北京西城区高考二模数学文科试题

1、北京市西城区 2010 年 高 三 抽 样 测 试 数学试题（文科） 201005 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时长 120 分钟考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸 一并交回。 第卷（选择题 共 40 分） 一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分；在每个小题给出的四个选项中， 有且只有一个是符合题目要求的） 1设集合A 2,3,4,B 2,4,6,若x A且xB，则x等于 A2B3C4D6 （） （） 2已知命题p :x R,cos x 1，则 Ap :x R,cos x 1 Cp :x R

2、,cos x 1 Bp :x R,cos x 1 Dp :x R,cos x 1 x y 3, 3设变量x, y满足约束条件，则目标函数z y 2x的最小值为 x y 1 A1B2C3D4 4 “lnx 1”是“x 1”的 A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 （） （） 5如图，三棱柱 ABCA1B1C1的侧棱长和底面边长均为 2，且侧棱AA 1 底面 ABC，其 正（主）视图是边长为 2 的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为 A 3 B2 3C2 2D4 （） 6在数列an中，a11,an an1 n,n 2.为计算这个数列前 10 项的和，现给出该问

3、 题算法的程序框图（如图所示） ，则图中判断框（1）处合适的语句是 Ai 8 Bi 9 Ci 10 Di 11 （） 7等差数列an的前n项和为S n ，若 a 7 0,a 8 0，则下列结论正确的是 AS 7 S 8 CS13 0 （） BS15 S16 DS15 0 8给出函数f (x)的一条性质： “存在常数 M，使得| f (x) | M | x |对于定义域中的一切实 数x均成立。 ”则下列函数中具有这条性质的函数是 Ay （） 1 x By x Dy xsin x 2 Cy x 1 第卷 （非选择题 共 110 分） 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。

4、9i是虚数单位， i 。 2i 10函数y sin x cos x的最小正周期是，最大值是。 11在抛物线y 2px上，横坐标为 2 的点到抛物线焦点的距离为3，则p 。 12圆心在x轴上，且与直线y x切于（1，1）点的圆的方程为。 13设a,b,c为单位向量，a,b的夹角为 60，则acbc的最大值为。 2 n,n为奇数时, * 14我们可以利用数列an的递推公式ana ,n为偶数时(n N )求出这个数列各项 n 2 的值，使得这个数列中的每一项都是奇数。 则a21 a25； 研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8 个 5 是该数列的第项。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 8

5、0 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤。 15 （本小题满分 12 分） 在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为a,b,c,cos A 3 ,C 2A. 4 （I）求cosC的值； （II）若ac 24,求a,c的值。 16 （本小题满分 15 分） 在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40 名学生的成绩作为样本， 这 40 名学生的成绩全部在 40 分至 100 分之间，现将成绩按如下方式分成 6 组：第一组，成 绩大于等于 40 分且小于 50 分； 第二组， 成绩大于等于 50 分且小于 60 分； 第六组， 成绩大于等于 90 分且小于等于 100 分，据此

6、绘制了如图所示的频率分布直方图。 在选取的 40 名学生中。 （I）求成绩在区间80,90内的学生人数； （II） 从成绩大于等于 80 分的学生中随机选 2 名学生， 求至少有 1 名学生成绩在区间90， 100内的概率。 17 （本小题满分 13 分） 如图，已知四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，侧棱 BB1底面 ABCD，E 是侧棱 CC1的中点。 （I）求证：AC平面 BDD1B1； （II）求证：AC/平面 B1DE。 18 （本小题满分 14 分） x2y26 已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的离心率为 ，椭圆 C 上任意一点到椭圆 3ab 两个焦点的距离之和为

7、 6。 （I）求椭圆 C 的方程； （II）设直线l : y kx 2与椭圆 C 交于 A、B 两点，点 P（0，1） ，且|PA|=|PB|，求直 线l的方程。 19 （本小题满分 14 分） 设函数f (x) x a. （I）求函数g(x) xf (x)在区间0，1上的最小值； （II）当a 0时，记曲线y f (x)在点P(x1, f (x1)(x1 交于点A(x2,0)，求证：x1 x 2 20 （本小题满分 14 分） * 若由数列an生成的数列bn满足对任意的n N 均有bn1 bn,其中 2 a)处的切线为l,l与 x 轴 a. b n a n1 a n ，则称数列an为“Z 数

8、列” 。 2 （I）在数列an中，已知a n n，试判断数列a n 是否为“Z 数列” ； （II）若数列an是“Z 数列” ，a1 0,bn n,求an; （III）若数列an是“Z 数列” ，设s,t,m N ,且s t,求证atm a sm a t a s . * 参考答案 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。 14BCDA58BCCD 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。 9 12 i102,211212(x 2)2 y2 21331428，640 55 三、解答题： （本大题共 6 小题，共80 分。若考生的解法与本解答不同，正确者

9、可参照评分 标准给分） 15解： （I）因为cos A 3 , 4 3 分 5 分 所以cosC cos2A 2cos2A1 31 2( )21. 48 （II）在ABC中，因为cos A 3 , 4 7 分所以sin A 因为cosC 7 , 4 1 , 8 所以sinC 1( ) 根据正弦定理 所以 1 8 2 3 7 , 8 9 分 10 分 ac , sin AsinC a2 , c3 12 分又 ac=24，所以 a=4，c=6。 16解： （1）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间80,90的频率为 1 (0.0052 0.015 0.020 0.045)10 0.13 分 所以

10、，40 名学生中成绩在区间80,90的学生人数为400.1 4（人） 5 分 （II）设A 表示事件“在成绩大于等于80 分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生 成绩在区间90，100内” ， 由已知和（I）的结果可知成绩在区间80,90内的学生有 4 人， 记这四个人分别为 a,b,c,d。 成绩在区间90,100内的学生有 2 人， 记这两个人分别为 e,f， 则选取学生的所有可能结果为： 7 分 (a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a, f ),(b,c),(b,d),(b,e),(b, f ),(c,d),(c,e),(e, f ),(d,e) (d, f ),(e,

11、f ) 基本事件数为 15，9 分 事件“至少一人成绩在区间90，100之间”的可能结果为： (a,e),(a, f ),(b,e),(b, f ),(c,e),(c, f ),(d,e),(d, f ),(e, f ), 基本事件数为 9。 所以P(A) 11 分 13 分 93 . 155 17证明： （I）因为 ABCD 为菱形，所以 AC BD 因为 BB1底面 ABCD， 所以 BB1AC。3 分 所以 AC平面 BDD1B1。5 分 （II）设 AC，BD 交于点 O，取 B1D 的中点 F， 连结 OF，EF， 则 OF/BB1，且OF 1 BB1, 2 又 E 是侧棱 CC1的

12、中点， 1 CC 1 ,BB 1 /CC 1 ,BB 1 CC 1 , 2 1 所以 OF/CC1，且 OF=CC1， 2 EC 所以四边形 OCEF 为平行四边形，OC/EF， 又 AC平面 B1DE，EF平面 B1DE， 所以 AC/平面 B1DE。 18解： （I）由已知2a 6, 解得a 3,c 7 分 9 分 11 分 13 分 3 分 c6 ， a3 6 4 分 x2y2 1. 所以椭圆 C 的方程为 93 5 分 x 2y2 1 （III）由 9得,(13k2)x212kx 3 0，3 y kx 2 直线与椭圆有两个不同的交点，所以 144k 12(1 3k ) 0, 解得k2

13、22 1 . 9 7 分 设A(x 1 , y 1 ),B(x 2 , y 2 )， 则x 1 x 2 12k3 ,x x 12 13k213k2 8 分 12k4 , 2213k 413k 6k2 所以，A，B 中点坐标为E(10 分,), 2213k13k 计算y 1 y 2 k(x 1 x 2 ) 4 k 因为|PA|=|PB|，所以 PEAB，kPEk AB 1, 2 1 213k k 1， 所以 6k 13k2 解得k 1， 经检验，符合题意， 所以直线 l 的方程为x y 2 0或x y 2 0. 19 （I）解：g(x) x ax,g(x) 3x a. 当a 0时,g(x)为R

14、上的增函数, 所以g(x)在区间0,1上的最小值为g(0) 0； 当a 0时,g(x)的变化情况如下表： 32 12 分 13 分 14 分 2 分 4 分 x (, g(x) + a ) 3 ( aa ,) 33 ( + a ,) 3 所以，函数g(x)在(, aa ),(,)上单调递增， 33 6 分在( aa ,)上单调递减。 33 当 a 1,即0 a 3时， 3 g(x)在区间0,1上的最小值为g( a2a )=-3a; 7 分 39 当 a 1,即a 3时,g(x)在区间0，1上的最小值为g(1)1 a.8 分 3 综上，当a 0时,g(x)在区间0，1上的最小值为g(0) 0;

15、当0 a 3时,g(x)的最小值为 当a 3时,g(x)的最小值为1a. 2a 3a; 9 （II）证明：曲线y f (x)在点P(x 1, f (x2 )(x 1 a)处的切线方程为 y (x 1 2 a) 2x 1 (x x 1 ), x 1 2 a 令y 0,得x 2 ， 2x 1 a x 1 2 所以x 2 x 1 ,因为x 1 a, 2x 1 a x 1 2 所以 0,x 2 x 1. 2x 1 因为x 1 a,所以 x 1 a , 22x 1 10 分 11 分 x 1 2 ax 1 a 所以x 2 ;a, 2x 1 2 2x 1 所以x 1 x 2 13 分 a. 14 分 2 20解： （I）因为a n n , 22* 所以b n a n1 a n (n 1) n 2n 1,n N ,2 分 所以bn1bn 2(n 1)1 2n 1 2, 所以bn1 bn,数列an是“Z 数列” 。 （II）因为bn n, 4 分 所以a 2 a 1 b 1 1,a 3 a 2 b 2 2,L , a n a n1 b n1 (n 1), 所以a n a 1 1 2L (n 1) (n 1)n (n 2)， 2 (n 1)n 所以a n (n 2)， 2 (n