现代数学模型分析方法

1、1,第十五讲 金融市场的现代数学模型分析方法,一、无风险证券的估价 二、金融风险的基本分析工具 三、资产组合理论 四、证券组合理论 五、资本资产定价模型（CAPM） 六、因素模型 七、套利定价理论（APT）,2,一、无风险证券的估价,1.定义、名义利率和实际利率 无风险证券是指到期回报率确定、没有任何违约风险的证券 通常，人们把国债作为无风险证券 实际利率一般定义为名义利率减去通货膨胀率,3,2.现值、即期利率和到期收益率、贴现因子,无风险债券的现值等于按照一定的贴现率对该债券承诺支付的现金流的进行贴现后得到的价值 任何固定收入债券的到期收益率是一个全期利率，按照该利率，现在投入的一笔资金在到

2、期日正好得到全部证券承诺的支付 即期利率是某一给定时点上无息证券的到期收益率 贴现因子等价于将来t年之后从财政证券得到的1元钱的现值,4,二、金融风险的基本分析工具,1.金融风险的定义 对金融风险的理解随着时间推移而不断加深 20世纪初人们认为企业的负债越高风险就越大 20世纪60年代，投资大师格雷厄姆等人用边际安全度（margin of safety）来衡量风险 现代意义上的单一证券或证券组合的风险的含义，是由马柯维茨（H.Markovitz）等人界定，即：金融风险是指金融变量的可能值偏离其期望值的可能性和幅度。,5,2.证券投资收益和风险的衡量,对单一证券或证券组合的收益与风险的衡量，包括

3、两类 历史的风险与收益（historical or ex post risk and return） 预期的风险与收益（expected or ex ante risk and return） 前者用于确定单一证券或证券组合以往的风险与收益，后者用于确定单一证券或证券组合未来的风险与收益。,6,证券收益的衡量,对单一证券而言，证券未来收益的期望值是衡量证券投资收益的最好方法 证券的期望收益等于证券的各种可能收益的加权平均数，权数是各种可能收益的概率 期望收益指标的优越之处有二：一是反映了证券各种可能的收益，涵盖了全部信息；二是单一证券的期望收益与证券组合的期望收益存在线性的联系。 证券组合的收

4、益等于组合中各种证券的期望收益的加权平均数，以各证券占证券组合的投资比重为权数。 其中，Xi为证券i占证券组合P的投资比重；E（Ri）为证券i的期望收益；n为证券组合P包含的证券种数。,7,证券风险的衡量,马柯维茨采用证券收益的方差或标准差来衡量单一证券的投资风险 对于证券组合的投资风险，不仅取决于该证券自身方差的大小，而且取决于该证券与证券组合中其他证券之间协方差的大小。 假设证券组合P中包含a和b两种证券，其中a证券的方差（variance）和标准差(standard deviation)分别为Va和Sa；b证券的方差和标准差分别为Vb和Sb。而且，a、b两种证券收益之间的协方差(cova

5、riance)为Cov(a,b),8,如果两种证券a、b占证券组合P的投资比重分别为Xa、Xb，显然，Xa+ Xb =1,那么该证券组合的风险就可以用下面的公式计算: 或者， 一般地，当证券组合P包含了n种证券时，其风险可表示为：,9,3.风险偏好和均值方差效用函数,到底人们是喜欢风险还是厌恶风险呢？ 做一个“公平赌”(Fair gamble)试验。抛一枚硬币，人头朝上赢10000元，字朝上输10000元。按概率计算，输赢的机会各一半，期望收益为零。如果你不想参与这个赌博，你是“风险厌恶者”(risk averter);如果你愿意参加这个赌博，你是“风险喜好者”(risk lover)；如果你

6、认为赌不赌无所谓，你是“风险中立者”(risk neutral) 依人们对风险的不同态度，可得出不同的均值方差（或标准差）效用函数，其一般形式为U=U(EV)，其中E为未来收入或财富的均值（或期望值），而V为方差。,10,三、资产组合理论,背景简介及基本假设 1958年，占姆士托宾(JTobin)发表了针对风险的流动性偏好行为，较早的对证券投资中的资产组合理论进行了系统的阐述 托宾把资产分为货币性资产和非货币性资产。 货币资产：凡能够在市场上流通，拥有固定的货币价值，又不存在违约风险的资产。反之，叫做非货币资产 在货币资产中，凡能够给资产持有者带来收益的，叫做非现金货币资产；反之不能带来收益的

7、，称为现金货币资产，如现金。,11,为了简化分析，托宾做了下述假定: (1) 在持有的资产总额中，货币资产与非货币资产的比例业已确定，资产组合理论要讨论的问题是在货币资产内部，现金货币资产和非现金货币资产的划分比例问题。 (2) 先分析现金与一种非现金货币资产（统一公债,由英国政府1751年发行，每年支付一笔固定的利息但是没有还本期限的债券）的组合，然后推广到现金与多种非现金货币资产组合的情形。 (3) 假定投资者拥有的货币资产中，现金的比重为X1，统一公债的比重为X2，并且比重为X1+X21。 (4) 假定现金的收益为0，风险也为0；统一公债每年的固定收益为r（面值为一个货币单位，如1英镑）

8、。此外，统一公债还会给投资者带来资本利得或资本损失(capital gain or loss)，定义为g。 (5) X1和X2的比例，并非简单的取决于r+g的大小，而是取决于投资者对统一公债未来收益的预期。,12,2.对未来收益有确定性的预期的情形,假定投资者预期从统一公债上获得的收益为re，根据预期收益re与固定收益r是否有关，可分为如下两种情形： （一）当re与r无关时的资产组合 （二）当re与r存在某种函数关系时的资产组合,13,（一）当re与r无关时的资产组合,投资于统一公债，一年的总收益是：(r+g)。 当r+g0时，X10且X21； 当r+g0时，即 rre/(re+1)； 当r+

9、g0时，即 rre/(re+1)。 re/(re+1)为临界收益率rc,14,（二）当re与r存在某种函数关系时的资产组合,假定re是r的函数，ref(r),则临界收益率rc=re/(re+1)= f(r)/ f(r)+1。 在“固定收益率临界收益率”的二维平面上，曲线描述了临界收益率随固定收益率变化的情形，过原点的45线代表临界收益率等于固定收益率的情形。在两条线的交点处，正好满足rc = r；在交点右侧，rc r，应全部持有现金。,15,3.对未来收益的预期不确定的情形,（一）资产组合的预期收益与风险 资产组合的总收益 R= X10+X2(r+g)X2(r+g) 统一公债的资本利得或损失是

10、一个随机变量，且期望值为0，则资产组合的预期收益 E(R)= EX2(r+g)= X2r 资产组合的风险用标准差表示，则 S(R) = X2Sg,16,3.对未来收益的预期不确定的情形,（二）机会轨迹(opportunity locus) 机会轨迹是一条反映资产组合的预期收益和风险之间关系的曲线。由上面的计算容易得到：X2E(R)/rS(R) /Sg 略加变形，即得：E(R)(r/Sg)S(R) 上式即为资产组合的机会轨迹的解析表达式。当r 、Sg固定不变时，资产组合的预期收益与风险成线性关系,17,3.对未来收益的预期不确定的情形,（三）资产组合风险与持有公债比例之间的函数关系 根据 S(R

11、) = X2Sg ，可得： X2 = （1/ Sg）S(R) 上式表明，当统一公债总收益的标准差固定不变时，资产组合中持有的统一公债的比例与组合的风险成正比关系。,18,3.对未来收益的预期不确定的情形,（四）投资者的风险偏好 投资者的风险偏好不同，这种差异可以通过“期望收益方差”二维平面中的无差异曲线加以描述 （五）最佳资产组合点 在“期望收益标准差”二维平面中,把投资者个人的无差异曲线和证券组合机会轨迹结合起来,即可得到个人的最优选择点。 最优选择点只能出现在机会轨迹上，具体来说，它可能是无差异曲线与机会轨迹的切点，也可能是机会轨迹的上端点或者下端点。,19,4.对资产组合理论的简评,托宾

12、的资产组合理论首先是一个货币需求理论，是对凯恩斯流动性偏好理论的进一步发展。 托宾的资产组合理论对金融资产定价理论作出了重要贡献。概括起来，主要是两个方面： 它指出投资者的决策中不仅考虑资产的收益率，还要考虑其风险，这正是全部资产定价理论基本指导思想 指出金融市场是一个互动的整体，无风险资产与风险资产是不可以完全分割开来的,20,四、证券组合理论,1.简介及基本假设 1952年，马柯维茨（Harry M. Markowitz）发表了一篇里程碑性的论文组合的选择 马柯维茨认为，投资者的的目标并非是预期收益最大化。如果仅以收益最大化为投资目标，那么投资者选择的证券，应该只有他或她认为能够带来最大收

13、益的唯一资产 投资者往往同时寻求最大的预期回报和最小的不确定性（风险）,21,马柯维茨的证券组合理论的假设条件 不满足与风险厌恶 证券收益率是服从正态分布的随机变量，并且投资者的效用函数是二次函数； 根据假定2，可以用预期收益率方差（或 标准差）效用函数来描述投资者的效用水平，并且可以用方差（或标准差）衡量证券的风险； 投资者按照假定1行动，会遇到风险和收益之间的两难选择。投资者选择的最大预期收益的证券组合，极有可能也是风险最高的，而通过分散化投资降低了风险的同时，预期收益也有可能被降低了,22,2.逐一评价法,计算每一个证券组合的预期收益率和标准差，每一个组合对应于“预期收益率标准差”二维平

14、面上的一个点，每个点必然位于投资者的某一条无差异曲线上，比较不同的无差异曲线所代表的效用水平，投资者将决定对证券组合的取舍。 这种方法的缺点是计算过于复杂，证券的品种数以千计，而证券组合的数目更是大的惊人。个人投资者的时间、精力和知识都是有限的，因而不会采用这一“笨拙的”方法的。,23,3.有效集定理,（1）定义 在有效集定理中，投资者只要考虑那些可行集合的一个子集就足够了。因为投资者要选择的最优组合，要同时满足以下两个条件： （1）对于每一风险，提供最大的预期收益率； （2）对于每一预期回报率，提供最小的风险。 同时满足这两个条件的组合集，就叫做有效集或有效边界。 （2）可行集与有效集 可行

15、集又叫机会集，它代表由一组n种证券形成的所有组合。这个集合的形状好像伞盖。,24,3.有效集定理,（3）最佳组合选择 在同一个“期望收益率标准差”二维平面内作出投资者的无差异曲线。 由于风险厌恶者的无差异曲线向右下方凸出（第一节已有介绍），而有效组合边界向左上方凸出（下面将有论证），所以能够在切点处确定唯一的最优证券组合。 最优组合不可能是有效集之外的点，所以有效证券组合实际上是一种优选法，它大大降低了投资分析的工作量。,25,4.有效集的形状,26,5.市场模型,（1）系统性风险与非系统性风险 单个证券的风险可以分为系统性风险和非系统性风险两部分 对于由共同因素引起股票指数波动而带来的个股价

16、格变化引发的个股收益率的不确定性，叫做系统性风险 对于纯粹由个股自身因素引起的个股价格波动带来的个股收益率不确定性，则称之为非系统性风险。,27,（2）市场模型,该模型假设某种个别证券在给定时期内的收益率与同一时期内的市场指数存在某种线性关系 Ri = iI+ iIRI + i 其中，Ri 和RI分别是第i种证券和市场指数的收益率，iI 、iI和i分别是截距、斜率和随机误差项,28,6.分散化原理,单一证券的风险 Vi= 2iIVI + Vi 证券组合的风险 Vp =2pIVI +V(p) 其中，V(p) Xi2V(i) 组合的市场风险和平均风险 一个组合越是分散化，也即组合中包含的证券种类越

17、多，每一个证券的比例就越小。即：分散化导致市场风险的平均化,29,五、资本资产定价模型（CAPM）,1.无风险借贷 无风险借贷是CAPM模型的重要假设条件之一 投资者不仅被允许把自有资金投资于无风险资产，而且被允许以无风险利率借入资金购买风险资产 对无风险资产的投资，又叫做“无风险贷出”。相应地，投资者以无风险利率借入一笔资金，称作“无风险借入”。两种情况合称为“无风险借贷”。,30,2.无风险借贷条件下效率组合的变化,（一）无风险贷出 投资于一种无风险资产和一种风险资产（图5.1） 托宾的资产组合理论讲的情形与此类似，这时的效率组合类似于资产组合理论中的机会轨迹。 投资于一种无风险资产和一个

18、风险资产组合（图5.2）,31,（二）无风险借入,1.无风险借入对效率边界的影响 在允许投资者进行无风险借款的情况下，有效边界也会发生重大变化 2.无风险借入对投资者最优选择的影响 当效率边界变化之后，视投资者个人的风险厌恶程度，其最优选择可能变化也可能不变 3.无风险借贷条件下的效率组合及投资者的最优选择,32,3.资本资产定价模型,基本假设 （1）投资者仅通过预期回报率和标准差来评价投资组合。 （2）投资者对财富不满足，并且厌恶风险。 （3）投资者具有相同的预期，他们对资产的期望回报率、标准差和证券之间的协方差有相同的理解。 （4）每一种资产都是无限可分的，即投资者可以购买比如说一个股份的

19、一部分。 （5）对于所有的投资者，无风险利率相同，而且他们可以按照现行的利率借入或贷出资金。 （6）税收和交易成本忽略不计。 （7）信息搜寻成本为0。,33,资本市场线,（1）分离定理 （2）市场组合 （3）有效集 “资本市场线”解析表达式为： E(Rp)= Rf + (E(RM) Rf)/SMSp 其中E(Rp)和 Sp 表示一个有效组合中的预期收益率和标准差 Rf 是无风险利率 (E(RM) 和 SM 分别是市场组合的预期收益率和标准差。 而“资本市场线”的斜率(E(RM) Rf)/SM 则反映了单位风险的市场价值。,34,证券市场线,证券市场线 : E(Rp)=Rf + (E(RM)Rf

20、)iM 与资本市场线不同，证券市场线上包含了所有的证券；不仅如此，它还包含了所有的证券组合 证券市场线也表示某一证券或证券组合处于均衡时的期望报酬率 iM = Cov(Ri ,RM) /VM，其中Cov(Ri ,RM)是某种证券i与市场组合M的协方差，VM是市场组合的方差,35,CAPM简评,CAPM因其丰富的理论内涵和简便易行的可操作性，在现代金融理论中一直占据核心的位置 CAPM的重大特色之一是集前人研究之大成。 它的可检验性和可操作性。一方面它推动了金融理论由规范走向实证，另一方面，它改变了人们头脑中“理论是灰色的”这样一个成见。 CAPM的主要问题在于模型的假设条件过于抽象化。,36,

21、六、因素模型,1.简介 因素模型是一种线性统计模型，它描述了每一证券的预期回报率和影响它们的一个或多个共同因素之间的线性关系 两个假设前提 各种证券的回报率具有相关性，是因为它们对经济中的一些重要变量产生共同的反应 模型中不能解释的那部分回报率（证券的独有回报率）则仅与单一证券自身的特性有关，而与模型中的共同因素无关，也与其他证券的特性无关。 依据模型中解释变量的个数,因素模型可分为单因素模型和多因素模型两种。,37,2. 单因素模型,假设某投资者认为决定证券回报率的因素只有一个，那么就可以建立单因素模型： Ri= ai + biF + ei 其中，Ft 是t时期因素的预期值；系数bi证券i对

22、该因素的敏感度；ei是仅与证券i有关的随机变量，其期望值为0。,38,3.多因素模型,当模型中的解释变量有两个或两个以上时，我们称之为多因素模型 通常选择国内生产总值、通货膨胀率、利率水平等作为解释变量 以双因素模型为例，一般表达式为： Ri = ai + bi1F1 + bi2F2 + ei,39,4.估计因素模型的方法简介,时间序列法 它把投资者认为具有共同影响的因素直接放到模型中去充当解释变量 建立起模型之后，再按照时间先后顺序一期一期地搜集数据 进行线性回归之后就可以得到期望回报率对各个因素的敏感度系数和纵截距。 横截面法 搜集某一特定时期证券回报率的观察值，并根据已知的敏感度系数去估

23、计因素的值 在多个时期重复这一过程，就会得到因素的标准差和因素之间相关系数的值 因素分析法,40,5.因素模型与CAPM,因素模型是一种统计模型，而不是一个关于资产定价的市场均衡模型 对于不同的股票而言，市场模型中的截距项是各不相同的。而对CAPM来讲，不同证券预期回报率的表达式中的截距项是相等的，都是无风险利率 在CAPM中，具有相同贝塔值的证券，其预期回报率是相等的；在市场模型中，具有相同贝塔值的证券，其预期回报率由于截距项的不同而不同。,41,七、套利定价理论（APT）,套利定价理论从投资者追逐套利组合的收益入手建立一个市场均衡模型 假设条件也主要有三个 资本市场处于竞争均衡状态 投资者

24、喜爱更多的财富 资产的回报可用因素模型表示,42,1.套利和套利证券组合,套利是利用同一种实物或金融资产在时间或空间上存在价格差异来赚取无风险利润的行为 最具代表性的套利行为是以较高的价格卖出证券，同时以较低的价格买进相同或功能上等价的证券 一个证券套利组合要符合以下3个条件 （1）套利组合不需要投资者任何净投资 （2）套利组合对任何共同因素和证券的独有因素不敏感。这就要求组合中的资产必须充分分散化。 （3）套利组合必须是一个盈利的组合。,43,2.套利定价方程,E(Ri) 0 + 1 bi 这个线性方程就是套利定价方程，也叫做套利定价线或APT资产定价线 0表示共同因素的影响不存在时的期望收益率，其实就是无风险报酬率Rf 1表示敏感系数为1的证券组合的风险报