第3章计算机图形学.ppt

1、第一篇 基 础,第3章 几何变换,2006年7月5日,上海交通大学计算机系 何援军,#,2,主要内容,图形变换的基本描述 图形变换的几何化表示 投影与投影变换 透视变换 视图变换 总结,3.1 图形变换的基本描述,齐次坐标 二维变换 三维变换,图形几何变换,图形变换分为两种： 图形不变，而坐标系发生变化； 坐标系不变，而图形的位置和形状发生变化。,图形的几何变换是指图形的几何信息发生变化，而拓扑关系不变。,图形几何变换的基本思想,由于图形可以用点集来表示，也就是说点集定了，则图形也就确定了，那么，如果点的位置改变了，图形也就随之改变。因此，对图形进行变换，只要变换点就可以了。 由于点集可以用矩

2、阵的方式来表达，因此图形的变换可以通过相应的矩阵运算来实现。即：,旧点集 变换矩阵 新点集,矩阵运算,数乘,矩阵乘法。矩阵A=(aij)2X3,矩阵B=(bij)3X2，则,图形变换的数学基础矩阵运算,齐次坐标,为了能用矩阵的形式统一描述图形变换，在计 算机图形学中常采用齐次坐标的形式来描述空 间的点。 所谓齐次坐标表示法就是用n+1维向量表示一个 n维向量。 二维点（x,y）的齐次表示是（hx,hy,h），这 里h是任何一个非零因子，有时叫做比例因子。 齐次点（a,b,c）被投射回复到二维时简单地就 是（a/c,b/c）,由比例因子c去除。,注意：齐次坐标表示不是唯一的，当h为1时称为规格化

3、的 齐次坐标。,二维基本变换,比例变换 平移变换 旋转变换 对称变换 错切变换,二维基本变换,1、比例变换,图形中的坐标点P(x,y）,若在X轴方向变化一个比例系数sx，在Y轴方向变化一个比例系数sy，则新坐标点P(x,y）的表达式为：,二维基本变换,变换方程写成齐次坐标矩阵形式为：,这一变换称为相对于坐标原点的比例变换, sx 和sy分别表示点P(x,y）沿X轴方向和Y轴方向相对坐标原点的比例变换系数。,二维基本变换,比例变换的性质,当 时，变换前的图形与变换后的图形相似 当 时，图形将放大，并远离坐标 当 时，图形将缩小，并靠近坐标原点 当 时，图形将发生畸变,二维基本变换,2、平移变换,

4、平移变换是指将图形从一个坐标位置移到另一个坐标位置的重定位变换。已知一点的原始坐标是P(x,y），加上一个沿X，Y方向的平移量tx 和ty ，平移此点到新坐标（xtx,yty）,则新坐标的表达式为：,二维基本变换,3、旋转变换,绕坐标原点旋转角度（逆时针为正，顺时针为负）。,（1）,假定P点绕原点逆时针旋转角到P点， 则：,（2）,将式（1）代入式（2）得：,二维基本变换,则变换矩阵为：,注意：旋转变换只能改变图形的方位，而图形的大小和形状不变。,二维基本变换,4、对称变换,对称变换是产生图形镜象的一种变换，也称镜象变换或反射变换。,（1）对称于X轴的坐标变换,点对X轴对称时：x=x，y=-y

5、 则变换方程为,二维基本变换,（2）对称于Y轴的坐标变换,点对Y轴对称时，有： x=-x，y=y 则变换方程为：,二维基本变换,（3）对称于原点的坐标变换,点对坐标原点对称时有： x=-x，y=-y 则变换矩阵为：,二维基本变换,（4）对称于45线的坐标变换,点对45 线的对称就是X、Y互换坐标，即 X=Y、Y=X， 则变换矩阵为：,二维基本变换,（5）对称于-45线的坐标变换,点对-45线对称时，有：X=-Y，Y=-X，则变换矩阵为：,x,o,y=-x,二维基本变换,错切（shear）变换是轴上点不动，其它点沿平行于此轴方向移动变形的变换。错切变换也称为剪切、错位或错移变换。,5、错切变换,

6、二维基本变换,（1）沿X轴方向关于Y轴的错切,将图形上关于y轴的平行线沿x方向推成角的倾斜线，使新的坐标值x在原有值得基础上增加了一个增量，而保持y坐标不变。即整个图形在等高的前提下沿X轴倾斜了一个角度。,x,二维基本变换,x,其中：a为错切系数，当a0时沿+X向错切，当a0时沿-x向错切。,二维基本变换,（2）沿Y轴方向关于x轴的错切,将图形上关于x轴的平行线沿y方向推成角的倾斜线，使得Y坐标产生一增量，而保持x坐标不变。,二维基本变换,注意：上述的错切方向均是对第1象限的点而言，其余象限的 点的错切应作相应的改变。,b为错切系数，当b0时沿+Y向错切，当b0时沿-Y向错切。,5种二维基本变

7、换的变换矩阵都可以用如下的3*3矩阵来描述：,（1）左上角的2*2子块可实现比例、旋转、对称、错切四种 基本变换； （2）左下角的1*2子块可实现平移变换； （3）右上角的2*1子块可实现投影变换； （4）右下角的1*1子块可实现整体比例变换。,变换矩阵的功能分区,由多种基本变换组合而成的变换称之为组合变换，或称为基本变换的级联，相应的多个基本变换矩阵的级联矩阵叫做组合变换矩阵。,设图形经过n次基本几何变换，其变换矩阵分别为T1,T2, Tn，则复合变换矩阵为: T=T1T2 Tn。,二维组合变换,二维组合变换,1、绕任意点（x0,y0）旋转,绕任意点旋转变换的步骤： （1）平移变换 （2）对

8、图形绕原点进行旋转变换 （3）平移变换,二维基本变换,令：,则有：,二维基本变换,2、相对于任意位置直线的对称变换,相对于任意位置直线的对称变换的步骤： （1）平移变换 （2）对图形绕原点进行顺时针旋转变换 （3）对称变换 （4）对图形绕原点进行逆时针旋转变换 （3）平移变换,二维基本变换,令：,则：,二维基本变换,1、用基本变换的级联来实现图形的组合变换时，矩阵级联的顺序不同，则所得到的最终结果图形也不同。 2、对于一般条件下的图形变换，解决问题的思路可以分为3步：首先把任意的一般条件转化为特殊条件，即符合基本变换的条件，然后应用基本变换，最后恢复到原来的初始状态。,注意：,复习题,1、写出

9、下列齐次坐标表示的二维坐标。 （6 ，18 ，3），（5 ，8 ，1），（4 ，6 ，8） 2、在齐次坐标系中，写出下列变换矩阵： （1）整个图形放大2倍。 （2）x向放大3倍，y向放大4倍。 （3）y方向上移10个单位，x方向上右移5个单位。 （4）对称于-45线的坐标变换。 （5）图形绕原点顺时针旋转90。 （6）相对点(4,5) 的比例变换，x方向比例系统为a，y方向的比例系数为b。,复习题,3、如下图所示三角形ABC，将其关于A点逆时针旋转60，写出其变换矩阵和变换后图形各点的规范化齐次坐标。,三维基本变换,每个三维点(x,y,z)对应于一个齐次坐标x,y,z,1。所有的三维变换都可通

10、过乘以一个44的变换矩阵来进行。,1. 平移变换 2. 缩放变换 3. 旋转变换 4. 对称变换,三维基本变换,1、平移变换,假定将空间一点P(x,y,z)平移到点p(x,y,z)，沿x轴、y轴和z轴方向的平移量分别为d1、d2和d3，则可构造平移矩阵T：,三维基本变换,2、比例变换,（1）局部比例变换 假定点P相对于坐标原点沿X方向放缩Sx倍，沿Y方向放缩Sy倍，沿Z方向放缩Sz倍，其中Sx、Sy和Sz称为比例系数，则可构造比例矩阵T：,三维基本变换,（2）整体比例变换,其变换矩阵为：,当s1时，则三维图形产生三向等比例缩小的变换； 若0s1，则产生等比例放大的变换； 因此，s被称为全比例变

11、换系数。,三维基本变换,3、旋转变换,三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转轴和旋转方向。 以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变换矩阵。 规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针方向。,三维基本变换,旋转角度为时，点的正旋转方向： 旋转轴 相应的旋转方向 x轴从y轴到z轴 y轴从z轴到x轴 z轴从x轴到y轴,三维基本变换,（1）绕z轴旋转变换,三维图形绕Z轴正向旋转时，图形上各顶点z坐标不变，x、y坐标的变化相当于

12、在XY二维平面内绕原点逆时针旋转。则构造变化矩阵如下：,三维基本变换,（2）绕X轴旋转变换,三维图形绕X轴正向旋转时，图形上各顶点x坐标不变，y、z坐标的变化相当于在YZ二维平面内绕原点逆时针旋转。则变换矩阵为：,三维基本变换,（3）绕Y轴旋转变换,三维图形绕Y轴正向旋转时，图形上各顶点y坐标不变，x、z坐标的变化相当于在XZ二维平面内绕原点顺时针旋转。则变换矩阵为：,三维基本变换,旋转，则该轴坐标的一列元素不变。按照二维图形变换的情况，将其旋转矩阵,中的元素添入相应的位置中，即,对于单位矩阵,旋转变换矩阵规律:,，绕哪个坐标轴,三维基本变换,(1) 绕z轴正向旋转,角，旋转后点的z坐标值不变

13、, x、y,坐标的变化相当于在xoy平面内作正,角旋转。,(2)绕x轴正向旋转,角，旋转后点的x坐标值不变，,Y、z坐标的变化相当于在yoz平面内作正,角旋转。,三维基本变换,即,即：绕y轴的旋转变换的矩阵与绕x轴和z轴变换的矩阵从表面上看在符号上有所不同。,(3) 绕y轴正向旋转,角，y坐标值不变，z、x的坐标相当,于在zox平面内作正,角旋转，于是,三维基本变换,4、对称变换,（1）对xoy坐标平面的对称变换,变换矩阵为：,三维基本变换,（2）对xoz坐标平面的对称变换,变换矩阵为：,三维基本变换,（3）对yoz坐标平面的对称变换,变换矩阵为：,三维变换矩阵的功能分块,旋转、比例、错切、对

14、称,透视投影,总体比例,平移,三维组合变换,1、相对空间任一点的几何变换 2、相对于平行于某一坐标轴的几何变换 2、相对空间任一直线的几何变换,三维组合变换,物体绕平行于某一坐标轴的旋转变换。基本步骤: (1) 将物体与旋转轴平移，使旋转轴与所平行的坐标轴重合; (2) 沿着该坐标轴进行指定角度的旋转; (3) 平移物体使旋转轴移回到原位置。,x,x,x,x,(b),绕任意轴旋转 绕直线P1P2旋转角,可以用平移变换与绕坐标轴旋转变换的复合变换得到其变换公式。如果给定旋转轴和旋转角，可以通过平移及旋转给定轴使其与某一坐标轴重合，然后绕坐标轴完成指定的旋转，最后再用逆变换使给定轴回到其原始位置。

15、各次变换矩阵依次相乘即为复合变换矩阵。,绕任意轴旋转 绕直线P1P2旋转角,绕直线P1P2旋转角的过程可分解为下列步骤： 把点P1 (x1, y1, z1)移至原点； 绕x轴旋转，使直线与xoz平面共面； 绕y轴旋转，使直线与z轴重合； 绕z轴旋转角； 执行步骤(3)的逆变换； 执行步骤(2)的逆变换； 执行步骤(1)的逆变换；,绕任意轴旋转 绕直线P1P2旋转角,步骤(1)：把点P1(x1,y1,z1)移至原点，变换矩阵为：,绕任意轴旋转 绕直线P1P2旋转角,步骤(2)：绕x轴旋转，使直线与xoz平面共面。得：,绕任意轴旋转 绕直线P1P2旋转角,步骤(3)：绕y轴旋转，使直线与z轴重合，

16、可知：,绕任意轴旋转 绕直线P1P2旋转角,步骤(4)：绕z轴旋转角，变换矩阵为:,绕任意轴旋转 绕直线P1P2旋转角,步骤(5)，执行步骤(3)的逆变换，变换矩阵为Ry(-)； 步骤(6)，执行步骤(2)的逆变换，变换矩阵为Rx(-)； 步骤(7)，执行步骤(1)的逆变换，变换矩阵为T3(x1,y1,z1)。 综上，绕直线P1P2旋转角的变换矩阵为：R()= T3(x1,y1,z1) Rx(-) Ry(-) Rz() Ry() Rx() T3(-x1,-y1,-z1) 注意：变换的过程有多种选择。如果中间的几个旋转次序变了，则各个矩阵的对应矩阵参数也会不同。,习题,1、对于点P(x,y,z)

17、 ，(1) 写出它绕x 轴旋转 角，然后再绕y轴旋转 角的变换矩阵。 (2)写出它绕 y 轴旋转 角，然后再绕 x 轴旋转 角的变换矩阵。所得到的变换矩阵的结果一样吗?,三维几何变换小结,三维几何变换小结,三维几何变换小结,三维几何变换小结,1、二维变换中绕原点的旋转相当于三维变换中绕_轴旋转。 A、XB、Y C、ZD、以上都不是 2、分别对称于X、Y、Z轴的变换矩阵是什么？,C,三维几何变换小结,关于X轴的对称变换,关于Y轴的对称变换,关于Z轴的对称变换,三维几何变换小结,如果做绕多于一个坐标轴的旋转变换，则需要考虑旋转顺序。因为不同的旋转顺序会得到不同的结果。,绕三个坐标轴的旋转变换,一般

18、采用Y轴-X轴-Z轴的顺序进行变换，这同日常生活中人们观察物体的习惯顺序相似，先观察两侧（绕Y轴），再观察上下（绕X轴），再观察纵深（绕Z轴）。其变换矩阵为： TTyTxTz,三维几何变换小结,已知空间一点的坐标是P(x,y,z),设给定的旋转轴为I，它对三个坐标轴的方向余弦分别为：,求P绕I逆时针旋转 的变换矩阵。,三维几何变换小结,设轴上任一点Pc(xc,yc,zc)为旋转的中心点。则复合变换的过程为： (1) 将点Pc(xc,yc,zc)一起平移到坐标原点 变换矩阵为：,三维几何变换小结,2) 将I轴绕Y轴旋转y角，同YZ平面重合， 其变换矩阵为：,三维几何变换小结,(3) 将I轴绕X轴

19、旋转x角，同Y轴重合，其变换矩阵为：,(4) 将P(x,y,z）点绕Y轴旋转角，其变换矩阵为：,三维几何变换小结,（5）绕X轴旋转-x角，其变换矩阵为：,（6）绕Y轴旋转-y角，其变换矩阵为：,三维几何变换小结,（7）将P(xc,yc,zc)平移回原位置，其变换矩阵为：,复合变换矩阵为：TT1T2T3T4T5T6T7,三维几何变换小结,变换过程式中，sinx、siny、cosx、cosy为中间变量，应使用已知量n1、n2、n3表示出来。考虑I轴上的单位向量n，它在三个坐标轴上的投影值即为n1、n2、n3。取Y轴上一单位向量将其绕X轴旋转-x角，再绕Y轴旋转-y角，则此单位向量将同单位向量n重合

20、，其变换过程为：,三维几何变换小结,即n1=sinx siny，n2= cosx，n3= sinx cosy。 同时考虑到n12+n22+n32=1，可解得：,三维几何变换小结,将矩阵相乘后并将中间变量替换掉可得复合变换矩阵，展开成代数方程为： x(xxc)(n12(1n12)cos (yyc)( n1n2(1cos)n3sin) (zzc)( n1n3(1cos)n2sin)xc y=(xxc)( n1n2(1cos)n3sin) (yyc)( n22(1n22)cos) (zzc)( n2n3(1cos)n1sin)yc z=(xxc)( n1n3(1cos)n2sin) (yyc)( n

21、2n3(1cos)n1sin) (zzc)( n32(1n32)cos)zc,3.2 变换的几何化表示,几何化表示的基本理论 图形变换的几何表示 图形变换几何表示的应用 图形变换几何表示与基本几何,3.2.1基本理论仿射变换,仿射变换（Affine transformation），一种线性变换 “线性”(linearity)：直线变换后还是直线。 “关联性”(incidence)：共线三点间的距离的分比不变。 “平行性”（parallelism ）：平行线还是平行线。 仿射变换可以通过一系列原子变换的复合来实现： 平移（Translation）、缩放（Scale） 翻转（Flip）、旋转（Ro

22、tation） 剪切（Shear）等。,二维线性变换的最一般形式为： u=a1x+b1y+c1 v=a2x+b2y+c2 令 u=0 和v=0 即可得到两条直线 L1：a1x+b1y+c1=0 L2：a2x+b2y+c2=0,3.2.1基本理论仿射变换,几何意义：在xy坐标系下，线性变换把直线L1和L2上的点变换到坐标轴y轴和x轴上。,由于平面上任两条相交有向直线均可构成新的坐标系统，这样 u=a1x+b1y+c1 v=a2x+b2y+c2 可视为将坐标轴UV上的点全部相应地变换到坐标轴X和Y上,3.2.2 图形变换的几何化表示,这两个坐标系间的坐标变换公式可由直线方程系数构成的齐次变换矩阵形

23、式表出：,可将 直线L1设为V轴 直线L2设为U轴 构成新的坐标系。,3.2.2 图形变换的几何化表示,3.2.2图形变换的几何化表示三维,若将上述结果推广到三维形式，则有： x*=a1x+b1y+c1z+d1 y*=a2x+b2y+c2z+d2 z*=a3x+b3y+c3z+d3 它将在原坐标系下的三个平面： P1：a1x+b1y+c1z+d1=0 P2：a2x+b2y+c2z+d2=0 P3：a3x+b3y+c3z+d3=0 变换到新坐标系所在的3个平面上。 这3个平面构成的新坐标系。,矩阵形式为 ： 当且仅当： a1a2+b1b2+c1c2=0 a1a3+b1b3+c1c3=0 a2a3

24、+b2b3+c2c3=0 时，新坐标系统仍为直角坐标系。,3.2.2 图形变换的几何化表示三维,3.2.2图形变换的几何化表示结论,平面上任意2条相交（不共线）的向量构成一个新坐标系，新旧坐标系的坐标变换可由两条相交向量在原坐标系下的直线方程系数标出。,几何变换,它统一描述平移、旋转、剪切、对称和比例等变换。 空间3个任意相交的（不共面）平面构成一个新坐标系,两者的坐标变换可由3个相交平面在原坐标系下的平面方程系数标出。,3.2.3图形变换几何化表示的实施,直线L1（设为V轴）的方向按正常的直线方向选取：当人沿着这个方向行走时，他的左手方向为负区域。 直线L2（设为U轴）的方向由直线L1绕原点

25、（两条直线的交点）顺时针方向旋转得到（一般情况下旋转角度90）。,设通过坐标原点的两条正交直线与X轴的夹角分别为 和(+90)，以前一条为X*轴，后一条为Y*轴（注意 X*的角度）,3.2.4 应用绕原点顺时针旋转,lpax(0.0,0.0,alpha+HalfPI, /X*,3.2.4 应用绕原点旋转,根据给定的直线，求出直线上的两点P1、P2 以向量P1P2为X*轴，其中垂线为Y*轴的右手坐标系 由点P2向P1作直线L2为X*轴； lpp(x2,y2,x1,y1,3.2.4 应用相对于任意直线的变换,3.2.4 应用相对于任意直线的变换,3.2.4 应用相对于任意直线的变换,例、已知点P的

26、坐标为P(3,2)，相对直线P1P2(线段的坐标分别为：P1 (-3,-2) 、P2 (2,3) )做对称变换后到达P。试计算P 的坐标值。（要求用齐次坐标进行变换，列出变换矩阵。）,3.2.4 应用一般绕任意轴的三维旋转变换,三维空间中绕任意轴的旋转变换可由下列三步达到： 先平移、再2次绕新坐标轴旋转等3步建立以该任意轴为Y轴的新坐标系； 在新坐标系下执行绕Y轴旋转角的标准绕轴旋转变换； 将该结果经过相对于第1步逆序的3次逆变换得到初始坐标轴下的变换结果。,3.2.4 应用绕任意轴三维旋转变换几何化表示,1) 构筑向量P1P2的单位向量(a1，b1，c1) a1=(x2-x1)/D，b1 =

27、(y2-y1)/D，c1=(z2-z1)/D D= 2)构筑与P1P2垂直的单位向量(a2，b2，c2) a2= ，b2= ，c2=0 3)构筑第三个单位向量(a3，b3，c3) (a3，b3，c3) (a1，b1，c1)(a2，b2，c2),3.2.4 应用绕任意轴三维旋转变换几何化表示,绕任意轴P1P2旋转的线性变换矩阵 R= Txyz_x*y*z*RxT-1xyz_x*y*z* = 其中： d1=-(a1x1+b1y+c1z1)D1=-(a1d1+a2d2+a3d3) d2=-(a2x1+b2y1+0z2) D2=-(b1d1+b2d2+b3d3) d3=-(a3x1+b3y1+c3z1

28、) D3=-(c1d1 +c3d3) 绕任意轴的旋转变换由7个（不包含平移时则为5个）矩阵相乘减少到3个矩阵相乘 。,3.2.5图形变换几何化表示与基本几何,用构成坐标系的向量的方程系数统一表示两坐标系间的齐次坐标交换矩阵元素，而不理会“旋转变换的角度、平移变换的增量”等等变换参数的特别涵义。 将图形变换与基本几何有机地联系在一起，使图形变换与基本几何的定义与求解函数统一。 便于记忆、便于应用、便于软件系统的统一编制，提高系统的稳定性。 实际应用中，只要用有向直线（平面）求解系列函数即可构筑图形变换齐次矩阵的元素 。,3.3 投影与投影变换,投影概念,投影就是将空间物体投射到投影面上而得到的平

29、面图形，而这一转换过程称为投影变换。,S,A,B,C,a,b,c,投影中心,投影线,投影对象,投影,投影面,投影的要素：投影对象、投影中心、投影平面、投影线和投影,3.3 投影与投影变换,投影分类,投影中心与投影平面之间的距离为无限,根据投影方向与投影平面的夹角,根据投影平面与坐标轴的夹角,投影中心与投影平面之间的距离为有限,3.3 投影与投影变换,定义平行投影时，给出投影线的方向就可以了，而定义透视投影时，需要指定投影中心的具体位置。,3.3 投影与投影变换,根据投影线方向与投影平面的夹角，平行投影分为两类：正投影与斜投影,3.3 投影与投影变换,1正平行投影 正平行投影根据投影面与坐标轴的

30、夹角又可分成两类：正投影(三视图)和正轴测投影。当投影面与某一坐标轴垂直时，得到的投影为三视图，这时投影方向与这个坐标轴的方向一致。否则，得到的投影为正轴测投影。,3.3 投影与投影变换,俯视图,三视图主要包括主视图、侧视图和俯视图。,3.4 轴侧变换,物体和连同确定它的空间直角坐标系,沿不平行于任一坐标面的方向,用平行投影法投影到单一投影面上，这种方法称为轴测投影法，在投影面上得到的立体感图形称为轴测投影图。,投射方向垂直于轴测投影面 正轴测图。,投射方向倾斜于轴测投影面 斜轴测图。,3.4 轴侧变换,轴测轴和轴间角,(2)两轴测轴之间的夹角X1O1Y1， X1O1Z1， Y1O1Z1称为轴

31、间角。,(1)空间坐标系的坐标轴 OX，OY，OZ在轴测投影面上的投影O1X1，O1Y1，O1Z1称为轴测轴。,X轴轴向变化率,Y轴轴向变化率,Z轴轴向变化率,轴测轴上的线段长度与空间物体上对应线段长度之比。,轴向变化率（轴向变化系数）,3.4 轴侧变换,3.4 轴侧变换,3.4 轴侧变换,轴测变换矩阵,给定从平面上一点引出的三条不在同一直线上的单位向量，其夹角分别为1、 2、 3，以这三条向量作为轴测轴，轴向变形系数分别为 、 、 。求取其轴测变换矩阵。,3.4 轴侧变换,轴测变换矩阵,假定三维坐标系基底的单位向量为i、j、k，二维坐标系的基底向量为e1、e2，轴测轴在二维平面上与x轴夹角分

32、别为x、y、z，轴间角分别为1、 2、 3。,k,e1,e2,y,z,x,2,3,1,三维轴测坐标系,3.4 轴侧变换,设空间任一点P(x，y，z)，在三维和二维坐标系中可分别表示为xi+yj+zk和Xe1+Ye2。,轴向变形系数下的轴测变换矩阵：,3.4 轴侧变换,k,e1,e2,y,z,x,1,2,3,1=y-x 2= z+360-y 3= x-z z =90,用轴间角表示的轴测变换矩阵：取三维Z轴与Y轴一致。,3.4 轴侧变换,正等测轴向变形系数为 正二测轴向变形系数为 斜二测轴向变形系数为,正等测轴间角为1=2=3=120 正二测轴向变形系数为1=2=13125 3=9710 斜二测轴

33、向变形系数为1=3=135 2=90,3.6 透视投影,又称为中心投影，其投影中心与投影平面之间的距离是有限的。 现实生活中的景物，由于观察距离及方位不同，在视觉上会引起不同的反映，这种现象就是透视现象。,3.6 透视产生的原因,图中，AA,BB,CC为一组高度和间隔都相等，排成一条直线的电线杆，从视点E去看，发现 AEABEBCEC 若在视点E与物体间设置一个透明的画面P，则在画面上看到的各电线杆的投影aabbcc aa即EA,EA与画面P的交点的连线; bb即为EB，EB与画面P的交点的连线。 cc 即为EC，EC与画面P的交点的连线。 近大远小,若连接abc及abc，它们的连线汇聚于一点

34、。 实际上，ABC与ABC的连线是两条互相平行的直线，这说明空间任何一束不平行于投影平面的平行线的投影将汇聚在一点，即abc与abc的连线，必交于一点，这点我们称之为灭点。,3.6.1 灭点及产生机理,每一组平行线都有其不同的灭点。一般说来，三维图形中有多少组平行线就有多少个灭点。 平行于坐标轴的平行线在投影平面上形成的灭点称为主灭点。因为有X、Y和Z三个坐标轴，所以主灭点最多有三个。,3.6.1 灭点及产生机理,当某个坐标轴与投影面平行时，则该坐标轴方向的平行线在投影面上的投影仍保持平行，不形成灭点。投影中主灭点数目由与投影面相交的坐标轴数目来决定，并据此将透视投影分类为一点、二点或三点透视

35、。 一点透视有一个主灭点，即投影面与一个坐标轴正交，与另外两个坐标轴平行；两点透视有两个主灭点，即投影面与两个坐标轴相交，与另一个坐标轴平行；三点透视有三个主灭点，即投影面与三个坐标轴都相交。,3.6.1 灭点及产生机理,3.6.1 灭点及产生机理,一点透视,两点透视,三点透视,3.6.2 透视投影的基本原理,设视点E(0,0,ze)在z轴上，投影面取与Z轴垂直的坐标平面，空间点为P(xp,yp,zp)，则视线EP的直线方程为： x=0+(xp-0)t y=0+(yp-0)t z=ze+(zp-ze)t,则空间点在投影面的投影点为：,3.6.2 透视投影的基本原理,投影面为XOY平面，投影中心

36、到投影面的距离为 ze的一点透视变换矩阵,透视投影实际上是先进行透视变换，然后再向投 影面作正投影的变换。,在透视投影下有：,当zp时，x 0,y 0,z -Ze 所以，(0,0,-Ze)为该透视的一个灭点。,3.6.2 透视投影的基本原理,同样，视点在(Xe,0,0)的透视投影对应的变换矩阵为：,3.6.2 透视投影的基本原理,灭点在(-Xe，0，0),视点在(0,ye,0)的透视投影对应的变换矩阵为,3.6.2 透视投影的基本原理,灭点在(0，-ye，0),3.6.2 透视变换基本公式,取r为 ，p为 ，q为： ，则透视变换矩阵为： 视点在z轴上的透视变换阵,当p、q、r三个参数中只有一个

37、为非零时，即为一点透视，两个非零为两点透视，全部非零时为三点透视。,3.6.3 透视投影转化为平行投影理论,定理：对一个空间物体，一定存在另一个空间物体，使前者在画面上的透视投影与后者的平行投影是一样的，且保留了深度方向的对应关系。,3.6.3 透视投影转化为平行投影理论,证明：设有一个空间物体B1，其空间点由P(x y z)表达，用下列方 法构 筑另一个空间物体B2： B2的拓扑与空间物体B1一致，其相应空间点P(x y z)由P经透视变换而得。 B1在xoy平面上的透视投影坐标与B2在xoy平面上的正投影坐标均为(x y)。 即空间物体B1和空间物体B2相应点与画面的远近关系（深度方向）是一致的。,3.6.4 透视图,根据透视变换的基本原理：与画面成一角度的平行线簇经透视变换后交于灭点，可采用两种不同的方法来获得透视图： 保持画面铅垂而通过旋转物体使之与画面构成角度达到透视变换效果 通过倾斜投影画面而达到透视变换效果,3.6.4 透视图一点透视,人眼从正面去观察一个立方体，当z轴与投影平面垂直时，另两根轴ox,oy轴平行于投影平面。这时的立方体透视图只有一个灭点，即与投影面垂直