若两个等腰三角形有一对角对应相等，能判定这两个等腰三角形相似吗？ 提示：不一定.对于两个等腰三角形，只需有一顶角或底角对

3、应相等即可.若两等腰三角形的一底角相等，则另一底角也相等，由判定定理1即可判定相似；若顶角对应相等，则它们的两底角也对应相等，由判定定理1亦可判定相似；若一等腰三角形的顶角和另一等腰三角形的底角相等，它们不一定相似.,2.如图，ACEFBD，图中有哪些三角形与OEF相似？ 提示：ACEFBD，由三角形相似的预备定理，可知OCA,ODB都与OEF相似.,3.如图，D,E分别为ABC中AB, AC边上的点，请你添加一个条件， 使ADE与ACB相似，你添加的 条件是_(只需填上你认为正确的一种情况即可). 【解析】在ADE与ACB中，AA，只要再有一个角对应相等或夹这个角的两边对应成比例即可. 答案

4、：CADE(或BAED，或 ),4.已知ABC的三边长分别为 ， ， ，A1B1C1的两边长分别为1和 ，当A1B1C1的第三边长为_时，ABC与A1B1C1相似. 【解析】根据已知，由相似三角形三边对应成比例可知， 与1是对应边， 与 是对应边，所以所求边与 是对应边，设A1B1C1的第三边长x，则 解得x . 答案：,5.如图，点P是RtABC的斜边AB上异于A,B的一点，过P点作直线截ABC，使截得的三角形与ABC相似，满足这样的条件的直线共有_条.,【解析】根据直角三角形相似的条件，过点P分别作与AB,AC,BC垂直的直线截得的三角形都与ABC相似.这样的直线共有3条. 答案：3,1.

5、对相似三角形概念的理解 对应角相等是保证两个三角形的形状一样的关键；相似比是衡量两个三角形“大小”关系的关键，当相似比为1时，两个三角形全等.,2.相似三角形的预备定理的结构特征 如图，在ABC中，点D,E分别在AB,AC 边上，DEBC. 其一，无论点D,E分别在AB,AC边上的 什么位置，只要DEBC，就有A, ADE,AED保持不变(ADEB， AEDC)，由此可以得出相似三角形的判定定理1.,其二，无论点D,E分别在AB,AC边上的什么位置，只要DEBC，就有A保持不变， ，由此可以得出相似三角形的判定定理2.,3.关于判定定理2的证明 利用“引理(平行于三角形一边直线的判定)”证明相

6、似三角形判定定理2是非常容易的.下面给出绕开引理、采用判定定理1思路的证明方法.,【证明】如图，在AB上截取AD=AB，过D作DEBC,交AC于点E. ADEABC, ,即 又 即 又AD=AB,AE=AC. A=A, ADEABC, ABCABC.,4.判定三角形相似的三种基本类型 (1)平行线型 (2)相交线型,(3)旋转型,E,C,B,1,A,相似三角形预备定理的应用 【技法点拨】 应用预备定理判定相似三角形的方法 (1)已知三角形一边的平行线时，可以应用预备定理判定两个三角形相似. (2)当已知条件有平行四边形时，利用平行四边形的对边平行，发现预备定理的基本图形.,【典例训练】1.如图

7、，在 ABCD中， EFAB，DEEA23，EF4 cm， 则CD的长为_. 2.如图，点E为 ABCD的边BC延长线 上一点，连接AE，交边CD于点F，在 不添加辅助线的情况下，请写出图中 的相似三角形_.,【解析】1.EFAB，DEFDAB， DEEA23，DEDA25， 解得AB10 cm.CDAB10 cm. 答案：10 cm,2.四边形ABCD是平行四边形， ADBC，ABCD. 由ADCE，得ADFECF； 由ABCF，得ECFEBA. 因此，图中的相似三角形有： ADFECF，ECFEBA，ADFEBA. 答案：ADFECF,ECFEBA,ADFEBA,【归纳】解答题1，2的关键

8、点及解答题2时易错的问题 提示：(1)题1中的EFAB，题2中的 ABCD，都存在预备定理的基本图形，于是应用预备定理判定三角形相似 (2)解题2时，容易漏掉ADFEBA,【变式训练】如图，ABCD，AEFD， AE,FD分别交BC于点G,H，则图中共有 _对相似三角形. 【解析】ABCD， ABGECG，BFHCDH. AEFD，CGECHD，BFHBAG. ABGDCH，BFHCEG. 因此，图中共有6对相似三角形. 答案：6,相似三角形判定定理的应用 【技法点拨】 利用判定定理判定相似三角形的方法 (1)当已知两个三角形有一对对应角相等时，可以证明另一对对应角相等，应用判定定理1证明这两

9、个三角形相似；或者证明夹这个角的两边对应成比例，应用判定定理2证明这两个三角形相似.,(2)当已知两个三角形有两组对应边成比例时，可以证明这两组对应边的夹角相等，应用判定定理2证明这两个三角形相似；或者证明第三组边也成比例，应用判定定理3证明这两个三角形相似.,【典例训练】 1.如图，在ABC中，A47，AB1.5，AC2；在EFD中，E47，DE2.8，EF2.1，则ABC与EFD_.(填“相似”或“不相似”),2.如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且BACBDCDAE. (1)求证BEADCDAE. (2)根据图形特点，猜想 可能等于哪两条线段的比 (只须写出图中已有线段的一

10、组比即可)？ 并说明你猜想的正确性.,【解析】1.探索夹A的两边与夹E的两边是否对应成比例，根据相似三角形的判定定理2进行判定. 在ABC与EFD中， 又AE47，ABCEFD. 答案：相似,2.(1)BACDAE， BACEACDAEEAC， 即DACEAB. AEBDAEADE， ADCBDCADE，DAEBDC， AEBADC，ABEACD， BEADCDAE.,(2) 这是因为： 由(1)知ABEACD， 又BACDAE，ABCAED， ,【思考】如何根据求证的比例线段寻找相似三角形？ 提示：(1)比例线段的每个比的前项线段与后项线段，分别涉及三个端点，分别由三个端点确定两个三角形，只

11、要证明这两个三角形相似即可如解第2题时，由等积式BEADCDAE变形为比例式 比例式的前项线段BE,AE中的A,B,E确定ABE；后项线段CD,AD中的A,C,D确定ACD.于是，只要证明ABEACD即可.这种方法称为“三点定相似三角形”.,(2)当由比例线段不能直接确定两个三角形时，可以考虑等线段或等比线段进行代换，然后再利用“三点定相似三角形”的方法.,【变式训练】如图，点C,D在线段AB上，PCD是等边三角形，CD2ACDB. (1)求证：ACPPDB； (2)求APB的度数. 【解析】(1)PCD是等边三角形， PCPDCD，DCPCDP60， ACPPDB120. CD2ACDB，

12、，,ACPPDB. (2)由(1)得ACPPDB， APCB， APBAPCCPDDPB B60DPB6060120.,直角三角形相似的判定 【技法点拨】 直角三角形相似的判定方法 (1)相似三角形的判定定理1,2,3都适用于直角三角形相似的判定. (2)两个直角三角形，已经具备直角对应相等，只要再证明有一对锐角相等，或夹直角的两边对应成比例，就可以证明这两个直角三角形相似.,【典例训练】 1.如图，四边形ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC上的点， 要使ABP与ECP相似，还需具备的一个条件是_.,2.如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，BFAD,CEAD. 求证：,【解析】1.四

13、边形ABCD是正方形， BC90. (1)需有一个锐角对应相等，使ABP与ECP相似，添加的条件可以是： 当BAPCEP(或APBEPC)时， ABPECP. 当BAPCPE(或APBPEC)时， ABPPCE.,(2)由夹直角的两边对应成比例，使ABP与ECP相似，添加的条件可以是： 当 =2,即BP2PC(或PC BP或PC BC)时，ABPECP. 答案：BAPCEP(答案不唯一),2.AD是BAC的平分线， CAD=BAD. 又CEAD,BFAD, AEC=DFB=90， ACEABF， 又CDE=BDF，CDEBDF， ,【互动探究】若题2的条件不变，求证： 【解题指南】由已知条件可

14、证RtACERtABF, RtCDE RtBDF，借助“中间比”转化即可. 【证明】AD是BAC的平分线，CAD=BAD， 又CEAD,BFAD，AEC=BFD=90. ACEABF, 又CDE=BDF, CDEBDF, ,【想一想】如何寻找相似的两个直角三角形？ 提示：(1)注意观察图形特征，找出能得到直角的条件解题1时，正方形的每个角都是直角；解题2时，由BFAD，CEAD，可以得到直角.然后再证明有一个锐角对应相等即可. (2)当已知或能证明夹直角的两边对应成比例时，两个直角三角形相似,【变式训练】如图，正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F在BC上，且CFBC14，求证：,【证明】设

15、正方形ABCD的边长为4a，则ADBC4a，DEEC2a. CFBC14，CFa, 2， 2， 又DC90， ADEECF，,利用相似三角形证明比例线段 【技法点拨】 利用相似三角形证明比例线段的方法与技巧 (1)由求证的比例线段直接确定相似三角形(三点定相似三角形). (2)求证的比例线段不能确定相似三角形时，可以考虑寻求中间线段或中间比进行过渡，转化为证明其他三角形相似. (3)作平行线，构造相似三角形，这是一个常用的技巧.,【典例训练】 1.如图，点P是 ABCD的边DC的延长线上的任意一点，AP与BD,BC分别交于点M,N.求证：AM2MNMP.,2.如图，在ABC中，D是AB的中点，

16、 F在BC的延长线上，连接DF交AC于E. 求证：,【证明】1.四边形ABCD是平行四边形， ABDC，ADBC. 由ABDP，得AMBPMD， 由ADBC，得NMBAMD， AM2MNMP.,2.过点C作CGAB交DF于G. CGF=BDF, GCF=ABC， FGCFDB， 又D是AB的中点， BD=AD， 又CGAB，BAC=ECG,EGC=ADE， EGCEDA， ，,【规范解答】应用相似三角形证明相关几何题 【典例】(12分)如图，已知ABC中，BAC=90，ADBC于D，E是AC的中点，连接ED并延长与AB的延长线交于F. 求证：,【解题指导】解答本题应重点关注以下几点：,【规范解

17、答】BAC=90,ADBC,1分 ACB=BAD，RtCABRtADB, .5分 又E是AC的中点， AEDEEC， DAE=ADE，BAD=BDF. 又F=F,FDBFAD.8分 ，所以 .12分,【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的见规范解答过程),【规范训练】(12分)如图，在ABC中，D为AB的中点，P为BC延长线上一点，且CAP=B，DP与AC交于点E. 求证：,【解题设问】(1)本题有两对对应角相等吗？能证明两个三角形相似吗？_. (2)不用三角形相似能得到与 有关的比例线段吗？应采取什么措施？_ _.,有，能,能，添加与AD平行的直线

18、，利用平行线分线段成,比例定理的推论,【规范答题】过点C作CFAB交DP于点F. CFAB， ， 4分 而AD=BD， 6分 又CAP=B，CPA=APB, CAPABP， PA2=PBPC，10分 即 12分,1.已知如图，DEAC，且 = ，则DBE与CBA的相似比为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选D.DEAC，且 = ， 即 DBE与CBA的相似比为 .,2.如图，在等边三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且 AE=BE，则有( ) (A)AEDBED (B)AEDCBD (C)AEDABD (D)BADBCD 【解析】选B.设AB6， 则AD2，AEBE3，CD4， 因为 , ,A=C=60, 所以AEDCBD.,3.如图，若A，B，C，P，Q，甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点，为使ABCPQR，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的( ) (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁,【解析】选C.每个小正方形的边长为1，则AB2，PQ4，ACBC ，点R到点P，Q的距离都等于 ，所以 此时两个三角形的三条边对应成比例，ABCPQR.而丙表示的点到点P，Q的距离都等于 ，故应选C.,4.如图，在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC，BD相交于点O.若AD1，BC3，则 的值为_. 【解析】四边形ABCD是梯形，ADBC