二重积分习题

1、习 题 课,二 重 积 分,知识要点,解题技巧,典型例题,2,其中,一、二重积分的概念与性质,是各小闭区域的直径中的最大值.,几何意义,二重积分I表示以D为底,柱体的体积.,z =f (x, y)为曲顶, 侧面是,（一）二重积分的定义,几何意义与物理意义,定义,1.,平面上有界闭区域D上二元有界函数,z = f (x, y)的二重积分,2.,当连续函数,以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面的曲顶,一般情形,知识要点,3,物理意义,3.,xOy平面上方的曲顶柱体体积,减xOy平面下方的曲顶柱体体积.,若平面薄片占有平面内有界闭区域D,则它的质量M为:,它的面,密度为连续函数,4,性质1(线性运

2、算性质),为常数, 则,(重积分与定积分有类似的性质),性质2,将区域D分为两个子域,对积分区域的可加性质.,（二）二重积分的性质,5,以1为高的,性质3(几何应用),若 为D的面积,既可看成是以D为底,柱体体积.,又可看成是D的面积.,特殊地,性质4(比较性质),则,(保序性),6,几何意义,以m为高和以M为高的,性质5(估值性质),为D的面积, 则,则曲顶,柱体的体积介于以D为底,两个平顶柱体体积之间.,7,性质6(二重积分中值定理),体体积等于以D为底,几何意义,域D上连续,为D的面积,则在D上至少存在一点,使得,则曲顶柱,为高的平顶柱体体积.,设f (x, y)在闭区,8,(1)设f

3、(x, y)在有界闭区域D上连续.,若D关于,则,x轴对称,f (x, y)对y为奇函数, 即,f (x, y)对y为偶函数, 即,则,其中,（三）对称区域上奇偶函数的积分性质,9,(2)设f (x, y)在有界闭区域D上连续.,若D关于,则,y轴对称,f (x, y)对x为奇函数, 即,f (x, y)对x为偶函数, 即,则,其中,10,(3)设f (x, y)在有界闭区域D上连续.,(4)若将D分成两部分,11,其中函数,在区间a, b上连续.,二、在直角坐标系中化二重积分为,累次积分,(1) 设f (x, y)在平面有界闭区域D上连续.,先对y 后对x的二次积分,12,其中函数,在区间c

4、, d上连续.,(2) 设f (x, y)在平面有界闭区域D上连续.,先对x 后对y的二次积分.,13,三、在极坐标系中化二重积分为累次积分,(1)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续.,其中函数,14,(2)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续.,其中函数,15,极坐标系下区域的面积,(3)设f (x, y)在平面有界平面闭区域D上连续.,其中函数,16,再确定交换积分次,1. 交换积分次序:,先依给定的积分次序写出积分域D的,不等式,并画D的草图;,序后的积分限;,2. 如被积函数为,圆环域时,或积分域为,圆域、扇形域、,则用极坐标计算;,解题技巧,17,3. 注意利用

5、对称性质,数中的绝对值符号.,以便简化计算;,4. 被积函数中含有绝对值符号时,应,将积分域分割成几个子域,使被积函数在,每个子域中保持同一符号,以消除被积函,18,解,例,计算积分,交换积分次序.,原式 =,典型例题,1.交换积分次序,19,计算,解,积分域是圆,故关于x、y轴、,故将被积函数分项积分:,而,又,所以,原式 =,对称,例,直线,2.利用对称性,20,证,所围立体的体积等于,是连续,的正值函数,所求立体在xOy面上的投影区域为,有:,例,证明:,21,解,原式 =,用极坐标.,对称性,积分区域关于x轴对称,例,3.坐标系的选择,22,若函数 f (x, y)在矩形区域D:,解,

6、上连续, 且,求 f (x, y) .,设,两边积分, 得,例,23,计算二重积分,D2,例,将D分成D1与D2两部分.,D1,其中,解,由于,直角坐标,3.被积函数带绝对值、最大(小)值符号的积分,24,其中,因此,25,其中,选择适当的坐标计算:,解,原式 =,例,26,其中,选择适当的坐标计算:,解,原式 =,例,27,例,由被积函数的表达式及积分区域的情况,的公共部分的面积.,解,无公共部分,28,例,无公共部分,29,解,例,交换二次积分的次序, 并把它化为极坐标系下的,二次积分.,这是无界区域上的二重积分.,在极坐标下,D的边界线,故,30,某城市受地理限制呈直角三角形分布,解,试计算该市总的税收收入.,这是一个二重积分的应用问题,临一条河.,斜边,和12km,由于交通关系, 城市发展不太平衡,这一点,可从税收状况反映出来.,若以两直角边为坐标轴建立,直角坐标系,则位于x轴和y轴上的城