第二章 测量误差与数据处理.ppt

1、第二章 测量误差与数据处理,2.1 误差的基本概念 2.2 随机误差 2.3 有限次测量误差与分析处理 2.4 系统误差 2.5 粗大误差 2.6 测量不确定度 2.7 测量数据的处理,主要内容,误差存在的普遍性： 实验方法、实验设备的局限性，周围环境的影响，人为因素，测得的数值和真值之间总存在一定差异，在数值上表现为误差。 误差存在的必然性： 随着科技的水平的不断进步和人类认识水平的发展，误差被控制得越来越小，但始终不能完全消除，即误差是不受人们的主观影响而客观存在的。,为什么要研究误差？,研究误差大小/来源 误差 测量精度。,为什么说误差的存在具有普遍性和必然性？,2.1 误差的基本概念

2、2.1.1测量误差的定义 测量误差：测量所得数据与其相应的真值之差。, = X X0, -测量误差 -测量结果 0 -真值,测量误差-绝对误差,真值：是被测量本身所具有的真实大小，只有通过完善的测量才能获得。实际上，由于被测量的定义和测量都不可能完善，因而真值往往未知，只是一个理想的概念。,理论真值： 设计时给定或用数学、物理公式计算出的给定值； 如：三角形内角和180 约定真值： 世界各国公认的几何量和物理量的最高基准的量值。 如： 公制热力学温度基准：开(K) 约定是水处于三相点时温度值的1/273.16。 相对量，高一级精度仪表的测量值。如砝码、称。,相对误差（示值误差、读数误差“R”）

3、：,测量的绝对误差与被测量的真值之比,当绝对误差很小时,用符号表示：,引用误差（满度误差、额定误差） ：,在多档和连续刻度的仪表中，因各档示值和对应真值都不同，计算相对误差所用的分母也不同，为此定义了引用误差。,L最大刻度与最小刻度之差,最大引用误差 ：,常用最大引用误差表示仪表的质量，进行准确度分级,举例：DN50 的浮子流量计的流量测量范围：1.616m3/h,其引用误差为1.5%，则测量下限时的读数误差为多少？,解：,满度误差：,绝对误差：,测量下限1.6m3/h时的读数误差：,说明：读数误差更能反映当前测量值的准确性。,两种相对误差的差别： 一般按行业标准或行业惯例、企业标准确定，不同

4、国家标准有区别。 例如： 浮子流量计采用引用误差； 涡轮/涡街/电磁流量计采用示值误差 通常： 模拟信号输出的仪表引用误差； 数字或脉冲信号表读数误差。 准确度等级：（行业标准） 0.1级,0.2级,0.5级,1级,1.5级，由误差的性质和大小决定。 等级归属：就低原则 若误差刚好在两极之间，则该仪表应归属于最接近的精度较低的一级，如0.3%归属0.5级。,自动化工程学院,自动化工程学院,自动化工程学院,自动化工程学院,2.1.2 误差的来源, 标准器误差 仪器仪表误差 辅助设备和附件误差 检测环境引起的误差 环境条件（温度、湿度、气压等）差异 检测方法误差 采样方法、测量重复次数、取样时间

5、检测人员造成的误差 人员视觉、读数误差、经验、熟练程度、精神疲劳程度等等,2.1.3 误差的分类,按特性规律：系统误差、随机误差、粗大误差, 系统误差（System error） - 有规律可循，由特定原因引起、具有一定因果关系并按确定规律产生，如装置、环境、动力源变化、人为因素。 理论分析/实验验证- 原因和规律- 减少/消除, 随机误差（Random error） 因许多不确定性因素而随机发生，偶然性（不明确、无规律），概率和统计性处理（无法消除/修正）, 粗大误差（Abnormal error） 检测系统各组成环节发生异常和故障等引起 异常误差-混为系统误差和随机误差-测量结果失去意义

6、。分离- 防止,2.1.4 测量的准确度、精密度 准确度（精确度）：表示测量结果与真实值接近的程度，简称精度。 反映系统误差与随机误差对测量结果综合影响的程度。 精密度：表示测量值重复一致的程度，反映了随机误差影响的程度。随机误差越小，测量结果越精密。重复性。 例：坐标原点- 真值点的位置；点- 多次测量结果,2.2 随机误差,2.2.1 随机误差的正态分布性质,注：本节是在假定粗大误差及系统误差已被排除的前提下来探讨随机误差的。,随机误差的定义：,在测量的过程中，因存在许多随机因素对测量造成的干扰，而使得测量附加有大小和方向都难于预测的测量误差。,条件：测量次数足够多；仪器精度和灵敏度足够高

7、。,性质：有界性、单峰性、对称性、抵偿性。,(1). 有界性,绝对值小的误差出现的概率大，绝对值大的误差出现的概率小。零误差出现的概率最大。,(2). 单峰性,在一定测量条件下，测量的随机误差总是在一定的、相当窄的范围内变动，绝对值很大的误差出现的概率接近于零。即随机误差的绝对值不会超过一定的界限。,(3). 对称性,大小相等、符号相反的随机误差出现的概率相同。,(4). 抵偿性,在等精度测量条件下，当测量次数趋于无穷大时，全部随机误差的算术平均值趋于零。,随机误差的分布,测量列：对某一固定量做n 次测量，测得x1,x2,x3.,xn，称为测量列，其概率密度函数为,坐标不同,坐标不同,:均方根

8、误差/标准误差,真值，期望值,随机误差的分布密度函数：,随机误差的分布密度函数：,极值点：,当 时，即, = 0 f ( ) 取峰值,拐点：,当 时，即 = 处为拐点。,表示分散性,正态分布规律是研究随机误差的理论基础，其实用价值为： 大量（工程、实验）测量列的随机误差都服从正态分布； 造成随机误差的因素很多，理论上可以证明，影响因素越多，越服从正态分布。 为了方便，某些精度要求不太高的地方，非正态分布也用正态分布处理； 有时测量次数较少，服从什么分布尚不清楚，可用正态分布代替。,2.2.2 正态分布密度函数与概率积分,概率积分：随机误差出现在某一区间的概率可以用概率积分计算：,由于概率对称性

9、：,令a= z ，则z=a/ ,作归一化处理。,z均方根误差的倍数；(z) 出现的概率,z=1， (z)=0.68269 z=2， (z)=0.95450 z=3， (z)=0.99730,2.4 系统误差,原因：, 由于测量设备、试验装置不完善，或安装、调整、使用不得当引起的误差。如测量仪表未经校准投入使用。 由于外界环境影响而引起的误差。如温度漂移、测量现场电磁场的干扰等。 由于测量方法不正确，如使用大惯性仪表测量脉动气流的压力，则测量结果不可能是气流的实际压力，甚至也不是真正的时均值。 测量人员方面因素引起误差。如测量者在刻度上估计读数时，习惯偏于某一方向；动态测量时，记录某一信号有滞后

10、的倾向。,特点：,再现性- 偏差（Deviation） 理论分析/实验验证- 原因和规律- 减少/消除,2.4 .1系统误差的特点与性质,设有一列测定值 x1、x2.，xn,若测定值 xi中含有系统误差i，消除系统误差后其值为 ，则,其算术平均值为,即,为消除系统误差后的残差,测定值 xi的残差vi,为消除系统误差后测定值的算术平均值,结论：,（1）. 恒定值系统误差，由于,所以,-消除系统误差后测量列的均方根误差,恒定系统误差的存在，只影响测量结果的准确性，不影响测量的精密度。,（2）. 对变值系统误差，由于,所以,变值系统误差的存在，不仅影响测量结果的准确性，而且影响测量的精密度。,2.4

11、 .2系统误差的检查与判别,（1） 根据测定值残差的变化判断变值系统误差,如果测定值中，系统误差比随机误差大，那么残差的符号主要由 项的符号决定。,因此，将残差按照测量的顺序进行排列，这些残差的符号变化将反映出 的符号变换，进而反映出 的符号变化，由于变值系统误差 的变化具有某种规律性，因而残差 的变化也具有大致相同的规律,准则1 将测量列中诸测定值按测量先后顺序排列，若残差的大小有规则的向一个方向变化，则测量列中有累进的系统误差。,准则2 将测量列中诸测定值按测量先后顺序排列，若残差的符号呈有规律的交替变化，则测量列中含有周期性系统误差。,以上准则的前提都是系统误差大于随机误差的情况，若随机

12、误差起主要作用，还要进一步依靠统计的方法来判断。,（2） 利用判据判定变值系统误差的存在,马利科夫准则 对某一测量量进行多次等精度测量，获得一列测定值x1、x2.，xn，按测量先后顺序排列，各测定值残差依次为v1、v2.，vn，把前面k个残差和后面（n-k）个残差分别求和（当n为偶数时，取k= n/2，当n为奇数时，取k=（ n+1）/2），并取其差值得,若差值D显著异于零，则测量列中含有累进系统误差。,阿贝-赫梅特准则 对某一测量量进行多次等精度测量，获得一列测定值x1、x2.，xn，按测量先后顺序排列，各测定值残差依次为v1、v2.，vn，设,若,则可以认为该测量列中含有周期性系统误差。,

13、例：对某恒温箱内的温度进行测量10次，获得如下数据：（单位：）20.06 ，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.14，20.18，20.18，20.21 判断该测量列中是否存在变值系统误差。,解：,计算各测量值的残差vi，并按测量顺序排列,-0.06， -0.05，-0.06，-0.04，-0.02，0， +0.02，+0.06，+0.06，+0.09,由准则1判断，残差由负到正，其数值逐渐增大，故测量列中含有累进系统误差。,由马利科夫准则判断,差值D显著异于零，则测量列中含有累进系统误差。,由阿贝-赫梅特准则判断,测量列中含有周期性系统误差。,2.4 .3 系统

14、误差的减小与消除, 消除恒值系统误差常用的方法是对置法，也称交换法。 交换某些测量条件，使引起恒值系统误差的原因以相反的方向影响测量结果，从而中和其影响。 消除线性变化的累进误差最有效的方法是对称观察法。 将测量以某一时刻为中心对称地安排，取各对点两次测量算术平均值作为测量结果，即可消除线性变化的累进系统误差。, 半周期偶数观测法，可以很好的消除周期性变化的系统误差。,周期性系统误差可表示为,t=t0时，周期性系统误差0为,t=t0+T/2时，周期性系统误差1为,而,所以，测得一个数据后，相隔t的半个周期再测一个数据，取二者的平均值即可消去周期性系统误差。,2.5 粗大误差,粗大误差指不能用测

15、量客观条件解释为合理的那些突出误差，它明显地歪曲了测量结果，含有粗大误差的测定值的异常数据，应予以剔出。,2.5.1 拉伊特准则 如果测量列中某一测定值xi其残差vi的绝对值大于该测量列标准差的3倍，那么可以认为xi为坏值，应予以剔出。,实际使用时，取,剔出某个含有粗大误差的坏值xi后，应重新计算新测量列的算术平均值及标准差，判断余下的数据中是否还有含粗大误差的坏值。,注意:当n 10时，拉伊特准则失效。,2.5.2 格拉布斯准则（适用于测量次数较少） 对某一测量量进行多次等精度测量，获得一列测定值x1、x2.，xn，若测定值符合正态分布，N(x;,),则可计算出子样平均值和测量列标准差的估计

16、值。,将xi由小到大排列,计算出统计量,取定危险率a，可求得临界值g0(n,a),若测量列中最大测定值与最小测定值的残差满足,者，则可以认为含有残差vi的测定值是坏值，应予以剔出。,剔出某个含有粗大误差的坏值xi后，应重新判断余下的数据中是否还有含粗大误差的坏值。直到,为止。,2.6 误差的传递与综合,间接测量量误差的种类、性质与数值大小将决定于直接测量量误差的种类、性质与数值。由直接测量量的误差求间接测量量的误差称为误差的传递。,（1） 系统误差的传递,2.6.1 误差的传递,假设被测量y与各直接量x1、x2.，xn 之间的函数关系为,y=f(x1、x2.，xn ) （1）,如果各直接量的系

17、统误差为1、2.，n ，由此引起的被测量y的误差也将是系统误差，并以y表示,对（1）式微分可得,由于误差很微小，可以用y、 1、2.，n分别近似代替微分量dy、dx1、dxn ，则,-系统误差的传递公式,-为第i个直接量xi对被测量y的误差的传递系数,（2） 随机误差的传递,假设被测量y与各直接量x1、x2.，xn 之间的函数关系为,y=f(x1、x2.，xn ) （2）,如果各直接量的随机误差的标准误差为1、2.，n ，由此引起的被测量y的误差也将是随机误差，并以y表示，经过推倒可得,如果各直接量相互独立，互不关联，则，,-用标准误差表示的随机误差的传递公式,如果各直接量的误差各自独立，且服

18、从正态分布，则误差传递公式可以写成,y、 1、2.，n分别为y、x1、xn 的极限误差。,-用极限误差表示的随机误差的传递公式,注：极限误差为标准误差的3倍,2.6.1 误差的合成,在实际测量中，测量结果的误差一般都是由多个因素引起的，由某个因素单独影响引起的误差称为单项误差，而测量的总误差则是各因素单项误差的综合结果。由各单项误差求总误差称为误差综合。,误差合成原则： 全面分析误差来源，无遗漏、不重复； 区分误差种类和分布，不同情况采用不同的合成方法。,（1） 随机误差的合成,如各单项误差均为正态分布的随机误差，标准误差为1、2.，n ，那么合成后的总误差为,若各单项误差各自独立，则合成公式可以写成,若各单项误差服从不同的概率分布，工程中常用广义的方和根法进行误差的合成，合成公式可以写成,对于正态分布Ki取3；均匀分布Ki取1.73；,（2） 系统误差的合成,如各单项误差为恒值系统误差时，误差合成公式为,对于未定系统误差，鉴于它们显示出某种随机性