三维空间中的向量15-平面.ppt

1、MCU-應用統計資訊系,18講,1,三維空間概論與多元函數及 多元函數之極限與連續,MCU-應用統計資訊系,18講,2,子題一 : 三維空間概論 子題二 : 多元函數 子題三 : 多元函數之極限與連續,MCU-應用統計資訊系,18講,3,子題一 : 三維空間概論,MCU-應用統計資訊系,18講,4,子題一 : 三維空間概論課程內容摘要,三維空間中的笛卡耳坐標 三維空間中的向量 外積 (略) 三維空間中的直線與曲線 (略) 速度, 加速度及曲率 (略) 三維空間中的曲面 (略) 柱面與球面坐標 (略),MCU-應用統計資訊系,18講,5,子題一 : 三維空間概論課程內容摘要,三維空間中的笛卡耳坐

2、標 三維空間中的向量,MCU-應用統計資訊系,18講,6,我們學習微積分，此時將面臨一個轉變。直到現在我們已經廣泛且簡易地討論過所謂的歐氏平面或二度空間。微積分的觀念以引用在單一變數的函數，而其圖形可被畫在平面上。,三維空間中的笛卡耳坐標 (1),MCU-應用統計資訊系,18講,7,問題呈現在面前，我們想要針對三維空間來探討，甚至 n 維空間。我們將討論多變數微積分 (multiple variable calculus)，它用在含有兩個以上變數的函數。所有熟悉的觀念 (如極限、導函數、積分) 將以較高層次的觀點再探討。,三維空間中的笛卡耳坐標 (2),MCU-應用統計資訊系,18講,8,首先

3、，考慮三點互相垂直的坐標軸 (x-, y-及z-軸)，而且其零點定在一共同點O ， 稱為原點 (Origin)。雖然這些直線可任意定向，我們仍遵照一個標準的規定，可將y-及z-軸視做形成一張紙的平面，其正方向分別代表向右及向上， x-軸垂直於此紙張， 且假設正端點指向我們， 因此形成一右手系 (right-handed system)。,三維空間中的笛卡耳坐標 (3),MCU-應用統計資訊系,18講,9,我們稱它為右手乃是因為右手指由正 x-軸向著正 y-軸彎曲時，拇指指向正 z-軸的方向 (圖1)。,三維空間中的笛卡耳坐標 (4),圖1,MCU-應用統計資訊系,18講,10,三個軸決定三個平

4、面，即yz-，xz-及xy-平面，它們將空間分成 8 個卦限 (octants) (圖2)。,三維空間中的笛卡耳坐標 (5),圖2,MCU-應用統計資訊系,18講,11,對空間中每一點，有一有序三元組 (x, y, z) 與其對應，它的笛卡耳坐標以其三個平面的有向距離表示如下 (圖3):,三維空間中的笛卡耳坐標 (6),圖3,MCU-應用統計資訊系,18講,12,在第一卦限內標出各點 (此卦限的三個坐標全為正) 是相當簡單。在圖4及圖5兩個圖形中，我們說明標出在不同卦限的兩點是較困難的，點 P (2, -3, 4) 及 Q (-3, 2, -5) 。,三維空間中的笛卡耳坐標 (7),MCU-應

5、用統計資訊系,18講,13,三維空間中的笛卡耳坐標 (8),圖5,圖4,MCU-應用統計資訊系,18講,14,三維空間中的笛卡耳坐標 (9),- 距離公式 - 考慮三度空間中兩個點 P1 (x1, y1, z1) 及 P2 (x2, y2, z2) (x1 x2 , y1 y2 , z1 z2) ，它們可決定其一矩形體 (如平行六面體) ，其中 P1 及 P2 為對角頂點，其邊平行於坐標軸 (如圖6) 。,MCU-應用統計資訊系,18講,15,三維空間中的笛卡耳坐標 (10),圖6,MCU-應用統計資訊系,18講,16,三維空間中的笛卡耳坐標 (11),上圖三角形 P1 Q P2 及P1 RQ

6、為直角三角形 ，根據畢氏定理， | P1 P2|2 = |P1Q|2 + |QP2|2 且 | P1 Q|2 = |P1R|2 + |RQ|2 因此， | P1 P2|2 = |P1Q|2 +|RQ|2 +|QP2|2 = (x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2,MCU-應用統計資訊系,18講,17,三維空間中的笛卡耳坐標 (10),圖6,MCU-應用統計資訊系,18講,18,三維空間中的笛卡耳坐標 (11),上圖三角形 P1 Q P2 及P1 RQ為直角三角形 ，根據畢氏定理， | P1 P2|2 = |P1Q|2 + |QP2|2 且 | P1 Q|2 = |P1R|

7、2 + |RQ|2 因此， | P1 P2|2 = |P1Q|2 +|RQ|2 +|QP2|2 = (x2-x1)2 + (y2-y1)2 + (z2-z1)2,MCU-應用統計資訊系,18講,19,三維空間中的笛卡耳坐標 (12),例1. 求點 P (2, -3, 4) 及Q (-3, 2, -5) 之間的 距離。,解答,MCU-應用統計資訊系,18講,20,三維空間中的笛卡耳坐標 (13),- 球 (spheres) 及其方程式 - 根據距離公式我們很容易地得到球的方程式。一球亦指一固定點 (球心) 等距離 (半徑) 之所有點所成集合。事實上，若 (x, y, z )，為一半徑為 r，球心

8、在 (h, k, l) 之球上，則 (請參見圖7),MCU-應用統計資訊系,18講,21,三維空間中的笛卡耳坐標 (14),圖7,MCU-應用統計資訊系,18講,22,三維空間中的笛卡耳坐標 (15),此稱為一球的標準方程式。 以展開式表示此方程式，以上公式可寫成 相反地，任何具有此形式的方程式之圖形為一球，一點 (退化球) 或空集合。,MCU-應用統計資訊系,18講,23,三維空間中的笛卡耳坐標 (16),例2. 求方程式x2+y2+z2-10 x-8y-12z+68 = 0 之球的球心及半徑，並畫出圖形。,解答,先利用配方,MCU-應用統計資訊系,18講,24,三維空間中的笛卡耳坐標 (1

9、7),例2. (續),解答,MCU-應用統計資訊系,18講,25,三維空間中的笛卡耳坐標 (18),例2. (續),解答,因此，方程式表示球心在 (5, 4, 6) 及半徑為3的一球，其圖形如圖8所示。,MCU-應用統計資訊系,18講,26,三維空間中的笛卡耳坐標 (19),例2. (續),解答,x,圖8,MCU-應用統計資訊系,18講,27,三維空間中的笛卡耳坐標 (20),在例二中經配方，方程式可化為,則圖形表一點 (5, 4, 6); 若右邊為負的，則圖形將為空集合。,MCU-應用統計資訊系,18講,28,三維空間中的笛卡耳坐標 (21),另外有一個簡單的公式，依據距離公式可得中點公式

10、(Midpoint Formula) 。若P1(x1, y1, z1) 及P2(x2, y2, z2)表一線段， 則中點M (m1, m2, m3) 的坐標為,MCU-應用統計資訊系,18講,29,三維空間中的笛卡耳坐標 (22),例3. 求一球的方程式使其直徑二端點為 (-1, 2, 3) 及 (5, -2, 7) (圖9)。,解答,圖9,此球的中心在線段的中點上， 亦即在 (2, 0, 5); 半徑 r 滿足,此球的方程式為,MCU-應用統計資訊系,18講,30,三維空間中的笛卡耳坐標 (23),- 三度空間中的圖形 - 由於此距離公式的關係當然先考慮一二次方程式。但是假設一含x, y,

11、及 z 之線性方程式 即具有下列形式,應該是比較容易分析。,MCU-應用統計資訊系,18講,31,三維空間中的笛卡耳坐標 (24),一般情形， 一平面將相交三軸。首先我們可求出其交點; 即x-, y-及z-截距。這三點決定一個平面。在畫出其描跡，它們表示此平面與坐標平面相交的直線。用一點技巧，我們可在平面上描繪出陰影部份。,MCU-應用統計資訊系,18講,32,三維空間中的笛卡耳坐標 (25),例4. 試繪出3x + 4y + 2z = 12的圖形。,解答,欲求 x 截距，令 y 及 z 等於 0 ，解出x，得x = 4 ，對應的點為 (4, 0, 0) 。同理，求出y-及z-截距為 (0,

12、3, 0) 和 (0, 0, 6) 。其次，連結這些點呈線段而得出它們的描跡，同時平面的陰影部份 (第一卦限) 如圖10所示即為所求。,MCU-應用統計資訊系,18講,33,三維空間中的笛卡耳坐標 (26),例4. (續),圖10,描跡,(平面),MCU-應用統計資訊系,18講,34,三維空間中的笛卡耳坐標 (25),例5. 試描出三度空間中2x + 3y = 6的圖形。,解答,x-及y- 截距分別為 (3, 0, 0) 及 (0, 2, 0) ，且這些點可決定平面的描跡。此平面恆不與z-軸相交 (x及y不同時為0) ，所以平面平行與z-軸， 如圖11所示。,MCU-應用統計資訊系,18講,3

13、5,三維空間中的笛卡耳坐標 (26),例5. (續),解答,圖11,MCU-應用統計資訊系,18講,36,三維空間中的笛卡耳坐標 (27),注意以上各例中，在三度空間中，方程式的圖形為一曲面 (surface) ，對照在二度空間的情形，一方程式的圖形通常為一曲線 (curve) 。,MCU-應用統計資訊系,18講,37,子題一:三維空間概論課程內容摘要,三維空間中的笛卡耳坐標 三維空間中的向量,MCU-應用統計資訊系,18講,38,三維空間中的向量 (1),三度空間中的向量 (vector) 具有3個分量，即,此處i = , j = 且 k = 為標準單位向量，稱它們為基底向量，三個皆指三正坐

14、標的方向 (圖12) 。u的長度，計作|u| ，由距離公式可得,MCU-應用統計資訊系,18講,39,三維空間中的向量 (2),三度空間中的向量 (vector) 具有3個分量，即,圖12,MCU-應用統計資訊系,18講,40,三維空間中的向量 (3),如同空間上的向量可以做相加，純量積及相減及一些代數性質。 及 的內積 (dot product)定義為 它一具有前面所提的幾何意義，即,MCU-應用統計資訊系,18講,41,三維空間中的向量 (4),此處為u及v的夾角。因為，我們仍然可得知兩向量互相垂直， 若且唯若它們的內積為0。,MCU-應用統計資訊系,18講,42,三維空間中的向量 (5)

15、,例1. 若A = (1, -2, 3), B = (2, 4, -6) 及 C = (5, -3, 2) (圖13) ， 求角ABC。,圖13,MCU-應用統計資訊系,18講,43,三維空間中的向量 (5),例1. (續),解答,首先決定向量u及v (以原點為始點) 以同等於 及 。這只要將終點坐標減去始點坐標即可，意指,MCU-應用統計資訊系,18講,44,三維空間中的向量 (6),例1. (續),解答,因此,大約22.31o,MCU-應用統計資訊系,18講,45,三維空間中的向量 (3),如同空間上的向量可以做相加，純量積及相減及一些代數性質。 及 的內積 (dot product)定義

16、為 它一具有前面所提的幾何意義，即,MCU-應用統計資訊系,18講,46,三維空間中的向量 (7),例2.已知一向量m平行於v = 及一向量n垂直於v ，證明u = 為m及v的和 (圖14)。,圖14,MCU-應用統計資訊系,18講,47,三維空間中的向量 (8),例2. (續),首先求prvu，即為u對v的投影。,解答,MCU-應用統計資訊系,18講,48,三維空間中的向量 (9),例2. (續),即,解答,若計算m及n的內積為0 ，則吾人確知它們為戶相垂直。,MCU-應用統計資訊系,18講,49,三維空間中的向量 (10),-方向角及餘弦-,一非零向量a與基底向量i, j, k的(最小非負

17、) 夾角為a的方向角;它們分別設為, 及(圖15) 。 一般為了方便起見，我們表為方向餘弦cos , cos 及cos。若a = a1i + a2j + a3k ，則,MCU-應用統計資訊系,18講,50,三維空間中的向量 (11),圖15,MCU-應用統計資訊系,18講,51,三維空間中的向量 (12),同理，,注意，,事實上，為與原向量a具有同方向的一單位向量。,MCU-應用統計資訊系,18講,52,三維空間中的向量 (13),例3.求a = 4i 5j + 3k 的方向角。,因,解答,MCU-應用統計資訊系,18講,53,三維空間中的向量 (14),例3. (續),且,解答,MCU-應用

18、統計資訊系,18講,54,三維空間中的向量 (13),例4.求長為5單位的一向量，使其 = 32o及 = 100o為兩個方向角。,首先知第三個方向角必須滿足,解答,因此,MCU-應用統計資訊系,18講,55,三維空間中的向量 (14),例4. (續),兩向量必須符合已知的條件，它們為,解答,及,MCU-應用統計資訊系,18講,56,三維空間中的向量 (15),- 平面 (planes) -,說明一平面的最主要方法就是要利用向量的用詞。設 n = 為一固定非零向量且 P1 (x1, y1, z1) 為一固定點。滿足 之所有P點所成集合，即表通過P1且垂直於 n 的一平面。因為每一平面包含一點且垂

19、直於某向量，一平面可能以下列方式來描述。,MCU-應用統計資訊系,18講,57,三維空間中的向量 (16),欲求得平面的直角坐標方程式， 以分量形式表示向量 ，即,則， 相當於,MCU-應用統計資訊系,18講,58,三維空間中的向量 (16),以上方程式 (A, B, C中至少有一異於0) 稱為一平面方程式的標準式。如果我們將括號消去並化簡，則上述方程式具有一般線性方程式,MCU-應用統計資訊系,18講,59,三維空間中的向量 (17),因此， 每一平面有一線性方程式。反之，在三度空間中一線性方程式的圖形恆為一平面。欲了解後者之意，令 (x1, y1, z1) 滿足方程式，即,MCU-應用統計

20、資訊系,18講,60,三維空間中的向量 (18),當我們將較上面的方程式減去此方程式， 可得前面框號的方程式，它正是表示一平面。,MCU-應用統計資訊系,18講,61,三維空間中的向量 (19),例5. 求一平面方程式使其通過 (5, 1, -2)且垂直 n = ，然後再求此平面與平面3x - 4y - 7z = 5之夾角。,解答,首先，我們用平面方程式的標準式，可得,或,MCU-應用統計資訊系,18講,62,三維空間中的向量 (20),例5. (續),解答,一向量m垂直於第二個平面為m = ，這兩平面的夾角即它們的法向量之夾角 (圖16) 。因此，,MCU-應用統計資訊系,18講,63,三維

21、空間中的向量 (21),例5. (續),解答,圖16,MCU-應用統計資訊系,18講,64,三維空間中的向量 (22),例5. (續),解答,事實上，這兩平面有兩個夾角，然而它們是互補的 (supplementary) 。我們亦可得到另一夾角，即以180o減去第一個值，即103.74o 。,MCU-應用統計資訊系,18講,65,三維空間中的向量 (23),例6. 證明:點 (x0, y0, z0) 至平面Ax + By + Cz = D 的距離 L 為公式,解答,令 (x1, y1, z1) 為平面上的一點，且 m = 為從(x1, y1, z1) 到(x0, y0, z0) 的向量，如圖17

22、所示。,MCU-應用統計資訊系,18講,66,三維空間中的向量 (24),例6. (續),解答,圖17,MCU-應用統計資訊系,18講,67,三維空間中的向量 (25),例6. (續),解答,此時，n = 為垂直於給定平面的一向量，它亦可能在圖形中指向相反方向設我們所求的 L 為 m 對 n 的投影， 因此，,MCU-應用統計資訊系,18講,68,三維空間中的向量 (26),例6. (續),解答,但 (x1, y1, z1) 在此平面上，所以,將以上結果代入 L 的式中，則得證,MCU-應用統計資訊系,18講,69,子題二 : 多元函數,MCU-應用統計資訊系,18講,70,子題二 : 多元函

23、數課程內容摘要,概論 了解雙變數函數 多元函數實例及圖形 等高線圖,MCU-應用統計資訊系,18講,71,子題二 : 多元函數課程內容摘要,概論 了解雙變數函數 多元函數實例及圖形 等高線圖,MCU-應用統計資訊系,18講,72,許多數量所依賴的變數往往超過一個;食物成長的數量與雨量和肥料使用量有關化學反應的速率依賴其進行環境的溫度及壓力而定; 買肉的數量依賴肉的價格和購買者的收入而定; 火山爆發的輻射塵量與距火山的距離和爆發後已過的時間有關。,概論 (1),MCU-應用統計資訊系,18講,73,子題二 : 多元函數課程內容摘要,概論 了解雙變數函數 多元函數實例及圖形 等高線圖,MCU-應用

24、統計資訊系,18講,74,了解雙變數函數 (1),為了避免飛機有太多空位，航空公司以原價出售某些機票，而以折扣價出售另一些機票。對某條特定的航線而言， 航空公司在一段時間的收入 R 是由以原價賣出的機票數 x 和以折和價賣出的機票數 y 所決定的。我們說 R 是 x 和 y 的函數，並寫成。,MCU-應用統計資訊系,18講,75,了解雙變數函數 (2),這和單變數函數的記號相似。變數 R 是相依 (因) 變數，而 x 和 y 是獨立(自)變數。字母 f 是表示函數 (function) 或給定x, y，對應的 R 值給定的規則。所有可能的輸入值 (x, y)，稱為f 的定義域 (domain)

25、。 一個雙變數函數，可以數值地以函數值列表表示，代數地以數學式表示，或在圖形上以等高線圖表示。,MCU-應用統計資訊系,18講,76,了解雙變數函數 (3),航空公司在某航線的收入 R 為原價售出的機票數與折價售出的機票數的函數，列表於表1。,- 數值地給定函數值 -,MCU-應用統計資訊系,18講,77,了解雙變數函數 (4),原價售出的機票數, x,折 價 售 出 的 機 票 數 , y,MCU-應用統計資訊系,18講,78,了解雙變數函數 (5),表1中，x 的值在上面，y的值在左邊，相對應的f (x, y) 值在表中，例如，要求f (300, 600) 的值，我們看x = 300 的那

26、一行，y = 600 的那一列，就可以找到225,000這個數。因此，,這表示由原價機票 300 張和折價機票 600 張 的收入為 $225,000,f (300, 600) = 225,000,MCU-應用統計資訊系,18講,79,了解雙變數函數 (6),表1所給的值可以用數學式來表示。看每一列，我們看出每多售出 100 張原價機票，收入增加 $35,000 ，所以每張機票原價一定是$350 ，同樣地看每一行，每多售出 200 張折價機票，收入增加$40,000 ，所以每張折價機票必為$200，因此收入函數可用數學式表示:,R = 350 x + 200y,MCU-應用統計資訊系,18講,

27、80,了解雙變數函數 (7),例1. 給函數 M = f (B, t)一個公式， M為在原來存款 B 元 t 年後銀行帳戶的金額，若年利率 5% ，複利採 (a) 一年利，(b)連續制。,MCU-應用統計資訊系,18講,81,了解雙變數函數 (8),例1. (續),解答,(a) 年複利表示 M 每年以因子 1.05 在增加，所以,(b) 連續複利表示 M依照函數ekt 在成長 k = 0.05，所以,MCU-應用統計資訊系,18講,82,了解雙變數函數 (9),我們可以借由一次變化一個變數，且將其它變數固定不變來對多元函數有更多的了解， 如此， 就可得到一個變數的函數。稱為原函數的截面 (cr

28、oss-section) 。,-調查變數函數的策略: 一次變動一個變數-,MCU-應用統計資訊系,18講,83,了解雙變數函數 (10),當藥物注入肌肉纖維後，就開始散入血管中，在血中藥的濃度增加至一最高值， 然後就開始減少，血液中藥的濃度C (每100 毫升的毫克數) 是兩個變數的函數: 注入的藥量 x (單位毫克) 和注入後的時間 t (單位小時) ，若我們知道,(1) 藥物在血液中的濃度,MCU-應用統計資訊系,18講,84,了解雙變數函數 (11),例2. 以血液中藥物濃度解釋截面的意義。(a) f (4, t)(b) f (x, 1),解答,(a) 將 x 固定為 4 單位，意思是我

29、們考慮注入肌肉的藥量是4毫克，讓 t 變化意思是我們考慮時間過去此藥劑的影響，因此函數f (4, t) 是以時間為函數敘述注入 4 毫克,MCU-應用統計資訊系,18講,85,了解雙變數函數 (12),例2. (續),解答,後血液中藥濃度的變化，圖18為f (4, t) = te-t的圖形，注意到此劑在注入後1小時在藥的濃度最大，在這之後，血液中濃度就開始下降且逐漸趨近 0 。,MCU-應用統計資訊系,18講,86,了解雙變數函數 (13),例2. (續),解答,18,MCU-應用統計資訊系,18講,87,了解雙變數函數 (14),例2. (續),解答,(b) 將 t 固定在 1 表示我們要看

30、注入後 1 小時血液中的濃度，讓 x 變化意思是我們要考慮在那個瞬間不同藥量的影響，因此，函數f (x, 1) = e-(5-x) = ex-5的圖形 (圖19)，注意到f (x, 1) 是 x 的遞增函數，這是合理的，若我們施給更多的藥，血液中濃度會更高 。,MCU-應用統計資訊系,18講,88,了解雙變數函數 (15),例2. (續),解答,圖19. 函數 f (x, 1) 表示注射後1小時的血液中濃度,MCU-應用統計資訊系,18講,89,子題二 : 多元函數課程內容摘要,概論 了解雙變數函數 多元函數實例及圖形 等高線圖,MCU-應用統計資訊系,18講,90,多元函數實例及圖形 (1)

31、,如同單變數函數一樣，以 x, y 為自變數的二變數函數，是兩集合間的運算法則，使對每一組有序對 (x, y)，僅有一實數值 f (x, y) 是 (x, y) 之函數值 。函數 f (x, y) 常用代數式子來表示運算關係，例如: f (x, y) = xy 表長為 x 單位, 寬為 y 單位的矩形區域面積,MCU-應用統計資訊系,18講,91,多元函數實例及圖形 (2),若無特別的指定 x, y 範圍，我們是以使函數式子為有意義之 x, y 值為其定義域。自變數三個以上的多變數函數 f (x1, x2, , xn)，運算法則及定義域的規定，也如同二變數函數一樣。,MCU-應用統計資訊系,1

32、8講,92,例1. 設 f (x, y) = ln (x + y) (1) 試求 f (x, y) 之定義域 (2) 試求 x = 10, y = -7時之函數值,解答,f (x, y) 之定義域為 (x, y)|x, y是實數但 x + y 0 (2) 在x = 10, y = -7時之函數值為 f (x, y) = ln (10 7) = ln3,多元函數實例及圖形 (3),MCU-應用統計資訊系,18講,93,例1. (續),解答,多元函數實例及圖形 (4),圖20,MCU-應用統計資訊系,18講,94,多元函數實例及圖形 (5),生產成本可分為勞力成本及資金成本，其中資金成本涵蓋了建廠

33、成本，機器設備成本及其它在生產過程之中所需的東西。若有 x 單位的勞力與 y 單位資本可供生產之用，則生產函數f (x, y) = cxy1- ，c 0且0 1，稱為柯柏 道格拉斯生產函數 (Cobb-Douglas production function)。,MCU-應用統計資訊系,18講,95,多元函數實例及圖形 (6),在三度空間坐標系中，將 (x, y) 值先標示在 xy 平面上，再視函數值 f (x, y) 為z 分量值，如此便標出 (x, y, f (x, y) 的坐標位置，如圖21。而z = f (x, y) 的圖形即是當x, y 值變動時，所有(x, y, f (x, y) 的

34、點形成的集合，通常為一曲面。除了較簡單的函數外，二變數函數圖形不易描繪，但可藉助電腦來繪圖。,MCU-應用統計資訊系,18講,96,多元函數實例及圖形 (7),21.,MCU-應用統計資訊系,18講,97,例2. 描繪 z = f (x, y) = x2 + y2之圖形,解答,多元函數實例及圖形 (8),22.,MCU-應用統計資訊系,18講,98,例3. 描繪 之圖形,解答,多元函數實例及圖形 (9),23.,MCU-應用統計資訊系,18講,99,子題二 : 多元函數課程內容摘要,概論 了解雙變數函數 多元函數實例及圖形 等高線圖,MCU-應用統計資訊系,18講,100,當我們看一般圖形時，

35、常藉著所謂的高等線 (contour) 來瞭解實際的地形變化，是高是低，是陡峭還是平緩。而所謂高度為 c 的等高線，即是取垂直於 z 軸的平面z = c 與曲面 z = f (x, y) 交集後的曲線，將此空間中的曲線垂直投影在 xy 平面上，所得之平面曲線。若 xy 平面上的高等線越緊密的地方，表示實際的地勢愈陡峭。,等高線圖 (1),MCU-應用統計資訊系,18講,101,而若等高線愈稀疏的地方，表示實際的地勢較平穩。圖24即表示一實際地形與其等高線之關係。,等高線圖 (2),MCU-應用統計資訊系,18講,102,24.,等高線圖 (3),MCU-應用統計資訊系,18講,103,例1.

36、描繪 z = f (x, y) = x2 + y2在高度c = 0 , c = 1, c = 4, c = 9 時之等高線。,解答,平面 z = c 與區面 z = x2 + y2 交集後，即為曲線x2 + y2 = c ，在 xy 平面上是一半徑為根號 c 之圓。,等高線圖 (4),MCU-應用統計資訊系,18講,104,例1. (續),解答,等高線圖 (5),MCU-應用統計資訊系,18講,105,例1. (續),解答,x,圖25. z = x2 + y2與其等高線,等高線圖 (6),MCU-應用統計資訊系,18講,106,一生產函數的等高線稱為等量曲線 (isoquant; level

37、of constant production) 。等量曲線為f (x, y) = c ，是表示生產量為 c 時，兩種生產要素 x 及 y ，所有可能組合點 (x, y) 之軌跡。,等高線圖 (7),MCU-應用統計資訊系,18講,107,在經濟學上，衡量消費者同時購買第一種商品 x 單位，第二種商品 y 單位時所獲得的滿足程度的函數，稱為效用函數 U ( x, y) (utility function) 。其等高線 U (x, y) = c 稱為無異曲線 (indifference curves) ，是表示兩種商品所有產生同等效用 c 之組合點 (x, y) 之軌跡。,等高線圖 (8),MCU

38、-應用統計資訊系,18講,108,- 應用: 氣象圖 -,等高線圖 (9),26.,MCU-應用統計資訊系,18講,109,- 應用: 地形圖 -,等高線圖 (10),27.,MCU-應用統計資訊系,18講,110,子題三 : 多元函數之極限與連續,MCU-應用統計資訊系,18講,111,子題三 : 多元函數之極限與連續性 課程內容摘要,定義 在某點的連續性 在一集合上的連續性,MCU-應用統計資訊系,18講,112,子題三 : 多元函數之極限與連續性 課程內容摘要,定義 在某點的連續性 在一集合上的連續性,MCU-應用統計資訊系,18講,113,定義 (1),上述極限定義，具有一般明確的意義

39、:即，當 ( x, y) 趨近於 (a, b) 時，f (x, y) 的值就愈趨近於 L。問題是在於 (x, y) 以有無限多種方式趨近於 (a, b) (圖26) 。我們想定義出，無論 (x, y) 以何路徑趨近 (a, b) ，都會得到同一個 L 。,MCU-應用統計資訊系,18講,114,定義 (2),圖26,MCU-應用統計資訊系,18講,115,定義 (3),正式定義表示對單變數的實值函數及單變數的向量值函數仍然適合。若是我們正確地解釋的話 (圖27)，就有定義如下。,MCU-應用統計資訊系,18講,116,定義 (4),圖27,MCU-應用統計資訊系,18講,117,定義 (5),

40、定義 我們稱 ， 意指任給 0 (無論如何地小) ， 則必存在一個 0 ， 使得若 0 |(x, y) (a, b)| ，則 |f (x, y) L| 。,MCU-應用統計資訊系,18講,118,定義 (6),欲解釋 |(x, y) (a, b)|，可視 (x, y) 及 (a, b)為二向量，則,且滿足0 |(x, y) (a, b)| 的點是指除圓心 (a, b) 外，在半徑為之圓內的點 (圖28) 。,MCU-應用統計資訊系,18講,119,定義 (7),圖28,MCU-應用統計資訊系,18講,120,定義 (8),這個定義有幾項觀點: 它完全不考慮趨近 (a, b) 的路徑表示。 這意

41、指若不同趨近路徑導出不同L值，則極限不存在。 f (x, y) 在 (a, b) 的行徑是不相關的; 即函數在 (a, b) 甚至不一定有定義，由 0 |(x, y) (a, b)| 可推出。,MCU-應用統計資訊系,18講,121,定義 (9),3. 這個慣用的定義可推廣至含 3 個變數 (甚至更多) 的函數。只要以 (x, y, z) 及 (a, b, c) 代替 (x, y) 及 (a, b)。 一般恆成立的例子在此亦可使用，如,MCU-應用統計資訊系,18講,122,子題三 : 多元函數之極限與連續性 課程內容摘要,定義 在某點的連續性 在一集合上的連續性,MCU-應用統計資訊系,18

42、講,123,在某點的連續性 (1),我們稱 f 在點 (a, b) 連續，我們必須有 (1). f 在(a, b)上有一值 (2). f 在 (a, b) 上有一極限 (3). f 在 (a, b) 的值等於 f 的極限 總之，,MCU-應用統計資訊系,18講,124,在某點的連續性 (2),這與單變數函數需要的連續是一樣的， 直觀上，意指 f 在 (a, b) 沒有跳動或劇烈 上下搖動或無界。 如同單變數函數一樣，連續函數的和, 積及商亦為連續 (最後結果，必須分母不 為0) 。我們可得知含有兩個變數的多元函 數為到處連續，因為它們為連續函數ax, by 及c 的和及積，此處a, b 及 c

43、 為常數。,MCU-應用統計資訊系,18講,125,在某點的連續性 (3),例如，f (x, y) = 5x4y2 2xy3 + 4 在 xy 平面 上所有點皆連續。 含有兩個變數的有理函數為多項式函數 的商，因此只要在分母不為 0 之各處皆連 續 。例如，f (x, y) = (2x + 3y) / (y2 4x) 除 了拋物線 y2 = 4x 上的點外到處連續。如 同單變數函數一樣，二連續函數的合成函 數亦為連續。,MCU-應用統計資訊系,18講,126,定理 A 函數的合成 設含有兩個變數函數 g 在 (a, b) 上連續， 且單變數函數 f 在 g (a, b) 上連續，則合成函數 f

44、 o g 定義為 (f o g) (x, y) = f (g(x, y)，它在 (a, b) 上連續。,在某點的連續性 (4),MCU-應用統計資訊系,18講,127,子題三 : 多元函數之極限與連續性 課程內容摘要,定義 在某點的連續性 在一集合上的連續性,MCU-應用統計資訊系,18講,128,在一集合上的連續性 (1),我們稱 f (x, y) 在一集合 S 上連續，意指 f (x, y) 在此集合的每一點皆連續。 首先，我們必須介紹一些平面中有關的 集合名稱 (即在高度空間) 。我們稱以點 P 為中心之半徑為 的一鄰域，意指滿足 |Q P| 之所有 Q 點所成集合。,MCU-應用統計資

45、訊系,18講,129,在一集合上的連續性 (2),在二維空間中，一鄰域表一圓的“內部”; 在三維空間中，它是表一球的內部 (圖29)。 若存在 P 的一鄰域包含於 S，我們稱點 P 為集合 S 的一內點。S 的所有內點所成集合 稱為 S 的內集。另一方面，若 P 的每一鄰 域同時包含 S 的點及不在 S 內的點，我們 稱 P 為 S 的一邊界點。,MCU-應用統計資訊系,18講,130,在一集合上的連續性 (3),二維空間中的一鄰域,三維空間中的一鄰域,MCU-應用統計資訊系,18講,131,在一集合上的連續性 (4),在圖30中，A 為 S 的一內點，且 B 為 S 的一邊界點。最後，若一集

46、合的點皆為內點，則稱此集合為開集，若它表示包含所有邊界點，則此集合為閉集。對照一維空間的開區間及閉區間，便知此意。,MCU-應用統計資訊系,18講,132,在一集合上的連續性 (5),MCU-應用統計資訊系,18講,133,在一集合上的連續性 (6),若 S 為一開集，我們稱 f 在 S 上連續，意指 f 在 S 的每一點皆連續 。另一方面，若 S 給一些或所有邊界點，則我們必須小心說明在如此點的連續性之正確涵義。,MCU-應用統計資訊系,18講,134,課程回顧,MCU-應用統計資訊系,18講,135,三維空間概論與多元函數及 多元函數之極限與連續,MCU-應用統計資訊系,18講,136,子題一 : 三維空間概論 子題二 : 多元函數 子題三 : 多元函數之極限與連續,MCU-應用統計資訊系,18講,137,子題一 : 三維空間概論,MCU-應用統計資訊系,18講,138,子題一 : 三維空間概論課程內容摘要,三維空間中的笛卡耳坐標 三維空間中的向量 外積 (略) 三維空間中的直線與曲