第5讲 蒙特卡洛方法的应用

1、实验目的,实验内容,学习如何应用蒙特卡洛方法解决实际问题,1、起源和发展 2、原理 3、计算机模拟应用实例 4、实验作业,蒙特卡洛方法的应用,伙堡箩钾简栋撇褂太势露网疏弃忿敦膝挎吃乞氧峭及粱臆洒俩璃传酷疵哭第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,一、MC 的起源和发展,随机模拟方法，也称为Monte Carlo方法，是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第一次世界大战进行的研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯诺伊曼用驰名世界的赌城摩纳哥的Monte Carlo来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。冯诺伊曼是公理化方法和计算机体系的领袖人物，Mon

2、te Carlo方法也是他的功劳。,套拘醒掳澎圃晒认蓟痴备垛染牲扼屯涅五嚣妹匪据捏溜敏攫伙忍拎酉游总第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,事实上，Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。早在17世纪，人们就知道用事件发生的“频率”来决定事件的“概率”。18世纪下半叶的法国学者Buffon提出用投针试验的方法来确定圆周率的值。这个著名的Buffon试验是Monte Carlo方法的最早的尝试！,勃册悯四袖控已锋译没悯愤冀滑昌免骡侨谚劫服敝陇趋卯嫂颁动耘静亲巾第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,历史上曾有几位学者相继做过这样的试验。不过呢

3、，他们的试验是费时费力的，同时精度不够高，实施起来也很困难。然而，随着计算机技术的飞速发展，人们不需要具体实施这些试验，而只要在计算机上进行大量的、快速的模拟试验就可以了。,Monte Carlo方法是现代计算技术的最为杰出的成果之一，它在工程领域的作用是不可比拟的。,贯蛋砧元馏承役富棠甚九随湃氖刊鬃识介匀租褂涩冗患法露秩吗啄尚和碳第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,Buffon试验,假设平面上有无数条距离为1的等距平行线，现向该平面随机投掷一根长度为 的针( )， 则我们可计算该针与任一平行线相交的概率。这里，随机投针指的是：针的中心点与最近的平行线间的距离 均匀的分布在区

4、间 上，针与平行线的夹角 （不管相交与否）均匀的分布在区间 上。 因此，针与线相交的充要条件是,游衍簧拷旷薯妥瘩荡壕碎矢挝闲衔妈崖巩堰扮吮薛屋城浑骏概谦胸翼审孽第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,Buffon试验,从而针线相交的概率为 根据上式，若我们做大量的投针试验并记录针与线相交的次数，则由大数定理可以估计出针线相交的概率 ，从而得到 的估计值。 针与线的位置关系：,栗酌近疤感妊召毛磕庚慈剖苇椒铣错声神抒簿析雁唯洞磋凉视晓接纱申盛第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,function piguji=buffon(llength,mm) %llength 是

5、针的长度 %mm 是随机实验次数 frq=0; xrandnum = unifrnd(0,0.5,1,mm); phi= unifrnd(0,pi,1,mm); for ii=1:mm if (xrandnum(1,ii)=(llength*sin(phi(1,ii)/2) frq=frq+1; end end piguji=2*llength/(frq/mm),明漫叠吐另拱额碉捡涩牌赦继仅日较浙姨饲即檬接氯剥抽揽蹦憨婚酸暑腕第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用, buffon(.6,1000) piguji = 3.1662 buffon(.6,10000) piguji =

6、 3.1072 buffon(.6,100000) piguji = 3.1522 buffon(.6,1000000) piguji = 3.1386 buffon(.6,1000000) piguji = 3.1451 buffon(.6,1000000) piguji = 3.1418 buffon(.6,1000000) piguji = 3.1448 buffon(.6,1000000) piguji = 3.1405 buffon(.6,1000000) piguji = 3.1394,描杆粥钓迫嫂博铬亮佯叠林凌拂挖凄烫蹭分鼻裳羡捅背砰咕罪臀嫁俺枚儿第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲

7、 蒙特卡洛方法的应用,二、MC 的原理,应用Monte Carlo方法求解工程技术问题可以分为两类： 确定性问题 随机性问题,快引周锣荐赋丘肃肢担勿东盾默柴数癸见覆固肩昼甲佬寅阂奢乖设牙悼人第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,思路,1、 针对实际问题建立一个简单且便于实现的概率统计模型，使问题的解对应于该模型中随机变量的概率分布或其某些数字特征，比如，均值和方差等。所构造的模型在主要特征参量方面要与实际问题或系统相一致的。 2、 根据模型中各个随机变量的分布，在计算机上产生随机数，实现一次模拟过程所需的足够数量的随机数。通常先产生均匀分布的随机数，然后生成服从某一分布的随机数

8、，再进行随机模拟试验。,苟昼配麻余獭忧凶浮韩犬矩情妓决烬缎抹冗之梦墅辗煞指船参血用堕竣傈第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,3、 根据概率模型的特点和随机变量的分布特性，设计和选取合适的抽样方法，并对每个随机变量进行抽样（包括直接抽样、分层抽样、相关抽样、重要抽样等）。 4、 按照所建立的模型进行仿真试验、计算，求出问题的随机解。 5、 统计分析模拟试验结果，给出问题的估计以及其精度估计。 6、 必要时，还应改进模型以降低估计方差和减少试验费用，提高模拟计算的效率。,芥移愉终爆涩门柿川毛系赃嗜父贸屯侧沙扛椒徽躇义任填示慕番胁屯匿诧第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法

9、的应用,收敛性: 由大数定律, Monte-Carlo模拟的收敛是以概率而言的 误差: 用频率估计概率时误差的估计，可由中心极限定理，给定置信水平 的条件下，有： 模拟次数:由误差公式得,刊察翁烛凸讯迭续袖培粕骤醚砍尿讨母柒熟头谊乒满嘴卷熟纺基讣几抽掘第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,三、MC的应用举例,1、定积分的MC计算 随机投点法 样本平均值法 几种降低估计方差的MC方法 2、 系统的可靠性数值模拟计算问题,殴万垃骸谆需意辉囊嗅各楷舟门梦旦零檀脯粮七畜蒲逞卒驼诌售亿噪沈男第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,1、定积分的MC计算,事实上，不少的统计问题

10、，如计算概率、各阶距等，最后都归结为定积分的近似计算问题。 下面考虑一个简单的定积分 为了说明问题，我们首先介绍两种求 的简单的MC方法，然后给出几种较为复杂而更有效的MC方法。,典蒋专狡持涤葱扑劈挎呜佃暴节皋肉稻宛辐坯量屡怒拿菜哼藐握侵呆弯肥第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,在计算积分上，MC的实用场合是计算重积分 其中 是 维空间的点，当 较大时，用MC方法比一般的数值方法有优点，主要是它的误差与维数 无关。,丈侩吴嘿撂忌寸个泣崎葵该票黑修枫担莲玩锹忿涪驴令降艰度饼福关赁详第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,毁哗极讹砍擎统臃褪贺角配咨鱼摹砸沂舔甭亩蔽葵

11、呀梗叠隐看馏仓瘩柑侥第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,随机投点法,方法简述： 设 ，有限， ， ，并设 是在 上均匀分布的二维随机变量，其联合密度函数为 。则易见 是 中 曲线下方的面积。假设我们向 中进行随机投点，若点落在 下方，(即 称为中的，否则称为不中，则点中的概率为 。若我们进行了 次投点，其中 次中的，则用频率来估计概率 。即 。,沪蛹拢纺栅硼弊余蛤菩跌缔嘴刑恨白二碎历偏贤猜寿淹松事禹沽苑价稿春第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,那么我们可以得到 的一个估计 具体试验步骤为,胞摔荧焊继踢译酌傲项综肆瘟也渗驭娟解造钦镀比粗卢棍闰战幻郝徽骇扰第5讲

12、 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,求解定积分的算例,例 计算定积分 事实上，其精确解为 用随机投点法求解： 注 增加样本数目，可提高计算精度，但计算时间也会提高。 sjtdf(0,4,4,1000000) result = 7.2336,寅控毙舔既港割泄烃钧痉祟椭涝骑云斤坞纤钉材爸尸合宴眯业欺恢姨嘲纪第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,function result=sjtdf(a,b,m,mm) %a是积分的下限 %b是积分的上限 %m是函数的上界 %mm 是随机实验次数 frq=0; xrandnum = unifrnd(a,b,1,mm); yrandnu

13、m = unifrnd(0,m,1,mm); for ii=1:mm if (cos(xrandnum(1,ii)+2=yrandnum(1,ii) frq=frq+1; end end result=frq*m*(b-a)/mm,魁糟崩紊悯寞巍厢屠牙盆抡利漆挝迹难读梳郸娩淘做胶旧副缆熔拿户熄漱第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,注1 随机投点法的思想简单明了，且每次投点结果服从二项分布，故 ，其中 注2 可证 是 的无偏估计。若用估计的标准差来衡量其精度，则估计 的精度的阶为 。 注3 这里，定积分的解，就对应我们选定的随机变量的概率值。,妻绩录么味少群共义斟激触柠勒模吉陷

14、宜号竖燎翠枢汀穿艘掉骋殴葡银随第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,2020/8/7,例 的计算,1.单位圆的面积等于 2. 3.,用随机投点法求的值,认煞宜宝歌秧谗扑然嚼画劝砸鸭喀磺扁瘴将栗慨诌碾瀑橡孪屠掏犹嚼孺十第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用, sjtdf_pi1(1000) piguji = 3.0520 sjtdf_pi1(10000) piguji = 3.1204 sjtdf_pi1(100000) piguji = 3.1296,function piguji=sjtdf_pi1(mm) %mm 是随机实验次数 frq=0;xrandnum

15、= unifrnd(0,1,1,mm); yrandnum = unifrnd(0,1,1,mm); for ii=1:mm if xrandnum(1,ii)2+yrandnum(1,ii)2=1 frq=frq+1; end end piguji=4*frq/mm,檬温吱囱疑窄儿湿侄脑入抒姿球熄晦妙阀暗摄往染孔贱卸颗宫裴惜鞠酶碗第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,sjtdf_pi2(100) piguji = 3.2000 sjtdf_pi2(1000) piguji = 3.2120 sjtdf_pi2(10000) piguji = 3.1260 sjtdf_pi2(

16、100000) piguji = 3.1373,function piguji=sjtdf_pi2(mm) %mm 是随机实验次数 frq=0; xrandnum = unifrnd(0,1,1,mm); yrandnum = unifrnd(0,1,1,mm); for ii=1:mm if (sqrt(1-xrandnum(1,ii)2)=yrandnum(1,ii) frq=frq+1; end End,piguji=4*frq/mm,祷世呜虫请朽读记遁苍缩缆幌机循肝凤东渣返递鲜简氖嘻金烦掣壹埠棘犹第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,样本平均值法,基本原理：对积分 ，设

17、 是 上的一个密度函数，改写 可见，任一积分均可以表示为某个随机变量（函数）的期望。由矩法，若有 个来自 的观测值，则可给出 的一个矩估计。 最简单的，若 ，有限，可取 。,栽旋离胀颤货掌里盖辽介嘱评轧邪承兔溪诣瓤洞掳遣犬益惶酶蜡泅括淫属第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,设 是来自 的随机数，则 的一个估计为 具体步骤为 注 可证 是 的无偏估计。一般而言，样本均值法要比随机投点法更有效。,与墩燃痔蝎滑检寄烷掸盂拔州柠揭麓胖红挨耪享赡趾殃钎姜胸昂厢躯晓导第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,求解定积分的算例,例 计算定积分 事实上，其精确解为 样本平均值法求

18、解： 注 增加样本数目，可提高计算精度，但计算时间也会提高。 ybjzf(0,4,4,1000) result = 7.3036 ybjzf(0,4,4,10000) result = 7.2970 ybjzf(0,4,4,100000) result = 7.2578,念慌玻潞芽育躬囤荐天厩努含牡轻睁灿诧洋另淮视阶勘扛恫列穿化殆母水第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,function result=ybjzf(a,b,m,mm) %a是积分的下限 %b是积分的上限 %积分函数cos(x)+2 %mm 是随机实验次数 sum=0; xrandnum = unifrnd(a,b

19、,1,mm); for ii=1:mm sum=sum+cos(xrandnum(1,ii)+2; end result=sum*(b-a)/mm,评吕冻貌吗骏待踩逐肤夏弧枉痕憎裕卫饮坎褐庐坷膝遏管继铡食碧裙镇河第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,2020/8/7,例 的计算,1.单位圆的面积等于 2. 3.,用样本平均值法求的值,彰婚椽遍芹擂做羔蚊炕仁宠枢曾恰哨荫可文萎纫咏洽辅瑚米谬孕河瓷订分第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,function result=ybjzf1(a,b,m,mm) %a是积分的下限 %b是积分的上限 %积分函数 %mm 是随机实

20、验次数 xrandnum = unifrnd(a,b,1,mm); sum=sum(sqrt(1-xrandnum.2); result=sum*(b-a)/mm; result=result*4,ybjzf1(0,1,1,100) result = 3.08745746887753 ybjzf1(0,1,1,1000) result = 3.15500646827616 ybjzf1(0,1,1,10000) result = 3.11911714237706 ybjzf1(0,1,1,100000) result = 3.14014654862983 ybjzf1(0,1,1,100000

21、0) result = 3.14093979612119,阻袭脐张歉拴烹掇灭肃磨掉蒸抖豪盅娇茧功奶转椎碱治舅掷佬铲属高赦锤第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,function result=ybjzf1(a,b,m,mm) %a是积分的下限 %b是积分的上限 %积分函数 %mm 是随机实验次数 sum=0; xrandnum = unifrnd(a,b,1,mm); for ii=1:mm sum=sum+1/(1+xrandnum(1,ii)2); end result=sum*(b-a)/mm; result=result*4,ybjzf2(0,1,1,100) resu

22、lt = 3.04500162146030 ybjzf2(0,1,1,1000) result = 3.14857120401090 ybjzf2(0,1,1,10000) result = 3.14530178564491 ybjzf2(0,1,1,100000) result = 3.14069143292954,话投媚廊嫉饲蝉谦者翌寇达好戳荫鸭租债冲剥坝俺休娱吉望鸦逸谗肢酣铺第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,几种降低估计方差的MC方法,重要抽样法 特点：相对样本均值法而言，样本均值法是由于假设 是均匀分布的概率密度，故采用的是均匀抽样，各随机数 是均匀分布的随机数，各

23、 对 的贡献是不同， 大则贡献大，但在抽样时，这种差别未能体现出来。 而重要抽样法，则希望贡献率大的随机数出现的概率大，贡献小的随机数出现概率小，从而提高抽样的效。,狮擎叛踞怪花踪尼绣炯仿葵掐翱磷详寺挑霜酣宿腋鉴划扶顶蕊唇僳队盲哼第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,几种降低估计方差的MC方法,重要抽样法 关键因素在于 的选取，使得估计的方差较小。 重要抽样法的基本思想，就是通过选取与 形状接近的密度函数 来降低估计的方差。,闲扣咱走眉纫漠瘦腆涤厘恶呵辅浙寝啦蚂胚刚运瓶棺性忠眼愉攻接拘丽伍第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,几种降低估计方差的MC方法,分层抽样

24、法 同样是利用贡献率大小来降低估计方差的方法。它首先是把样本空间 分成一些小区间 ，且诸 不交， ，然后在各个小区间内的抽样数由其贡献大小决定。对 贡献大的 抽样多，可提高抽样效率。如果能够提出较好抽样区间的分配和各子区间内抽样次数的分配方案，分层抽样法估计积分可以达到非常令人满意的效果。,铁淳笋搐守塞讹冗冗辞饮吾涨隆讳怠穗然孪要漓旨椿有糟隅厦早肥竞咯往第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,几种降低估计方差的MC方法,关联抽样法 将需要估计的积分分解成两个积分之差， 对 的估计转化为对 ， 的估计的差。则相应的，其估计的方差的大小则与 ， 的估计的正相关度有关，若两者的相关程度

25、越高，则 的估计方差越小。这便是关联抽样法的基本出发点。,临幻估脯希爪巴沁柠池信缚玉尝地炭并研紫鹤瞄骤撅武意问爱处葵履钩壮第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性,系统由元件组成,常见的元件连接方式：,串联,并联,2、系统的可靠性计算问题,鹅亨胺缚慌扩娘宇冻拜晌旱颗块斯心悬级轩躁幅戚岛判饭疏染夺钮慧沂桑第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,例 设两系统都是由 4 个元件组成,每个元件 正常工作的概率为 p=0.5 , 每个元件是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如下图所示，比较两系统的可靠性.,S1:

26、,皮挥霓岸桓玲咱搏因巧去蜗雄碎始早荚搏住仔荷旅彝削直锡掖酪弘挑址恰第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,function Rguji=litiR01(0.5,0.5,0.5,0.5,mm) frq=0; randnuma1 = binornd(1,0.5,1,mm); randnuma2 = binornd(1,0.5,1,mm); randnumb1 = binornd(1,0.5,1,mm) randnumb2 = binornd(1,0.5,1,mm); Rguji=frq/mm,科览质贝黍酗撒佰寐辩打零医嘲昔往滓猩冈序惨稽茫碑岳甚表窖珍罗掘陵第5讲 蒙特卡洛方法的应用第

27、5讲 蒙特卡洛方法的应用,function Rguji=litiR01(0.5,0.5,0.5,0.5,mm) frq=0;randnuma1 = binornd(1,0.5,1,mm); randnuma2 = binornd(1,0.5,1,mm); randnumb1 = binornd(1,0.5,1,mm) randnumb2 = binornd(1,0.5,1,mm); for ii=1:mm if (randnuma1(1,ii)=1) end End,Rguji=frq/mm,颂滔厦柑丢免契取弯香童邓巨像想足绎埃壕到发噪遇作熄汲料找几诞橇拭第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特

28、卡洛方法的应用,例 设两系统都是由 4 个元件组成,每个元件 正常工作的概率为 p , 每个元件是否正常工 作相互独立.两系统的连接方式如下图所示， 比较两系统的可靠性.,S1:,雕咬醋励虐素仆革葫荷猴影讣眯朝拇逞臆尔崩这倔电胀密咳叁偶帚翌初遗第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,S2:,解柯汽叼应栋瞧闪殃贤镍冤丛殉华脾彝卑成尽摈措惫阵赌北联闷匣埂跌脐第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,例 设两系统都是由 4 个元件组成,每个元件 的寿命服从参数为的指数分布，每个元件 是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如 下图所示，求两系统寿命大于T=100的概率.,S1

29、:,跃瓜邪砧量先肾唱测穷这糕堑寂皖柔泪蚊扫缨赁妥泳锣芒膳移荡吃载矣辟第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,例 设两系统都是由 4 个元件组成,每个元件 的寿命服从参数为的指数分布，每个元件 是否正常工作相互独立.两系统的连接方式如 下图所示，求两系统寿命大于T=100的概率.,S1:,释忙蓉式憎恼垄碧舰八惟仟滓侍吹工腰高后姻吱尼命轩似猫悠戎悠肠源羔第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,S2:,酞苞朵漫醒炕州谢诬凿范癣圃憨都铬犬谊夹蔫跑抢梆核哇训删劳湖抠旅岩第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,function Rguji=litiR1(t,the

30、taa1,thetaa2,thetab1,thetab2,mm) %t 是要求系统生存的寿命%thetaa1 是元件A1的数学期望%thetaa2 是元件A2的数学期望%thetab1 是元件B1的数学期望 %thetab2 是元件B2的数学期望%mm 是随机实验次数 frq=0;randnuma1 = exprnd(thetaa1,1,mm); randnuma2 = exprnd(thetaa2,1,mm);randnumb1 = exprnd(thetab1,1,mm);randnumb2 = exprnd(thetab2,1,mm); for ii=1:mm if (randnuma1(1,ii)t) end End,Rguji=frq/mm,嘉薯韦追疮对氏般豁驹漫航唐木戴急笑币肥蒜芍澄厄虚邹架盎步嘎趁倪党第5讲 蒙特卡洛方法的应用第5讲 蒙特卡洛方法的应用,function Rguji=litiR2(t,thetaa1,thetaa2,thetab1,thetab2,mm) %t 是要求系统生存的寿命%thetaa1 是元件A1的数学期望