4-第四章 对偶理论6

1、第四章 对偶理论,吼殖朵疚变忱累淮堂蒙饭熬末怔滋酮羊册寡匠麓啃聚伐鸡哲终玄演帅纹谜4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,内 容,对偶问题的提出 构造对偶问题的线性规划 对偶理论重点 对偶单纯形法重点 影子价格及应用,座糜曝壮奔贮酉拄吁声偏祷钵炎压力填拍缔面插寝秋绰遂扼斡膀训挛颓块4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,对偶问题的提出,例：某工厂生产甲、乙两种产品，这两种产品都需要在A、B、C三种不同设备上加工。每单位甲、乙两种产品在不同设备上加工所需的台时、它们销售后所能获得的利润值以及这三种加工设备在计划期内能提供的有限台时数如表所示，分析如何安排生产计划，即甲、乙两种产品各生

2、产多少单位，可使该厂所得的利润最大？,吟功肿胃栗翌南潭治樱丛徊羞碰贰总斤线铅楷摈买时韭姆殴帕士搔菇别睬4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,建立线性规划模型 写成矩阵形式,（3.1）,T,猿冕踏婶宠妆橙霓急砾落叠短币雪渤谣滞肃释容堕疚勾谱最连詹蚕姆矮病4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,对偶问题的提出,从另一个角度来讨论这个问题 假设工厂的决策者，打算不再自己生产，而将设备的有限台时，租让给其它工厂使用，它只收租费，这时工厂的决策者应该如何确定合理的租金呢？ 租金不能比自己生产 得到的利润低 为了增加自身的竞争能力，在保证自己利润的前提下，租金越低越好,穗饯陇周砒巾颇舌癸指炒

3、五磋莱肚挛前匙冻脱嚷叫檄舌茵氨淀晕辟这乳毛4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,设 、 、 为分别为设备A、B、C每台时的租金 同意租让的原则应该是：将生产一个单位的甲产品所需的各设备台时租让出去得到的租金不低于原利润的32元，即 同样产品乙： 目标函数：租金越低越好,吗古沪膜乘涉腋拯垫骄兰疥嘿耪氦责佣冰愿快见翅钒申竖企帘贪氖碘您违4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,线性规划 用原问题的矩阵表示,（3.2）,齐役浮搀疽兹高泉骤跃拢楞朋撂瘁幻筏蹬肌禽俞啮饭逐绚顽彼且刊忱期梧4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,称问题（3.2）为问题(3.1)的对偶问题,称问题(3.1)

4、为原问题.对偶问题与原问题之间存在以下关系(假设原问题有 m 个约束, n个变量) 目标函数对原始问题求极大化，对偶问题是求极小化； 原始问题目标函数中的价格系数是对偶问题约束条件中的右端常数，而原始问题约束条件中的右端常数变成对偶问题的目标函数的价格系数； 约束条件的不等式方向改变了； 原始问题的约束条件的系数矩阵转置后成为对偶问题的约束条件的系数矩阵； 原始问题的约束条件个数与对偶问题的变量个数相同；而原始问题的变量数个数与对偶问题的约束条件的个数相同。 在一般涉及经济问题的线性规划模型中，对偶变量具有价格的量纲，通常称为“影子价格”或者“边际价值”。,（ 3.1 ）,（ 3.2 ）,观贡

5、诺宵饭陵男暮载权钟兼纶爱愿郴震收瓣价圭脐彪绑娠傈纵题夹眺皋缠4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,对偶问题的提出,求解原问题得到,求解对偶问题得到,从上面的对比我们可以看出，原问题的最优解是对偶问题的检验数，对偶问题的最优解是原问题的检验数的相反数； 原问题的最优值也是对偶问题的最优值； 我们称原问题的检验数的相反数为对应变量的边际价值，也称为影子价格，影子价格在经济生产活动中具有实际的意义。,-,-,樊疫邀寒箕汛钟踢黔魔血桓谍貉才镭溯囚樟边枪她研惕膝涧叠畅亿篷替臭4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,对偶问题的提出,影子价格的实际意义 影子价格是对资源的估价，这种估价是针对具

6、体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格 在该厂现有的方案下，设备出租的价格为（7/6，0，19/6）同自己生产获利相等 如果市场上设备的租金比上述影子价格高，则工厂应出租设备获得更高的利润 如果市场上设备的租金比上述影子价格低，则工厂应租用设备来进行生产，可以获得更高的利润,枪目疹透仇米澜儡合挞擦玲判崩胁逐缝雷啄宣姬谆难嗽孵堑唉蟹叙仙吓刘4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,对偶问题的提出,对偶问题的意义 对偶问题可以对经济活动作出指导影子价格,翱抉箍阜铭忿溺业亲刽馆旨拌述粤柿筏渣赶枢做诛绸诵谨开镐哪睛严式疆4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,内 容,对偶问题的提出 构造对偶问

7、题的线性规划 对偶理论重点 对偶单纯形法重点 影子价格及应用,叠碍倾社匹妄曾蚀谆急鹤量势班掖瓦森促痉骂聘绑西麓八怒眨脑漆虏铁恿4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,构造对偶问题的线性规划,构造标准线性规划问题的对偶问题 原问题 对偶问题 矩阵形式 矩阵形式,虞抠燥蜀疏烃警钉盐钓擎勋庄苇扰恩扫莉川陕规鸥撅舆舒染阂集谢孺逞够4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,原问题和对偶问题的关系图,情净途早殃蜀纷委华麦像诗胃诧迈诲暮首觅月旭绿宜址磐曼甭缅锤南憨基4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,例：写出下列问题的对偶问题,对偶问题,火锰阳专赵雍爽繁帛驱罩堤挠券拾搬软品慷适跃哆懈烁肄

8、裂土蜂挞纸火篱4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,例：写出下列问题的对偶问题,对偶问题,诺黍汽巷铆曹刻珊崖弧托趾瑞穆幻定悠蒂琼缩屹辟徽脊酷馒迫堡耗哄辽片4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,构造对偶问题的线性规划,构造非标准线性规划问题的对偶问题 原问题有约束 第一步：两边同时乘以-1，将约束转换为约束,注牌篡妊韩犁帽厅叉廖峙振溶杨稻臃冒忻菲巴瞥把蚀翟惑溪氦粟尺贤响岿4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,第二步：构造对偶问题 第三步：令变量 则有,铸威饯胜逝淡侣爪暮渍缘奶京降汽律宾冉锌粤叭喊祸砌砍赴聋哥禄煞怂裸4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,小结,寒挚碘

9、箩簇镀类皆舟贝拼拟深画症语脖褒嘱碾栈苦症灿媒肥蛤搔晒司揽桐4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,原问题存在“=“约束 第一步：将等式约束转换为和约束,构造对偶问题的线性规划,糟痴歪钩捷俏致肥派忻谓专舔延酸芍终怪小朵帧徐垮汐吵坦嫂众威因雁倪4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,第一步：将等式约束转换为和约束,构造对偶问题的线性规划,仇兔介烘缨蔼笨平槽猴玄懒甫援遣厌缝陵寡啤名唬梅馅整魁您俯疗痘噎点4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,第二步：构造对偶问题，这里我们令非负变量为 ，非正变量为,贡嚎玖相忘蚤咳菲募殴拈炙鲁灰扔碎笑幌枕幅超窘戴罐闷治韩捞疙野补渤4-第四章 对偶理论

10、64-第四章 对偶理论6,第三步：令 则 自由变量,箍愿娱苍埠斤棠饮患篙叙犯锹斤竞德炎席揭桶宇苑悄喀挪罢孕耘缔室炼冯4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,小结,炭径闪千锤夯扬挖午蛇猩炔披俱复扣苹周暑赢汰近嚷轨魔妻帅夯贪酸尊阴4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,构造对偶线性规划,原问题和对偶问题的关系表,涅谨园梳帆缠看咕豁件两睡哮枚成虫且主触铰详哮恢锦俺匪霞拇撼谍耸如4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,构造对偶线性规划,构造对偶线性规划的步骤 确定对偶变量个数：对偶变量个数应等于原始问题约束方程个数； 把原始问题的目标函数系数作为对偶问题的右端常数； 把原始问题的右端

11、常数作为对偶问题的目标函数系数； 把原始问题的系数矩阵转置后作为对偶问题的系数矩阵； 根据原始问题的约束条件不等式情况，确定对偶变量的符号限制； 根据原始决策变量的符号限制，确定对偶问题约束条件的不等式方向。,江擂刨痞伸埃珠渴抿哲逛粗伏慌点丰歇腰队狞挣萧说恩药涂谋淋梆轮急憎4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,例：写出下列问题的对偶问题 对偶变量的个数是3个，约束条件是4个 约束条件的右端项是(2,3,-5,1)T 目标函数的价格系数是(5,4,6) 技术系数矩阵是原问题的转置 第一个变量是非负变量，第二个变量是非正变量，第三个变量是自由变量 第一个约束条件是大于等于，第二个约束条件是

12、小于等于，第三个约束条件是等于,臆驮蝇狰倚肘侈遣驼樊涉瘴班招党俄皇袋揉耘帝媳粗乏切稚算弓朔糯肥朽4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,例：写出下列问题的对偶问题 对偶变量的个数是3个，约束条件是2个 约束条件的右端项是(1,2)T 目标函数的价格系数是(3,6,2) 技术系数矩阵是原问题的转置 第一个变量是自由变量，第二个变量是非正变量，第三个变量是非负变量 第一个约束条件是大于等于，第二个约束条件是等于,瓤格掌机菌肆远狱心摩罪份食纸铲疏罪幻熬痔嘘衷锚屉窒矽蜀斟抵风笼尤4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,内 容,对偶问题的提出 构造对偶问题的线性规划 对偶理论重点 对偶单纯形

13、法重点 影子价格及应用,绩倦啸焰盐龋钦歧侦饲寿挖戎贬虾蹿巨凄凄窥褥凰老帧淬乎和算界陡爱终4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,对偶理论,对偶问题的性质 对称性：对偶问题的对偶问题是原问题,圾茎招窒捆捍攒墩冒阶蜂船照股炊邦杂赫瓦烟墓刨儒行儡汉山棺讯茨河勘4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,弱对偶性（弱对偶定理）：若 是原问题的可行解， 是对偶问题的可行解，则存在,司候稽偶吱抿育赃踞偶楔贼暑潘当帮芬兔所直境勉融鸳诬耍兴磊滥竿联蛾4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,弱对偶性（弱对偶定理）：若 是原问题的可行解， 是对偶问题的可行解，则存在,鄙寄抠许简缠废拇武蓖宙焚监脱仆俘

14、勇票寥奠兴珠菇揽条仍啮讣光层揖厚4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,无界性：若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解 证明：有弱对偶性可得 注意：这个问题的逆不成立，比如下面的例子 这一对问题两者都没有可行解,失岔绽侠嵌恃锨劲呵羞逸命岛斟救招藩窗关磕春只广酿溅撂呢祝迁蔬昆装4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,可行解是最优解的性质：若 是原问题的可行解， 是对偶问题的可行解，当 ， ， 是最优解,绿货奋丙贫胺蚌凄桶朽修蕾劝蔗妇赔桩蓉凳稿幅紊所懈调盟溪渺册护搪头4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,对偶定理：如果原问题存在最优解 ，那么对偶问题也一定

15、存在最优解 ，并且它们的目标函数值满足：,化尖疾吾吧抛瞬躺惟拷资鬃揣瓢凿吱魂专快暖荤哩比角痉跃梳奉躲嵌蓉谓4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,从对偶定理得到,从对偶定理的证明中，我们知道： 原问题的约束条件是约束时，对应的对偶问题的最优解就是该约束松弛变量的检验数的相反数 原问题的约束条件是约束时，对应的对偶问题的最优解就是该约束剩余变量的检验数 原问题的约束条件是=约束时，对应对偶问题的最优解是-M减去该约束人工变量（大M法）的检验数,草拭乖秩兔折浅亥蕴诵谩辩喘志臀秃变庶沼汛使皇撵按疮泣垒互洒韩寝朔4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,内 容,对偶问题的提出 构造对偶问题的

16、线性规划 对偶理论重点 对偶单纯形法重点 影子价格及应用,尽束棒饭冷像技翻趣屁暗锦逐筋漠胀义称靴椎毗迷祟捆钮牲求怒疏织坡喂4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,影子价格的应用,影子价格的定义：线性规划问题的第i个约束条件的影子价格为在资源量 增加一个单位变为 的情况下，最优目标值改进（最大化为增加，最小化为减少）的变化量,赊求偶疵赏讯套菇撮缸澡遗邻荆讳伞钎序腐暑渤靳笑剑他绊莲俭胁柳渊橱4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,例：某工厂经理对该厂生产的两种产品用线性规划来确定最优的产量方案。根据产品的单位产值生产这些产品的三种资源供应限量，建立了如下线性规划模型,佯兽厦锄磁腻厉敲豪

17、骄填仆枉玻替育慈雏泪估谣苔秦卖迁首烷涪徊振鸡好4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,在利用单纯形表求解时，增加松弛变量 得到最优解是： 最优值 这里松弛变量的检验数的相反数，是对偶问题的最优解，这些数值就是相应资源的影子价格,糜绳雄肿楚吝聪迎卤鳞簿箍抚说闻表侠匹滞颤川苗接噪茧凯溶槐冀午真秀4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,资源1的影子价格 ，资源2的影子价格 ，资源3的影子价格 。资源1的影子价格为0，说明增加这种资源不会增加总的产值。为了更清楚的看到这一点，可以把上述初始单纯形表中的第一种资源由90改为91，得到最优单纯形表,这说明资源1的增加不改变产品方案也不增加总的产

18、值。,周议燥洱此凝盐搬遏喳尊钒逼瓦叹泵宏镶虱彝惹卑到巾花铅旭台龄鸵承浑4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,如果资源2增加一个单位，从80改为81，最优单纯表 这说明增加一个单元的资源2以后，最佳生产方案为第一种产品生产36件，第二种产品生产9件，总产值由原来215增加到216，即总产值增加量为1,镰庭叹堡八阶遥辨铲聚望徘测胡苛揩捣妄羌待庇泵漠盖塔庐缔碧强住波舌4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,如果资源1和2没有变化，而资源3增加一个单位时，从影子价格 可知总产值的增加量为3。值得注意的是，产品品种没有改变，但每种产品的生产数量却改变了。如果资源3增加一个单位，新的决策将是

19、第一种产品生产34件，第二种产品生产12件，总产值是218。,捕淋互惰雅浅员喻灭呵曳资泛抗缉整阅蓟俗窜雁兼仇湃捆拇卸享过立甚伶4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,影子价格可以告诉管理人员，增加哪一种资源对增加经济效益最有利。如上例中的三种影子价格为 ，说明应增加资源3。 影子价格可以告诉管理人员，花多大的代价来增加资源才是合算的。如第3种资源每增加一个单位能使收益增加3，如果增加这种资源的代价大于3就不合算了。 告诉管理人员应如何考虑新产品的价格。如企业要生产一种新产品，如果每件产品耗用的这三种资源数量是单位 ，则产品定价一定要大于 才能增加公司的收益，如售价 低于11的话，生产是不

20、合算。,纶挥役棍誊前辗坷听迅清掂窍变氮左褐惶啤旗奄帽受印仟贿渤跺论置茄馅4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,告诉管理人员产品价格变动时，哪些资源最宝贵，而哪些资源无关紧要。上例中若产品的售价由(5,4)变动到(5,5)时，从上表单纯形表可以算出价格改变后的影子价格： 这说明若增加第二种产品的价格的话，资源(2 ,3)更显得宝贵了。 影子价格虽然被定名为一种价格，但是可以帮助分析工艺改变后对资源节约的收益，如工艺工程改进后使第三种资源能节约2%，则带来经济效益是：3*45*2%=2.7。,兽用主箱粒例果谤龋矗芯咬空左膊妇畜毗脱策甲工尾眯娶握胯辛项峙振矢4-第四章 对偶理论64-第四章

21、对偶理论6,由于资源的市场价格是已知的，相对比较稳定，而它的影子价格则有赖于资源的利用情况，是未知的。所以，系统内部资源数量和价格的任何变化都会引起影子价格的变化，即公司生产任务、产品结构等情况一旦发生变化，资源的影子价格一般也会随之发生改变。从这种意义上讲，影子价格是一种动态价格，从另个角度讲，资源的影子价格实际是一种机会成本。 在经济理论上，把松弛变量（剩余变量、人工变量）的检验数的相反数看作右端常数向量的影子价格向量。影子价格的值实际上就是对偶问题的最优解。这里注意的是：影子价格是与原问题的约束条件相联系的，而不是与变量相联系的。,暇爸缝徽崩泞完腐梁惶狞育氟通仇时苟蚊蓄溢惟崭揭吏澎碳辰戊愧糠泊鲁4-第四章 对偶理论64-第四章 对偶理论6,影子价格的应用,影子价格是针对某一具体的约束条件而言的，而问题中所有其它数据都保持不变。 对偶变量的意义是在当前的基本解中对一个单位的第i 种资源的估价（或对目标函数的利润贡献）。这种估价不是资源的市场价格，而是在生产中做出的贡献而作出的估价，为了和产品的价格区别起见，故把该价格称为影子价格。,誓舷榜桔酪糖鞭兽棚呕得躇曼朱鳞擞孺曲枉俞漏诱橇舞惧谭什奔火挨杂逢