数学人教版九年级上册垂直于弦的直径.ppt

1、如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 0.1 m）,37米,7.23米,1.请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的任意一条直径翻折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,可以发现： 圆是轴对称图形，任何一条 直径所在直线都是它的对称轴它有无数条对称轴,O,A,B,C,D,E,3、已知在O中，线段CD是直径， AB是弦，且CDAB ，垂足为E 求证：直线CD是这个图形的对称轴,证明：连接OA、OB,在OAB中，OA=OB，OAB是等腰三角形，CDABA

2、E=EB即直线CD是AB的垂直平分线， 直线CD是弦AB的对称轴。,2、右图是轴对称图形吗？ 如果是，有几条对称轴？ 如何画出它的对称轴？,又CD过圆心CD是O的对称轴,CD 是这个图形的对称轴,把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC与BC重合，AD与BD重合,O,B,C,D,A,E,因此，AE=BE，AC=BC，AD=BD,这就是说，已知 : CD是直径，CDAB 可得 : AE=BE，AC=BC，AD=BD,条件,结论,（1）直径 （2）垂直于弦,（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧ACB （5）平分弦所对的劣弧AB,垂径定理：垂直于弦的直径平

3、分弦，并且平分弦所对的两条弧,归纳,CDAB,如图 CD是直径,AE=BE,AC =BC,C,D,E,几何语言：,老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,下列哪些图形可以用垂径定理？你能说明理由吗？,图1,图2,图3,图4,定理辨析,注意：定理中的两个条件（过圆心，垂直于弦）缺一不可！,O,A,B,C,D,E,经过刚才的探讨，我们知道，过圆心作弦AB的垂线是这个图形的对称轴，那么还有没有其他方法可以作出这个图形的对称轴呢？,已知：CD是直径，AE=BE,直线CD是这个图形的对称轴吗？,条件,结论,（1）直径 （3）平分弦,（2）垂直于弦 （4）平

4、分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,平分弦 的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,推论：,一条直线满足： （1） 过圆心 （2）垂直于弦 （3） 平分弦 （4）平分弦所对的劣弧 （5）平分弦所对的优弧 以上五个中只要符合两个条件，就能得到其它三个结论。 知二推三,（1）直径（2）垂直于弦（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,弦不是直径,B,E,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求O的半径,O,A,B,E,答：O的半径为5 cm。,巩固新知,关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。 作垂直，连半径构造直角三角

5、形，将问题转化为直角三角形的问题。,2、如图，已知在两同心圆O 中，大圆弦 AB 交小圆于 C，D，则 AC 与 BD 间可能存在什么关系？,E,证明：OE垂直于小圆的弦CD CE=DE 又OE垂直于大圆 的弦AB AE=BE AE-CE=BE-DE 即：AC=BD,你能利用垂径定理求赵州石桥拱半径的问题吗?,如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（精确到 0.1 m）,问题回解,37m,7.23m,A,B,O,C,D,设OA=x,OCAB AD=DB= AB=18

6、.5m,OD=OC-CD=x-7.23,在RtADC中,解得R=27.3（m）,即主桥拱半径约为27.3m.,7.23,x-7.23,18.5,x,设AB所在的圆的圆心为O，由题意知：AB=37m，过O作OCAB，垂足为D，交弧AB于C，CD=7.23m,x2=18.52+(x-7.23)2,解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为R.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高., AB=37m，CD=7.23m, AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23,解得R=27.3（m）,即主桥拱半径约为2

7、7.3m.,18.5,R-7.23,R,7.23,在RtADC中,18.5,R,R-7.23,18.5,R,7.23,R-7.23,18.5,R,说一说,1、本节课你学到了哪些数学知识？ 2、在利用垂径定理解决问题时，你 掌握了哪些数学方法？,教科书习题 24.1第 2，8，9 题,布置作业,思考题： 1.如图，C=90，C与AB交于点D，AC=5,CB=12,求AD的长,2.已知：AB和CD是O内的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm，O的半径为5cm，,活动三,练习,6、将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸 片上，使其一边经过圆心O,另一边所在直线 与半圆交于点D、E, 量出半径 OC

8、 = 5cm,弦 DE=8cm。求直尺的宽度。,3.如图，C=90，C与AB交于点D，AC=5,CB=12,求AD的长,例1：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8， 圆心O到AB的距离为3 ，求圆O的半径。,变式1:在半径为5 的圆O中，有长8 的 弦AB，求点O与AB的距离。,2：在半径为5 的圆O中，圆心O到弦AB的距离为3 ，求AB的长。,O,A,B,2、如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。,解：连接OA，, CD是直径，OEAB, AE= AB=5,设OA=x，则OE=x-1，由勾股定理得,x2=52+(x-1)2,解得：x=13, OA=13, CD=2OA=26,即直径CD的长为26.,垂径定理,定理 垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,条件,结论,（1）直径 （2）直径垂直于弦,（1）平分弦 （2）平分弦所对的优弧 （3）平分弦所对的劣弧,CDAB,如图 CD是直径,AM=BM,AC =BC,几何语言：,3.如图，C=90，C与AB交于点D，AC=5,CB=12,求AD的长,如图，AB是O的一条弦，