信号与系统课件1.4.ppt

1、1.4 阶跃函数和冲激函数,阶跃函数和冲激函数不同于普通函数，称为奇异函数。研究奇异函数的性质要用到广义函数（或分配函数）的理论。 这节课首先直观地引出阶跃函数和冲激函数。 一、阶跃函数 下面采用求函数序列极限 的方法定义阶跃函数。 选定一个函数序列n(t)如图所示。,阶跃函数性质：,（1）可以方便地表示某些信号,r(t)=t(t),斜升函数,f(t) = 2(t)- 3(t-1) +(t-2) （2）用阶跃函数表示信号的作用区间,问：如何用阶跃函数表示如下信号,二、冲激函数,单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。它由如下特殊的方式定义（由狄拉克最早提出

2、）,也可采用下列直观定义：对n(t) 求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t) 。,高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。,冲激函数与阶跃函数关系,可见，引入冲激函数之后，间断点的导数也存在。如,f(t) = 2(t +1)-2(t -1) f(t) = 2(t +1)-2(t -1),冲激函数的性质,取样（筛选）特性 冲激函数的导数 第一类间断点的导数 尺度变换 奇偶性 复合函数形式的冲激函数,若f(t)在t = 0 、t = a处存在，则,1. 与普通函数f(t) 的乘积取样性质,？,求导,2. 冲激函数的导数单位冲激偶 (t),/2,-/2,1/,/2,-/2,定义,利用规则函数(矩

3、形脉冲),求极限,求导,或交换求导和求极限的次序得到,性质： 取样特性：,同样有,3. 第一类间断点的导数,例1.4-2,4. 尺度变换,5. 奇偶性,6.复合函数形式的冲激函数,1.5 系统的描述,要分析一个系统，主要有以下几步： 首先要建立描述该系统基本特性的数学模型 用数学方法（或仿真）求出它的解答 对所得的结果赋予实际的含义 系统分类： 按数学模型的不同,系统可分为:即时系统与动态系统;连续系统与离散系统;线性系统与非线性系统;时变系统与时不变(非时变)系统等等.,1、即时系统指的是在任意时刻的响应(输出信号)仅决定与该时刻的激励(输入信号),而与它过去的历史状况无关的系统。 2、如果

4、系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关而且与它过去的历史状况有关,就称之为动态系统。 3、当系统的激励是连续信号时,若响应也是连续信号,则称其为连续系统。 4、当系统的激励是离散信号时,若其响应也是离散信号,则称其为离散系统。 5、连续系统与离散系统常组合使用,可称为混合系统,系统的数学模型,系统的框图表示,系统的描述,一、系统的数学模型,数学模型:系统基本特性的数学抽象,是以数学表达式来表征系统的特性.,描述连续系统的数学模型是微分方程,而描述离散系统的数学模型是差分方程。,系统分析的基本思想： 1. 根据工程实际应用，对系统建立数学模型。 通常表现为描述输入输出关系的方程。,2. 建立

5、求解这些数学模型的方法。,例：写出右图示电路的微分方程。 写出关于电容两端电压的方程,解：根据KVL有,利用以上各元件端电压与电流的关系可得：,二、系统的框图表示,系统的数学模型所包括基本运算： 相乘、积分、相加、延时运算。 将这些基本运算用一些理想部件符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。,基本单元, 积分器:, 标量（系数）乘法器:, 加法器:,4. 延时器:,连续：,离散：,时为单位延时器,系统模拟：,实际系统方程模拟框图 实验室实现指导实际系统设计 例1：已知y”(t) + ay(t)+ by(t) = f(t)，画框图。 解：将方程写为y”

6、(t) = f(t) ay(t) by(t),离散系统,所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。,建立差分方程,考察一个银行存款本息总额的计算问题。储户每月定期在银行存款。设第k个月的存款额是f(k)，银行支付月息利率为，每月利息按复利结算，试计算储户在k个月后的本息总额y(k)。,显然，k个月后储户的本息总额y(k)应该包括如下三部分款项：（1) 前面(k-1)个月的本息总额y(k-1)； (2) y(k-1)的月息y(k-1)；(3) 第k个月存入的款额f(k)。于是有：,y(k)=y(k-1)+y(k-1)+f(

7、k) =(1+)y(k-1)+f(k) 即：y(k)-(1+)y(k-1)=f(k),一阶线性差分方程,由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。 2. 差分方程的模拟框图 基本部件单元有： 数乘器，加法器，迟延单元（移位器）,1.6 系统的特性和分析方法,连续的或离散的系统可分为： 1、线性的和非线性的； 2、时变的和时不变（非时变）的； 3、因果的和非因果的； 4、稳定的和非稳定的。 本书主要讨论线性时不变系统,（1）线性性质 系统的激励f ()所引起的响应y() 可简记为 y() = T f () 线性性质包括两方面：齐次性和可加性。 若系统的激励f ()增大a倍时，其响应y()也增大a倍，

8、即T af () = a T f ()则称该系统是齐次的。 若系统对于激励f1()与f2()之和的响应等于各个激励所引起的响应之和，即T f1()+ f2() = T f1()+T f2() 则称该系统是可加的。,线性系统：满足线性性质的系统。,若系统既是齐次的又是可加的，则称该系统是线性的，即 Ta f1() + bf2() = a T f1() + bT f2() ？,（2）动态系统为线性系统时应具备的条件 动态系统不仅与激励 f () 有关，而且与系统的初始状态x(0)有关。初始状态也称“内部激励”。 完全响应可写为 y () = T f () , x(0),当动态系统满足下列三个条件时

9、该系统为线性系统： 可分解性： y () = yzs() + yzi() = T f () , 0+ T 0，x(0) 零状态线性： Ta f () , 0 = a T f () , 0 (齐次性) Tf1(t) + f2(t) , 0 = T f1 () , 0 + T f2 () , 0(可加性) 或 Taf1(t) +bf2(t) , 0 = aT f1 () , 0 +bT f2 () , 0,零状态响应为 yzs() = T f () , 0 零输入响应为 yzi() = T 0，x(0),T0,ax(0)= aT 0,x(0) (齐次性) T0,x1(0) + x2(0) = T0

10、,x1(0) + T0,x2(0)(可加性) 或 T0,ax1(0) +bx2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0),零输入线性：,注：三个条件缺一不可,例题,解：（1） yzs(t) = 2 f (t) +1， yzi(t) = 3 x(0) + 1 显然， y (t) yzs(t) yzi(t)不满足可分解性，故为非线性。 （2） yzs(t) = | f (t)|， yzi(t) = 2 x(0) y (t) = yzs(t) + yzi(t)满足可分解性； 由于Ta f (t) , 0 = | af (t)| a yzs(t)不满足零状态线性。 故为非线性系统。,例1：判

11、断下列系统是否为线性系统？ （1） y (t) = 3 x(0) + 2 f (t) + x(0) f (t) + 1 （2） y (t) = 2 x(0) + | f (t)| （3） y (t) = x2(0) + 2 f (t),yzs(t) = 2 f (t) , yzi(t) = x2(0) ，显然满足可分解性； 由于T 0,a x(0) =a x(0)2 a yzi(t)不满足零输入线性。 故为非线性系统。,（3） y (t) = x2(0) + 2 f (t),y (t) = yzs(t) + yzi(t) ， 满足可分解性； Ta f1(t)+ b f2(t) , 0,例2：判

12、断下列系统是否为线性系统？,= aTf1(t), 0 +bT f2(t) , 0，满足零状态线性； T0,ax1(0) + bx2(0) = e-tax1(0) +bx2(0) = ae-t x1(0)+ be-t x2(0) = aT0,x1(0) +bT0,x2(0), 满足零输入线性； 所以，该系统为线性系统。,时不变系统与时变系统,满足时不变性质的系统称为时不变系统。 （1）时不变性质 若系统满足输入延迟多少时间，其零状态响应也延迟多少时间， 即若Tf(t), 0 = yzs(t) 则有 Tf(t - td)，0 = yzs(t - td) 系统的这种性质称为 时不变性或移位不变性）,

13、解:(1)令g (k) = f(k kd) T0，g (k) = g(k) g (k 1) = f (k kd) f (kkd 1 ) 而y (k kd) = f (k kd) f (kkd 1) 显然T0，f(k kd) = y (k kd) 故该系统是时不变的. (2) 令g (t) = f(t td) T0，g (t) = t g (t) = t f (t td) 而y (t td)= (t td) f (t td) 显然T0，f(t td) y (t td) 故该系统为时变系统。,例：判断下列系统是否为时不变系统？ （1） y (k) = f (k) f (k 1) （2） y (t)

14、 = t f (t) （3） y (t) = f ( t),令g (t) = f(t td) , T0，g (t) = g ( t) = f( t td) 而y (t td) = f ( t td)，显然 T0，f(t td) y (t td) 故该系统为时变系统。,（3） y (t) = f ( t),直观判断方法： 若f ()前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。,（2）LTI连续系统的微分特性和积分特性 微分特性： 若f (t) yzs(t) ， 则f (t) y zs (t) 积分特性： 若f (t) yzs(t) ， 则,本课程重点讨论线性时不变系统 (Linear Time-Invariant)，简称LTI系统。,已知某连续系统如下图所示，写出该系统的微分方程。,解：图中有两个积分器，因而系统为二阶系统。设右端积分器的输出为x(t)，那么各积分器的输入分别是 x(t),x(t)。左方加法器的输出为,为了得到系统的微分方程，