2.基本不等式 (3)

1、3.4基本不等式:,ICM2002会标,如图，这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,欣 赏 体 会 丰 富 自 我,基本不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有,当且仅当a=b时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,如何证明?,会得到什么？,基本不等式2：,当且仅当a=b时，等号成立。,注意： 1、两个不等式的适用范围不同,而等号成立的条件相同.,剖析公式应用,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数., a、 b是两个正数., 当且仅当a=b时“”号成立 ,3.正用、逆用

2、，注意成立的条件,4.变形用,2. 基本不等式可以叙述为:,深 入 探 究 揭 示 本 质,基本不等式的几何解释：,半弦CD不大于半径,动画,例1.(1) 已知 并指出等号 成立的条件.,(2) 已知 与2的大小关系, 并说明理由.,(3) 已知 能得到什么结论? 请说明理由.,应用一：利用基本不等式判断代数式的大小关系,练习2：若 ，则（ ）,（1）（2）（3）,B,练习1：设a0，b0，给出下列不等式,其中成立的是 等号能成立的是 。,（1）（2）（3）(4),应用二：解决最大（小）值问题,例2、已知 都是正数，求证 （1）如果积 是定值P，那么当 时， 和 有最小值 （2）如果和 是定值

3、S，那么当 时， 积 有最大值,（1）一正：各项均为正数,（2）二定：两个正数积为定值，和有最小值。 两个正数和为定值，积有最大值。,（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式是否能取“”，否则会出现错误,小结：利用 求最值时要注意下面三条：,2、已知 则x y 的最大值是 。,1、当x0时， 的最小值为 ，此时x= 。,2,1,3、若实数 ，且 ，则 的最小 值是（ ） A、10 B、 C、 D、,D,4、在下列函数中，最小值为2的是（ ） A、 B、 C、 D、,C,例3、甲、乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片。甲、乙两公司共购芯片两次，每次的芯片价格不同，甲公司每次购1

4、0000片芯片，乙公司每次购10000元芯片，两次购芯片，哪家公司平均成本低？请给出证明过程。,解：,设第一、第二次购芯片的价格分别为每片a元和b元,例4、 求函数 的最小值,构造积为定值，利用基本不等式求最值,思考：求函数 的最小值,利用二次函数求某一区间的最值,分析一、,原函数式可化为：,y=-3x2+x，,分析二、,挖掘隐含条件,构造和为定值，利用基本不等式求最值,变式一：,如此解答行吗？,上题中只将条件改为0x1/8,即:,错题纠正：,错解:,即 的最小值为,过程中两次运用了 均值不等式中取“=” 号过渡，而这两次取 “=”号的条件是不同的， 故结果错。,错因：,解:,当且仅当,即:,

5、时取“=”号,即此时,正确解答是:,本题小结： 用均值不等式求最值时，要注意检验最值存在的 充要条件，特别地，如果多次运用均值不等式求 最值，则要考虑多次“”（或者“”）中取“=” 成立的诸条件是否相容。,),(,.,3,4,0,0,0,0,.,2,),(,),(,1,.,1,2,2,2,2,2,2,4,4,4,2,c,b,a,abc,c,a,c,b,b,a,c,b,a,ac,ad,bc,bd,bc,ad,d,c,b,a,b,a,y,x,R,y,x,y,b,x,a,b,a,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,=,+,+,证明：,求证：,已知,求证：,，,是正数，且,、,已知,等式,利用基本不等式证明不,1、设 且a+b=3,求ab的最小值_。,作业：（写出过程）,3、若，则函数的最小值是_。,2、求函数f(x)=x2(4-x2) (0x2)的最大值是多少？,小结评价,你会了吗？,1。本节课主要学习了基本不等式的证明与初步应用。,巅 峰 回 眸 豁 然 开 朗,2。注意公式的正用、逆用、变形使用。,3。牢记公