1.3.1三角函数的周期性

1、三角函数的周期性,0,x,y,已知函数y=f(x),xR图像如图所示：,(2)f(-1.5)= ；,f(0.5)= ；,f( )=,问题1：你能用数学语言描述这个函数的特征吗？,f(x+1)=f(x),f(x+n)=f(x),0,0,0,0,0.5,0.5,0,0.5,n,0.5+n,问题2：你能用数学语言描述正弦函数的特征吗？,你能用数学语言描述余弦函数的特征吗？,sin(2+x)=sinx,cos(2+x)=cosx,sin(2k+x)=sinx,cos(2k+x)=cosx,问题3： 问题1、2中函数的共同特征是什么？,f(x+T)= f(x),一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零

2、的常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期,练习1 判断下列说法是否正确,（1） 时， 则 一定不 是 的周期（ ）,（2） 时， 则 一定是 的周期（ ）,问题4：根据诱导公式一，我们知道对每一个常数2k(kZ，且k0)都是正余弦函数的周期，那一般地，一个周期函数的周期有多少个？,若T是函数的周期，则kT(kZ，且k0)也是函数的周期.,对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期,问题5：最小正周期的定义中，为什么要用“如果”，是否意味着有些周期

3、函数不存在最小正周期？如果存在，请举例说明,对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期,如f(x)=2,xR. 函数y=f(x)是周期函数吗？有最小正周期吗？,问题6：周期函数的图象具有什么特征？,例1若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示 (1)求该函数的周期； (2)求t10s时钟摆的高度,解:(1)由图像可知，该函数的得周期T=1.5s,(2)设h=f(t),T=1.5s,=f(1),=20,故t10s时钟摆的高度为20mm,f(10),=f(1+61.5),例2 求下列函数的周期：,一般地，函数 及

4、 （其中 为常数，且 ）的周期是,总结：,例2 求下列函数的周期：,函数y=tanx是周期函数吗？,那么它的周期是多少？,它有最小正周期吗？,它的最小正周期是多少？,思考,函数y=tan(ax)(a0)是周期函数吗？,例3已知 ， 求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期.,练习4 已知定义在R上的函数f(x)满足： f(x+2)+f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？,变式2：已知定义在R上的函数f(x)满足： f(x+1)=f(x-1),且当x0,2)时,f(x)=x-4，求f(10)的值.,1.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，即存在非零常数T，使f(xT)=f(x)恒成立.,2.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.,3.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)