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文档简介

1、主要内容,第一节 - 矩阵,定义,举例,一、定义,设 P 是一个数域， 是一个文字，作多项式环,P .,一个矩阵，如果它的元素是 的多项式，即,P 的元素, 就称为 - 矩阵.,在这一章，我们来,讨论 - 矩阵的一些性质，并用这些性质来证明上,一章第八节中关于若尔当标准形的主要定理.,因为数域 P 中的数也是 P 的元素，所以在, - 矩阵中也包括以数为元素的矩阵.,为了与 - 矩,阵相区别，有时我们把以数域 P 中的数为元素的,矩阵称为数字矩阵.,以下用 A()， B()， 等,表示 - 矩阵 .,我们知道， P 中的元素可以作加、减、乘,三种运算, 并且它们与数的运算有相同的运算规律.,而

2、矩阵加法与乘法的定义只是用到其中元素的加法,与乘法，因此，我们可以同样定义 - 矩阵的加法,与乘法, 它们与数字矩阵的运算有相同的运算规律.,这些就不重复叙述与证明了.,行列式的定义也只用到其中元素的加法与乘法,因此, 同样可以定义一个 n n 的 - 矩阵的行列式.,一般地， - 矩阵的行列式是 的一个多项式, 它与,数字矩阵的行列式有相同的性质.,例如, 对于 - 矩,阵的行列式，矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积,这一结论，显然是对的.,既然有行列式，也就有 - 矩阵的子式的概念.,利用这个概念，我们有,定义 1 如果 - 矩阵 A() 中有一个 r ( r 1 ),级子式不为零，而所有

3、r + 1 级子式 (如果有的话),全为零，则称 A() 的秩为 r .,零矩阵的秩规定为,零.,对于数字矩阵，这与以前的定义是一致的.,与以前一样，我们还有：,定义 2 一个 n n 的 - 矩阵 A() 称为可逆,的，如果有一个 n n 的 - 矩阵 使,A() B() = B() A() = E , (1),这里 E 是 n 级单位矩阵.,适合 (1) 的矩阵 B() (它,是唯一的) 称为 A() 的逆矩阵，记为 A-1() .,关于 - 矩阵可逆的条件有：,定理 1 一个 n n 的 - 矩阵 A() 是可逆的,充分必要条件是行列式 | A() | 是一个非零数.,证明,先证充分性.,设,d = | A() |,是一个非零的数.,A*() 是 A() 的伴随矩阵，它也,是一个 - 矩阵 ，而,因此， A() 可逆.,再证必要性.,设 A() 可逆，则有,A() B() = B() A() = E ,上式两边取行列式，得,| A() | | B() | =|E | = 1 .,因为 | A() | 与 | B() | 都是 的多项式，所以由它,们的乘积是 1 可以推知，它们都是零次多项式，,也就是非零的

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