《统计决策理论》PPT课件

1、1,Chp12：统计决策理论,用不同方法可能得到多个不同的估计，哪个估计更好一些？ 统计决策理论：比较统计过程的形式化理论,2,损失函数,损失函数：度量真值 与估计 之间的差异 损失函数举例,平方误差损失,绝对误差损失,损失,0-1损失,Kullback - Leibler损失,3,风险函数,注意：估计 是数据的函数，有时记为 风险函数：平均损失 估计 的风险定义为 对平方误差损失，风险为MSE 风险是 的函数 比较不同的估计，转化为比较不同估计的风险 但并不能清楚地回答哪个估计更好,4,风险比较,例12.3：令 ， 损失函数：平方误差损失 估计1：极大斯然估计： 偏差bias=0，所以,5,

2、风险比较,例12.3（续）:估计2：贝叶斯估计，先验为 ，则估计为 风险为 当 时，,，其中,6,风险比较,没有一个估计的风险在所有的p值都超过另外一个,7,风险比较,风险函数的两个单值概述 最大风险 贝叶斯风险 其中 为的先验。,8,风险比较,例12.5： 最大风险函数： ，所以根据最小最大风险， 更好一些,9,风险比较,例12.5： 贝叶斯风险：先验为 当 时， 所以根据最小贝叶斯风险， 更好一些,问题：需要先验，尤其对复杂问题的话，确定先验可能很困难,10,决策规则(Decision Rules),决策规则是估计的别名 最小化贝叶斯风险的决策规则称为贝叶斯规则或贝叶斯估计，即 为对应先验

3、 f 的贝叶斯估计 其中下界是对所有的估计 计算 最小化最大风险的估计称为最小最大规则 其中下界是对所有的估计 计算,11,贝叶斯估计,估计 的后验风险： 贝叶斯风险与后验风险： 其中 为X的边缘分布 为最小化后验风险 的的值 则 为贝叶斯估计 给定一个模型（先验和似然）和损失函数，就可以找到贝叶斯规则,12,证明：,13,贝叶斯估计,一些简单损失函数对应的贝叶斯规则 若 ，则贝叶斯规则为后验均值 若 ，则贝叶斯规则为后验中值 若 为0-1损失，则贝叶斯规则为后验众数(MAP),14,最小最大规则,找最小最大规则、或者证明一个估计是最小最大估计是一件很困难的事情。 本节主要讲述一个简单的方法：

4、有些贝叶斯估计（风险为常数）是最小最大估计 令 对应先验 f 的贝叶斯估计： 假设 则 为最小最大估计，且f 称为最小受欢迎先验( least favorable prior)。 上述结论一个简单的结论：如果一个贝叶斯规则的风险为常数 ，则它是最小最大估计。,15,正态分布的最小最大规则,定理12.14：令 ， 则 是关于任意损失函数的最小最大规则 且这是唯一有此性质的估计,16,MLE为近似最小最大估计,对满足弱正则条件的参数模型，极大似然估计近似为最小最大估计。对均方误差损失，通常 根据Cramer-Rao 不等式，这是所有无偏估计的方差的下界。,17,MLE为近似最小最大估计,因此对所有

5、估计 ，有 对大数n， MLE为近似最小最大估计。 因此，对大多数参数模型，当有大量样本时，MLE近似为最小最大估计和贝叶斯估计。 Many Normal Means 情况不成立（不是大样本）,18,可接受性(Admissibility),一个估计如果在所有值上都比其它估计的风险大，则该估计不是我们所希望的。如果存在一个其它的规则 ，使得 则该估计 是不可接受的。 否则， 是可接受的。,19,贝叶斯规则是可接受性,可接受性是与其他表示估计好坏的方法有何关系？ 在一些正则条件下，如果 为贝叶斯规则且有有限风险，则它是可接受的。 定理12.20：令 ，在均方误差损失下， 是可接受的。 风险为,20

6、,可接受性,如果 的风险为常数且是可接受的，则它是最小最大估计。 定理12.22：令 ，在均方误差损失下， 是最小最大估计。 风险为 虽然最小最大估计不能保证是可接受的，但它是“接近可接受的”。,21,多正态均值(Many Normal Means),Many Normal Means是一个原型问题，与一般的非参数估计问题等价。对这个问题，以前许多关于极大似然估计的正面的结论都不再满足。 令 ， 表示数据， 表示未知参数， c0，这里参数的数目与观测数据的数目一样多,22,Many Normal Means,MLE为 ，损失函数为 MLE的风险为 最小最大估计的风险近似为 ，且存在这样一个估计 能达到该风险。 存在风险比MLE更小的估计，因此MLE是不可接受的。 因此对高维问题或非参数问题，MLE并不是最优估计。另外在非参数场合，MLE的鲁棒性也不是很好。,23,底线,根据这些工具，怎样选择估计呢？ 如果一个估计是不可接受的，则该估计一定是不好