材料力学4.扭转.ppt

1、1,第四章,扭 转,2,3,4,5,6,7,8,9,本章要点,（1）园轴扭转横截面上剪应力计算公式推导与应用。 （2）园轴扭转变形的计算。 （3）扭转变形构件的强度与刚度条件。,重要概念,1. 外力偶矩、扭矩、扭矩图。 2. 剪应力互等定律，剪切胡克定律。 3. 极惯性矩，抗扭截面模量,10,目录,4-1 扭转的概念,4-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,4-4 圆轴扭转时的应力和强度条件,4-5 圆轴扭转时的变形和刚度条件,4-6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,4-7 非圆截面杆扭转的概念,4-8 薄壁杆件的自由扭转,4-3 薄壁圆筒的扭转实验,11,4-1 扭转的概念,1. 作用于杆件上

2、的外力, 为两个大小相等、转向相反、 且作用平面垂直于杆件轴线的力偶时, 杆件中任意两个 横截面即会发生绕杆件轴线相对转动。 这种形式的变形就称为扭转变形。,一. 引例,二. 概念,2. 受力特征: 杆受一对大小相等、转向相反的力偶, 力偶作用面垂直于轴线。 3. 变形特征: 横截面绕轴线转动。,目录,12,4-2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图,一. 外力偶矩的计算,在工程实践中, 外力偶矩往往不是直接给出的, 而直接 给出的往往都是轴所传递的功率和轴的转速。 例如: 下图中, 外力偶矩没有给出, 给出的仅仅电动机 的转速和输出的功率。如果要分析传动轴中某处的内力 情况, 首先必须知道 A 端

3、皮带轮上的外力偶矩。 下面讨论如何根据电动机的转速和输出功率来求解 外力偶矩 Me 的大小。,13,已知: 电动机通过皮带轮输给 AB 轴的功率为 N千瓦 。 AB 轴的转速 n 转/分 。,则： 电动机每秒钟所作的功为：,(a),设电动机通过皮带轮作用于AB 轴上的外力偶矩为 Me,则：Me 在每秒内完成的功为：,(b),14,由于 Me 所作的功也就是电动机通过皮带轮传给 AB 轴 的输入的功。,故：,如果功率 N 以马力为单位, 代入 (c) 式则可得：,将 (a) , (b) 两式代入上式, 于是求得：,（ Nm ）,(c),（ Nm ）,15,例1. 传动轴如图所示, 主动轮 A 输

4、入功率 PA= 50kW, 从动轮 B、C、D 输出功率分别为 PB=PC= 15kW ， PD=20kW , 轴的转速 n=300 r/min 。 试：计算各轮上所受的外力偶矩。,解：计算外力偶矩,16,三. 扭转时的内力 扭矩的计算和扭矩图：,1. 扭矩：横截面上的内力 ( T ) 截面法求内力,根据截面法, 取左段和取右段计算的结果在数值上相等, 但是在转向上却相反, 由于二者均为同一截面处的内力, 故其在正负号上应该一致, 为了使二者的正负号一致, 因此 有必要作出正负号的规定。,17,n,n,2. 扭矩 T 正、负号的规定：按右手螺旋法则,右手螺旋法则： 若按右手螺旋法则把 T 表示

5、为矢量, 当矢量方向 与截面的外法线方向一致时, 为正；反之为负。 或拇指离开截面为正, 指向截面为负。,18,3. 扭矩的计算,例2. 传动轴如图所示, 主动轮 A 输入功率 PA=50kW， 从动轮 B、C、D 输出功率分别为 PB=PC=15kW， PD=20kW, 轴的转速 n=300r/min 。 求: 计算各段轴上所受的扭矩。,解：根据例1的计算结果可知各轮上的外力偶矩分别为：,19,应用截面法将横截面 1-1 处假想的截开为二, 如图, 并保留左半部分为研究对象,T1,20,横截面 3 -3 处的扭矩 T3 也可以利用 3 -3 截面左边的 平衡条件来解决。,21,3. 扭矩图：

6、 用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化的 坐标图（与轴力图作法完全相同）。,扭矩图的作法同轴力图的作法完全一样。如图所示: 以 x 轴表示杆件各横截面的位置, 以垂直向上的纵轴 表示 T 的大小。,如果不画坐标轴， 那么一定要标明正、 负号。 在 x 轴 之上为正， 在 x 轴 之下为负。,22,例3. 作例2的扭矩图,解：从例2中可知, BC、CA、AD 各段横截面上的扭矩 分别为：,23,4-3 薄壁圆筒的扭转实验,壁厚 tr,一. 薄壁圆筒的扭转应力分析 等厚度的薄壁圆筒,平均半径为 r ,壁厚为 t , 受扭前 在其表面上用圆周线 nn，mm 和纵向线画成方格 , 然后加载, 观

7、察方格变形情况。,24,25,(1). 纵向线倾斜了同一微小角度 (2). 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变 （nn，mm 仍平行）。 (3). 方格变为斜棱形。 设想: mm 相对 nn 转动, 方格两边发生相对错动， 但两对边 之间距离不变, 圆筒半径尺寸不变。 根据以上实验现象,可得推论： a). 圆筒横截面上只有剪应力， 而无正应力。 b). 由于壁很簿, 可认为剪应力 沿簿壁均匀分布, 方向垂直 于半径与周线相切。,观察到如下现象：,26,剪应力在截面上均匀分布, 方向垂直于半径与周线相切,27,根据精确的理论分析,当 tr/10 时,上式的误差 不超过 4.52% ,

8、是足够精确的。,28,二. 纯剪切 剪应力互等定理,微元体 单元体 取力矩平衡,纯剪切：单元体上只有 剪应力而无正应力。,29,剪应力互等定理 : 在相互正交的两个平面上, 剪应力一定成对出现， 其数值相等, 方向同时指向或背离两平面的交线， 正负号相反,30,三. 剪切胡克定律,在纯剪状态下, 单元体相对 两侧面将发生微小的相对错动, 原来互相正交的两个棱边的 夹角改变了一个微量 。 两正交线段的所夹直角改变量 剪应变,31,薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间存在着 象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力不超过材料的 剪切比例极限p 时, 剪应力与剪应变成正比。,即：当 p 时,G

9、称为材料的剪切弹性模量。 上式关系称为 剪切胡克定律,32,剪切弹性模量 G 拉压弹性模量 E 泊松比 ,对于各向同性材料,可以证明: E、G、 三个弹性常数之间存在着如下关系,材料常数：,33,4-4 剪切变形能,由前面的薄壁圆筒的试验表明：,与计算杆件拉伸或压缩时的变形能相同, 图中斜线 下面的面积就表示在弹性范围内, 扭转力矩 Me 所作的功。,34,又由功能原理可知： Me 所完成的功全部转变成为 储存于薄壁圆筒内的剪切变形能 U,则：,思考题,求图示 ABCDE 处的剪应力值,35,4-3 圆轴扭转时的应力和强度条件,一. 圆轴扭转时的应力,在这里应力分析属于静不定问题， 须综合研究

10、几何、物理和静力学三个方面。,36,1. 变形几何关系：,(1) 圆轴扭转的平面假设：,圆轴的扭转变形实验：同薄壁圆筒的扭转相似, 在圆轴表面上作纵向线和圆周线, 如图所示：,37,实验结果: 各圆周线绕轴线相对的旋转了一个角度， 但大小, 形状和相邻两圆周线之间的距离不变, 在小变形的情况下, 各纵向线仍可近似看成是一条 直线, 只是倾斜了一个微小的角度; 变形前, 圆轴 表面的方格, 变形后扭歪成菱形。,结论: 圆轴变形前的横截面, 变形后仍保持为平面 形状和大小不变, 半径仍保持为直线, 且相邻 两截面间的距离不变。 平面截面假设, 两端面之间的 相对扭转角 可知,38,于是单元体 ab

11、cd 的 ab 边相对于 cd 也发生了微小的 相对错动, 引起单元体 abcd 的剪切变形。,如图所示: ab 边对 cd 边相对错动的距离是：,根据平面假设, 可知：横截面 nn 相对于mm 像 刚性平面一样, 绕轴线转了一个角度。,圆轴表面的剪应变， 发生在垂直于横截面的平面内。,(2) 剪应变的变化规律：现从圆轴中取出长为 dx 的微段。,(a),39,同理: 在距离圆心为 处， 剪应变为：,（b）,讨论: 由图中可看出: (a) , (b) 两式中的,沿轴线 x 的变化率 单位长度扭转角,对某一给定的截面来说, x = 常量 ,由此和 (b) 式可得出剪应变的变化规律如下：,的大小与

12、到圆心的距离成正比， 方向沿扭矩的转向垂直于半径。,= 常量，,为扭转角,40,2. 物理关系：,将上面的剪应变公式 (b) 代入剪切虎克定律中。,（3-3）,故由 (4-3) 式可看出：,对于某一特定的横截面来说 与 成正比。,又因为 发生在垂直于横截面的平面内, 所以,与半径垂直, 大小与到圆心的距离成正比。,41,再根据剪应力互等定理可知： 在纵截面和横截面上, 沿半径剪应力的分布规律如图所示：,42,虽然前面已经求出了(4-3) 式, 但由于 (4-3) 式中的 尚未求出, 所以仍然无法用它计算剪应力, 为此, 还必须来研究 静力平衡关系。,公式推导：,如图所示在横截面内取微分面积 d

13、A,= 常量。,将微面积上的剪力向圆心简化， 得到附加力偶,由于 d 很微小， 故可认为在微面积内，,微面积上的剪力为,3. 静力关系：,43,把所有微面积上的剪力向圆心简化， 得到一个合力为零的合力系和一个附加力偶系， 其合力偶即整个截面上的的扭矩，,故：, 截面极惯性矩,令：,单位长度扭角 扭转变形公式,44,4 . 讨论：,1）. 由公式 可见，当 时。,写成,（3.11）,（3.9）,截面上的扭矩,计算点到圆心的距离,截面对圆心的极惯性矩,45,46,时的情况。,b. 当圆形截面沿轴线的变化缓慢时, 例如小锥度的 圆锥形杆, 也可近似的应用以上公式。 c. 由于在推导上述公式时运用了虎

14、克定律, 因此只 适用于,a. 上述公式只适用于等直圆杆。,实心圆轴,2). 公式适用范围:,(3.12),47,空心圆轴,由公式（3.12）可看出， 的量纲是长度的四次方。,由公式（3.12）可看出，Wt 的量纲是长度的三次方。,（3.14）,(3.13),48,二. 强度条件,不超过材料的许用剪切应力,故强度条件为：,同拉伸和压缩的强度计算类似, 圆轴扭转时的强度要求 仍然是：,讨论的 确定,1. 对于等截面直杆，,发生在 Tnmax 处（扭矩最大的截面处），即,（3.15）,49,2. 对于阶梯形轴,3. 在作截面设计时, 可以把杆件设计成空心杆件, 以增大 Wt 和 Ip 的值, 从而

15、可减小max 的数值。,5. 根据强度条件可进行强度计算的三种问题： 强度校核; 选择截面; 计算许可荷载。,4. 理论与试验研究均表明, 材料纯剪切时的许用切应力 t 与许用正应力 之间存在下述关系：,对于塑性材料, t (0.5一0.577) 对于脆性材料, t (0.81.0) l,式中, l 代表许用拉应力。,50,一. 圆轴扭转时的变形,（a）,则：距离为 L 的两个横截面之间的相对扭转角为：,4-4 圆轴扭转时的变形和刚度条件,（b）,由,由单位长度扭角公式 扭转变形公式,51,讨论:,1. 当两个截面之间 T 值不变, 且轴为等直杆时，,（b）式为：,（3.16）,式中 ： 圆杆

16、的抗扭刚度，,表示杆抵抗扭转变形的能力,2. 若在两截面之间 常量,或轴为阶梯轴（ 常量 ）,则应分段计算各段的扭转角, 然后相加。,=常量,52,二. 刚度条件,对于传动轴, 有时即使满足了强度条件, 还不一定能 保证它正常工作。例如: 机器的传动轴如有过大的扭转角， 将会使机器在运转中产生较大的振动; 精密机床上的轴若 变形过大, 则将影响机器的加工精度等。 因此对传动轴的扭转变形要加以限制。,一般地说：标志杆件扭转变形的物理量有两个：,单位扭转角,相对扭转角,其中： 与杆长 L 有关,所以它不能够完全表明杆件中任一段的变形程度，,53,对于 T 值不变的等直杆来说，,（ 3.17 ）,因

17、此它是完全表明了杆件内部各截面处的变形程度。,单位长度扭转角,刚度条件为,（ 3.19）,（ 3.20 ）,习惯上把 作为 单位,（弧度/米）,54,思4-1：实心圆轴受扭, 若将轴的直径减小一半时, 横截面的最大剪应力是原来的 倍？ 圆轴的扭转角是原来的 倍？,8,16,思4-2：图示铸铁圆轴受扭时, 在 面上发生断裂, 其破坏是由 应力引起的。在图上画出破坏的截面。,45 螺旋,最大拉,55,求: 实心轴的直径 d1 和空心轴的外直径 D2； 确定二轴的重量之比。,例题 4-4 已知: P7.5kW, n=100r/min , 最大切应力 不得超过 40MPa , 空心圆轴的内外直径之比

18、= 0.5 。 二轴长度相同。,解：1. 计算作用在轴上的扭矩,2. 计算轴中最大的剪应力,实心轴,56,空心轴,d2 0.5 ，D2 = 23 mm,二轴的重量之比 = A1 : A2,例4-5. 一直径为 D1 的实心轴, 另一内外径之比 d2D20.8 的空心轴, 若两轴横截面上的 扭矩相同, 且最大剪应力相等。 求: 两轴外直径之比 D2/D1 。,57,解：,例4-6 在强度相同的条件下, 用 d/D=0.5 的空心圆轴取代 实心 圆轴, 可节省材料的百分比为多少? 如果 d/D=0.8 情况又将怎样？,解：设实心轴的直径为 d1 , 由,（0.512）,58,例4-7: 一厚度为

19、30mm , 内直径为 230mm 的空心 圆管, 承受扭矩 T=180 kNm 。 试求: 管中的最大剪应力, 使用： (1). 薄壁管的近似理论； (2). 精确的扭转理论。,解: (1) 利用薄壁管的近似理论可求得,(2) 利用精确的扭转理论可求得,59,例4-8: 一空心圆轴, 内外径之比为=0.5 , 两端受扭转 力偶矩作用, 最大许可扭矩为, 若将轴的横截面面积 增加一倍, 内外径之比仍保持不变, 则其最大许可扭矩 为的多少倍？（按强度计算）。,解：设空心圆轴的内、外径分别为 d , D , 面积增大一倍 后内外径分别为 d1 , D1 , 最大许可扭矩为1 .,由,由,得,得,6

20、0,例4-9 : 一空心轴=d/D=0.8 , 转速 n=250r/m , 功率 N=60kW , =40MPa。 求：轴的外直径 D 和内直径 d 。,解：,由,得,61,解：,例4-10: 水平面上的直角拐, AB 段为圆轴, 直径为 d , 在 端点C 受铅垂力 P 作用, 材料的剪切弹性模量为 G， 不计 BC 段变形。 求：C 点的铅垂位移。,62,例4-11 已知: 一直径 d=50mm 的钢制圆轴在扭转角 为 6时, 轴内最大剪应力等于 90MPa , G=80GPa 。 求: 该轴长度。,解：,63,例 4-12: 圆截面橡胶棒的直径 d=40mm , 杆长 l=300mm 。

21、 材料的剪变模量 G=2.7MPa。受扭后, 原来表面上的 圆周线和纵向线间夹角由 90变为 88。 试求: 计算杆横截面上最大剪应力和杆端的外力偶矩 及两端截面间的扭转角;,解：,由,得,64,例4-13: 传动轴传递外力偶矩 5kNm, 材料的 =30MPa , G=80GPa , =0.5o/ m , 试: 选择轴的直径 。,解：,由,由,得,得,65,4-5 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,一. 对圆柱形密圈螺旋弹簧的基本假设：,1. 时，可省略 的影响，,近似地认为簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内。,2. 当簧丝的横截面直径 d 远小于弹簧圈的平均直径 D 时, 还可略 去簧丝曲率

22、的影响, 近似的用直杆公式计算。,二. 弹簧丝横截面上的应力,1. 内力计算：,如图所示, 为一密圈弹簧, 沿其轴线 作用压力 F 。现以簧丝的任意横截面 假想地将弹簧分成两部分, 并取上面 部分为研究对象, 如图所示：,66,为了保持取出部分的平衡, 在簧丝横截面上一定 有一个与截面相切的内力系, 将这个内力系向截面形心 简化, 即可得到如图所示的 FQ 和 T 。,(a),(b),(c),(d),设 FQ 对应的剪应力为 , 假设均匀分布,T 对应的剪应力为 , 为扭转剪应力。,67,由,二. 应力计算：,1. 与剪力 FQ 对应的剪应力 的计算：,2. 与扭矩 T 对应的剪应力 的计算方

23、法,根据假设可知: 用等直圆轴的扭转应力的计算公式：,得：,截面上最大的扭转剪应力,（3.21）,68,3. 横截面上最大的剪应力：,在簧丝横截面上, 任意点处的总应力是剪切和扭转 两种剪应力的矢量和, 在图 (c)、(d) 所示的 A 点处, 达到最大值。,式中, 第一项代表剪切的影响, 后一项代表扭转的影响。,（）,与 1 相比, 显然可以省略不计。,从而,69,4. 修正公式 上面的应力分析实际上是在：,没考虑簧丝是个曲杆, 假设 均匀分布进行的,现将以上两个因素考虑进去,即可得修正公式如下：,（3.22）,曲度系数,5. 强度条件：,实质上是个近似计算。,70,三. 弹簧的变形 (利用

24、功能原理),1. 弹簧在变形过程中,外力功的计算:,实验表明在弹性范围内, 压力 F 与变形 成正比，,即 F 与 成线性关系。,外力所做功为,(a),根据功能原理, 略去其它能量损耗, 外力在变形过程中 所做功全部转变为弹簧的弹性势能 弹性变形能。,71,2. 弹簧在变形过程中，变形能的计算：,略去切向剪应力的影响, 簧杆截面上的剪应力为：,(b),类似的计算扭转的单位体积的变形能：,则，整个弹簧的变形能为：,(c),由单向拉压时的单位体积的变形能：,72,(d),由功能原理可知：,将 (a)、(d) 两式代入上式, 得：,（3.23）,若令 ds 表示簧丝轴线的微分长度， dA 表示簧丝横

25、截面的微分面积, n 表示弹簧的圈数。,则：,73,若，记,则，可得：,式中：C 弹簧抵抗变形的能力, 称为弹簧刚度,讨论：由上面两式可看出, 减小 d ，增加 n 和 D 都可取得增加 的效果。,（3.25）,（3.24）,74,4-6 非圆截面杆扭转的概念,. 基本概念：,1. 翘曲：取一横截面为矩形的杆, 在其侧面上画上 纵向线和横向周界线, 扭转后发现横向周界线已 变为空间曲线, 这表明变形后杆的横截面已不再 保持为平面, 而变为曲面, 这种现象, 就称为翘曲。,可见，平面假设 对非圆截面杆件的扭转 已不再适用。,75,2. 自由扭转: 等直杆在两端受扭转力偶矩作用, 且其翘曲 不受任

26、何限制的情况, 属于自由扭转。 特点: 杆件各横截面上的翘曲程度相同, 纵向纤维的长度 无变化, 故横截面上没有正应力而只有剪应力。如图：,76,3. 约束扭转: 由于约束条件或受力条件的限制, 造成杆件 各横截面的翘曲程度不同, 称为约束扭转。 特 点: 由于杆件各横截面的翘曲程度不同, 这势必引起 相邻两截面之间纵向纤维的长度改变。于是横截面上除 剪应力外还有正应力, 如图。,77,4. 薄壁杆件与实体杆件在约束扭转时的差别： 薄壁杆件（如工字钢、槽钢等, 见图）在约束扭转时 正应力相当大, 而实体杆件（如矩形、椭圆形杆件） 因约束扭转而引起的正应力极小, 与自由扭转没有太大 差别。基于这

27、个原因, 我们在实际工作中处理具体问题 时, 应该划清主次。,78,证：反证法 假设边缘各点的剪应力不与边界相切。,如图所示, 将它分解为 和,由剪应力互等定理可知,可见:在边缘只可能存在沿边界切线方向的剪应力,5. 杆件扭转时, 横截面边缘各点的剪应力情况：,79,在这里我们就不加推导的直接的引用弹性力学的结果。,矩形截面杆扭转时, 它的横截面上剪应力的分布情况 大致如图所示, 整个截面上的最大剪应力发生在矩形的 长边的中点, 短边上最大剪应力也发生在短边的中点。,（3. 26）,（3.27）,二. 矩形截面杆扭转时, 截面上的应力、变形分析 （由于正应力很小, 故只研究剪应力）,1. 剪应

28、力的计算：,80, 长边中点的最大剪应力,式中系数 和 都是与比值 h / b 有关的系数。,2. 扭转角的计算：,在这里我们也不加推导的直接应用弹性力学的结果：,（3.28）,式中：, 抗扭刚度,和 h/b 有关, 见表 3-1,81,表 4-1 矩形截面杆扭转时的系数,三. 狭长矩形截面杆中的应力变形分析,狭长矩形：h/b10 时, 这时，,（3.29）,82,在狭长矩形截面上, 扭转剪应力的变化规律大致如图所示：,最大剪应力仍发生在长边的中点, 但沿长边各点剪应力的变化不大， 接近相等, 在靠近矩边处迅速减小为零。,问答题 为什么在矩形的四个拐角上剪应力为零？,83,4-7 薄壁杆件的自由扭转,. 基本概念：,薄壁杆件： 杆件的壁厚远小于横截面的其他两个尺寸（高和宽）,薄壁杆件,开口薄壁杆件： 杆件的截面中线是一条不封闭的折线或曲线。,闭口薄壁杆件： 杆件的截面中线是一条封闭的折线或曲线。,二. 开口薄壁杆件的自由扭转：,1. 基本假设： 自由扭转时横截面在其本身平面内形状不变, 即在变形 过程中, 横截面在基本平面内的投影只作刚性平面运动。,84,2. 扭转角的计算：,令: 整个截面的扭转角：,截面各组