第8章 重积分.ppt

1、第8章 重积分 一、内容提要 （一）主要定义,1. f (x, y) 是定义在 xOy面上有界闭区域D上的有界函数，如果极限,极限式中 i 为将D任意分成n个小区域中第i个小区域的面积，点( i , i) 为第i个小区域上任取的一点， 为n个小区域 i ( i = 1,2,3,)中的最大直径.,存在，称此极限为 f (x, y) 在D上的二重积分，记作,（二）主要结论,2. f (x , y, z)是定义在空间有界闭区域 上的有界函数，如果极限,存在，称此极限为f (x , y, z)在 上的三重积分，记作,1. f，g在D上可积，则二重积分有如下性质：,其中M,m分别是 f (x, y)在D

2、上的最大与最小值, A是D的面积,注：三重积分有与之完全平行的性质,2. 化重积分为累次积分计算公式： （1）二重积分,当 f ( x , y )在有界闭区域D上连续时，有,(7)(二重积分中值定理) 设 f (x, y)在有界闭区域D上连续, 则至少存在一点(, )D, 使,（2）三重积分 当 f ( x , y , z )在有界闭区域 上连续时, D为 在xOy面上的投影区域，以D的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，将 的边界曲面分成上、下两部分,3. 重积分的应用 空间立体的体积:,其中是该立体所占有的空间区域,设V是以连续曲面z =f (x , y) ( f (x , y)0)为顶,

3、以xOy面上区域D为底的曲顶柱体的体积，则有,(2)曲面面积 设光滑曲面的方程为z=z (x , y) ，则的面积A为,其中Dxy , Dyz , Dzx分别是在xOy, yOz, zOx平面上的 投影区域,若曲面的方程为x=x (y , z) ，则,若曲面的方程为y=y (z , x) ，则,(3) 质量,(4) 重心 平面薄板和空间立体的重心坐标, 平面薄板的重心坐标为:,设平面薄板和空间立体所占有的区域分别为D和,其密度分别为 = ( x , y)和 = ( x , y , z), 则它们的质量分别为, 空间立体的重心坐标为:,(5) 转动惯量： 平面薄板的转动惯量：, 空间立体的转动惯

4、量：,(6) 引力： (以三重积分为例),质量为m的质点位于P0(x0 ,y0 ,z0)处，物体占有空间, 其密度为 (x , y , z)，设物体对质点的引力为,k为引力常数,（三）结论补充,1. 连续函数z= f ( x , y )关于y为奇函数, 积分域D关于x轴对称，则有,2. 连续函数z= f ( x , y )关于y为偶函数, 积分域D关于x轴对称, D1 表示D的位于x 轴上方的部分, 则有,3. 连续函数u=f (x , y , z)关于z为奇函数, 积分域关于xOy面对称, 则有,4. 连续函数u= f ( x , y, z )关于z为偶函数, 积分域 关于xOy面对称, 1

5、 表示的位于xOy面上方部分, 则有,5. 二重积分一般坐标替换公式：,6. 三重积分一般坐标替换公式：,8. 设z= f ( x , y )在平面有界闭区域D上连续，D关于直线 y = x 对称，则,二、归类解析（一）二重积分,1. 直角坐标,例8-1,例8-2,例8-3,例8-4,例8-5,例8-6,例8-7,例8-8,例8-9,例8-10,例8-11,2.极坐标:,例8-12,例8-13,例8-14,例8-15,例8-16,（二）三重积分,1. 直角坐标,例8-17,例8-18,例8-19,例8-20,例8-21,例8-22,例8-23,2. 柱坐标,例8-24,例8-25,例8-26,3. 球坐标,例8-27,例8-28,例8-29,例8-30,例8-31,例8-32,1. 二重积分,（三）重积分应用,例8-33,例8-34,例8-35,2. 三重积分,（四）综合问题,例8-36,例8-37,例8-38,例8-39,例8-40,例8-41,三、同步测试 测试8-1,(一)、填空题（3分4=12分）,(二)、选择题（4分3=12分）,答案：C,答案：A,答案：B,(三)、计算题（7分5=35分）,(四)、综合题（9分4=36分）,(五)、证明题（5分）,测试8-2,(一)、填空题（3分4=12分）,(二)、选择题（4分3=12