工程力学第一章

1、,第五章 空间力系,2,静力学,工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。 (a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去了风力为空间平行力系。,第五章 空间力系,51 空间汇交力系 52 空间力偶系 53 力对点的矩与力对轴的矩 54 空间一般力系向一点的简化 55 空间一般力系简化结果的讨论 56 空间一般力系的平衡方程及应用 57 平行力系的中心与物体的重心 习题课,4,静力学,5-1 空间汇交力系,5,静力学,2、一次投影法（直接投影法） 由图可知：,3、二次投影法（间接投影法） 当力与各轴正向夹角不易 确定时，可先将 F

2、 投影到xy 面上，然后再投影到x、y轴上， 即,6,静力学,4、力沿坐标轴分解： 若以 表示力沿直角 坐标轴的正交分量，则：,而：,所以：,7,静力学,1、几何法：与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多 边形方法求合力。 即：合力等于各分力的矢量和,二、空间汇交力系的合成：,8,静力学,3、合力投影定理： 空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。,9,静力学,三、空间汇交力系的平衡：,几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。,空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：,10,静力学,5-2 空间力偶系,力偶的转向为右手螺旋定则。 从力偶矢末端看去，逆时针

3、转动为正。 空间力偶是一个自由矢量。,11,证 作II/，cd / ab 作一对平衡力R, R (在E点,且 使-R=R) 由反向平行力合成得： F1与R合成得F2，作用在d点 F1与R合成得F2，作用在c点 且R-F1=F2 ，R- F1= F2 在I内的力偶（F1，F1）等效变成II内的（ F2， F2 ）,静力学,二、空间力偶的等效定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。,12,静力学,由此可得出，空间力偶矩是自由矢量，它有三个要素： 力偶矩的大小= 力偶矩的方向与力偶作用面法线方向相同 转向遵循右手螺旋规则。,三、空间力偶系的合成

4、与平衡,由于空间力偶系是自由矢量，只要方向不变，可移至任意一点，故可使其滑至汇交于某点，由于是矢量，它的合成符合矢量运算法则。 合力偶矩 = 分力偶矩的矢量和,13,静力学,显然空间力偶系的平衡条件是：,14,静力学,在平面中：力对点的矩是代数量。 在空间中：力对点的矩是矢量。 例 汽车反镜的球铰链,5-3 力对点的矩与力对轴的矩,一、力对点的矩的矢量表示,如果r 表示A点的矢径，则：,15,静力学,即：力对点的矩等于矩心到该力 作用点的矢径与该力的矢量积。,两矢量夹角为,O,16,静力学,定义： 它是代数量，方向规定 + ,二、力对轴的矩,结论：力对/它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴

5、之矩为零。,证,17,静力学,即：,三、力对点的矩与力对通过该点的轴之矩的关系,证,通过O点作任一轴Z，则：,由几何关系：,所以：,18,静力学,定理：力对点的矩矢在通过该点的任意轴上的投影等于这力对于该轴的矩。这就是力对点之矩与对通过该点轴之矩的关系。,又由于,所以力对点O的矩为：,19,静力学,把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的简化问题，但须把平面坐标系扩充为空间坐标系。,5-4 空间一般力系向一点简化,设作用在刚体上有 空间一般力系,向O点简化（O点任选）,20,静力学,根据力线平移定理，将各力平行搬到O点得到一空间汇交力系： 和附加力偶系 注意 分别是各力对O点的矩。

6、由于空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。,21,静力学,合成 得主矢 即（主矢 过简化中心O， 且与O点的选择无关） 合成 得主矩 即： （主矩 与简化中心O有关）,22,静力学,若取简化中心O点为坐标原点，则： 主矢大小 主矢方向 根据力对点之矩与力对轴之矩的关系: 则主矩大小为： 主矩方向：,23,静力学,空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主矢、主矩的不同情况分别加以讨论。,5-5 空间一般力系简化结果的讨论,1、若 , 则该力系平衡（下节专门讨论）。,2、若 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。,3、若 则力系可合成为一

7、个合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通过简化中心O点。 （此时与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）,24,静力学,4、若 此时分两种情况讨论。即： ,25,静力学,若 时，为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动） 例 拧螺丝 炮弹出膛时炮弹螺线,R不平行也不垂直M0，最一般的成任意角 在此种情况下，首先把MO 分解为M/和M 将M/和M 分别按、处理。,26,静力学,M 使主矢R搬家，搬家的矩离：,所以在O点处形成一个力螺旋。 因为M/ 是自由矢量， 可将M/搬到O处,M/不变，,27,静力学,注意 力系简化中的不变量（不随简化中心改变）有：R， M/ 简化中心为O时：为M 当简化中心

8、为O时，为M 但M/总是不变的（它是 原力系中的力偶与简化 中心无关）,28,静力学,空间力系向O点简化后得主矢R和主矩MO , 若MOR，可进一步合成为一个作用在新简化中心O点的合力R 。,空间力系的合力矩定理：,29,静力学,一、空间任意力系的平衡充要条件是：,所以空间任意力系的平衡方程为： 还有四矩式，五矩式和六矩式， 同时各有一定限制条件。,5-6 空间一般力系的平衡方程及应用,30,静力学,空间汇交力系的平衡方程为： 因为各力线都汇交于一点，各轴都通过 该点，故各力矩方程都成为了恒等式。,空间平行力系的平衡方程，设各力线都 / z 轴。 因为 均成为了恒等式。,31,静力学,1、球形

9、铰链 2、向心轴承，蝶铰链 3、止推轴承,二、空间约束,观察物体在空间的六种（沿三轴移动和绕三轴转动）可能的运动中，有哪几种运动被约束所阻碍，有阻碍就有约束反力。阻碍移动为反力，阻碍转动为反力偶。例,32,静力学,4、带有销子的夹板 5、空间固定端,33,静力学,球形铰链,34,静力学,滚珠（柱）轴承,35,静力学,活页铰,36,静力学,滑动轴承,37,静力学,止推轴承,38,静力学,带有销子的夹板,39,静力学,空间固定端,40,静力学,空间平行力系，当它有合力时，合力的作用点C 就是此空间平行力系的中心。而物体重心问题可以看成是空间平行力系中心的一个特例。,5-7 平行力系的中心 物体的重

10、心,一、空间平行力系的中心、物体的重心,1、平行力系的中心,由合力矩定理：,41,静力学,42,静力学,如果把物体的重力都看成为平行力系，则求重心问题就是求平行力系的中心问题。 由合力矩定理：,物体分割的越多，每一小部分体积越小，求得的重心位置就越准确。在极限情况下，(n- )，常用积分法求物体的重心位置。,二、重心坐标公式：,43,静力学,设i表示第i个小部分每单位体积的重量，Vi第i个小体积，则 代入上式并取极限，可得： 式中 ，上式为重心C 坐标的精确公式。,对于均质物体， =恒量，上式成为：,同理对于薄平面和细长杆均可写出相应的公式。,44,静力学,解：由于对称关系，该圆弧重心必在Ox

11、轴，即yC=0。取微段,下面用积分法求物体的重心实例：,例 求半径为R，顶角为2 的均质圆弧的重心。,O,45,静力学,根据平行力系中心位置与各平行力系的方向无关的性质，将力线转成与y轴平行，再应用合力矩定理对x 轴取矩得：,综合上述得重心坐标公式为：,若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得质心公式,46,静力学,同理：可写出均质体，均质板，均质杆的形心（几何中心）坐标分别为：,47,静力学,三、重心的求法： 组合法,解：,48,静力学,简单图形的面积及重心坐标公式可由表中查出。,实验法： 悬挂法,称重法,49,静力学,例5-4 已知: RC=100mm, RD=50mm,Px=466

12、N, Py=352, Pz=1400N 求：平衡时(匀速转动)力Q=？和轴承A , B的约束反力？,解：选研究对象 作受力图 选坐标列方程 最好使每一个方程有一个未知数，方便求解。,50,静力学,51,静力学,52,静力学,方法(二) :将空间力系投影到三个坐标平面内，转化为平面力系平衡问题来求解，请同学们课后自己练习求解。,53,静力学,一、概念及内容： 1、空间力偶及空间力对点之矩是矢量， 2、空间力对轴之矩和平面力偶、平面力对点之矩是代数量。 3、空间力系合力投影定理： 4、空间力系的合力矩定理： 5、空间力对点之矩与对轴之矩的关系：,第五章 空间力系习题课,54,静力学,二、基本方程

13、1、空间力系的平衡方程,空间一般力系,空间汇交力系,空间力偶系,空间x轴力系,空间xoy 面的力系,四矩式、 五矩式和六矩式的附加条件均 为使方程式独立。,55,静力学,2、空间力系的几个问题： x , y, z (三个取矩轴和三个投影轴可以不重合)可以任选的 六个轴。 取矩方程不能少于三个（MO是矢量） 空间力系独立方程六个（空间物体六个自由度） 平面三个自由度 空间力系中也包括摩擦问题。,56,静力学,2、解题技巧： 用取矩轴代替投影轴，解题常常方便 投影轴尽量选在与未知力，力矩轴选在与未知力平行或相交 一般从整体局部的研究方法。 摩擦力F = N f ，方向与运动趋势方向相反。,3、注意

14、问题： 力偶在投影轴中不出现（即在投影方程中不出现） 空间力偶是矢量，平面力偶是代数量。 求物体重心问题常用组合法。 对于均质物体，重心、中心、形心为同一点。,57,静力学,例1 已知:P=2000N, C点在Oxy平面内 求：力P对三个坐标轴的矩,解：选研究对象；画受力图；选坐标列方程。,58,静力学,59,静力学,例2 已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=20kN; 求T2=？, T3=？N2 =？,由C点：,解：分别研究C点和B点作受力图,60,静力学,由B点：,61,静力学,此题训练： 力偶不出现在投影式中 力偶在力矩方程中出现是把力偶当成矢量后，类似力在投影式中投影 力争一个方程求一个支反力 了解空间支座反力,例3