九年级数学上册 第21章 第5课时 解一元二次方程——因式分解法导学案 （新版）新人教版

1、第五课一元二次方程的求解因子分解法第一，学习目标1.将使用因式分解法来求解一元二次方程；2.会用代换的方法来解一元的二次方程；3.选择一种简单灵活的方法来求解一元二次方程。二、知识综述1.因子分解的常见方法是什么？(1)提取公因子的方法：am bm cm=m(a b c)(2)公式法：，(3)交叉乘法：第三，新知识解释1.因子分解方法将一个多项式分解成几个代数表达式乘积的形式叫做因式分解。当一维二次方程的一边为0，另一边很容易分解成两个一阶因子的乘积时，我们可以使这两个一阶因子等于0，从而降低阶数。这种求解一维二次方程的方法叫做因式分解。2.用因式分解法求解一元二次方程的步骤：(1)将等式的右

2、侧变成0；(2)利用提高公因式的方法、公式法(这里是因子分解中的公式法)或交叉乘法，将方程的左侧转化为两个一阶因子的乘积；(3)使每个因子等于0，得到两个一维线性方程；(4)为了求解这两个线性方程，它们的解是原始方程的解。3.因式分解方法的条件和理论基础用因式分解法求解一元二次方程的条件是：方程的右边等于0，而左边易于分解；理论基础是，如果两个因子的乘积等于零，那么至少有一个因子等于零。四、典型案例研究1.用因式分解法求解一元二次方程示例1通过因子分解求解方程：(1)2(2x-1)2=(1-2x)；(2)4(y+2)2=(y-3)2。摘要：因式分解法用于求解一元二次方程，它利用了当ab=0时，

3、a=0或b=0的结论。用因式分解法求解一元二次方程的步骤：(1)将等式的右侧变成0；(2)利用公因法、公式法(这里是因子分解中的公式法)或交叉乘法，将方程的左侧转化为两个一阶因子的乘积；(3)使每个因子等于0，得到两个一维线性方程；(4)求解这两个线性方程，它们的解是原始方程的解。连一(2014年赵县秋末)用因式分解法解出方程：x26x 9=(52x)22.用代换法求解一元二次方程例2 (2014山西校级模拟)当解方程(x1)25(x1) 4=0时，我们可以把x1看作一个整体，如果x1=y，当y=4时，原方程可以转化为y2 ，即x1=4，解是x=5，所以原方程的解是x1=2，x2=5。方程(2

4、x 5)24(2x 5) 3=0的解通过这种方法获得。摘要：代换法在求解特殊的一元二次方程中运用了很多，并应用了整体思想。在一维二次方程中，一个代数表达式出现几次。当用字母替换它可以简化问题时，我们可以考虑用替换的方法来解决它。当求解高阶方程时，通过改变元素来达到降阶的目的。实践2(呼和浩特，2015)如果实数a和b满足(4a 4b)(4a 4b2)8=0)，那么A B=_ _ _ _ _ _。练习3解方程：(x2-3)2-5(3-x2) 4=0。3.一元二次方程求解方法的灵活选择例3(张秋县校级时期，2014)选择适当的方法求解以下方程：(1)x25x 1=0；(2)3(x2)2=x(x2)

5、；(3)2x22x5=0；(4)(y 2)2=(3y1)2.)摘要：求解一维二次方程常用的方法有直接开平法、配点法、公式法和因式分解法。根据一维二次方程的特点，灵活选择求解方程的方法可以起到事半功倍的作用。(1)一般来说，当二次方程的第一项的系数为0，即ax2 c=0形式的二次方程时，应采用直接开平方法。(2)如果常数项为0，即ax2 bx=0，则应采用因式分解法。(3)如果第一项和常数项的系数不是0，也就是说，在ax2 bx c=0的形式下，看le上的代数表达式(4)虽然公式法是万能的，适用于任何一维二次方程，但它不一定是最简单的。因此，在求解方程时，我们首先考虑是否可以应用简单的方法，如直

6、接开平方法和因式分解方法。如果没有，我们将再次考虑公式法(如果合适，我们也可以考虑匹配法)。练习4(无锡学校2015年春季年级段)选择适当的方法解下列方程。(1)x25x6=0；(2)3x24x1=0；(3)x(x1)=33x；(4)x22x 1=0。第五，课后测验首先，选择题1.等式(x-16)(x 8)=0的根是()A.x1=-16，x2=8 b。x1=16，x2=-8 c。x1=16，x2=8d。x1=-16，x2=-82.等式5x(x 3)=3(x 3)的解是()A.不列颠哥伦比亚省3.(2015滕州校级模拟)方程x22x=3可简化为()A.(x3)(x 1)=0 B.(x 3)(x1

7、)=0)C.(x1)2=2 D.(x1)2 4=0第二，填空4.(溧水，2015)在求解一维二次方程x2 2x3=0时，它可以转化为求解两个一维线性方程。请写一封。5.(2014年杭州模拟)方程x(x 1)=2(x 1)的解为。6.(2013年秋苏州年末)如果(x2 y2 1)(x2 y2 2)=6，则x2 y2的值为。第三，回答问题7.(2014年秋景宁县末)解以下方程：(1)x22x 1=0(2)x22x2=0(3)(x3)2 2(x3)=0.8.(在2014年秋季沧浪区的学校级别结束时)求解以下等式：(1)x24x3=0(2)(x2)2=3(x2)(3)2(x)2(x)1=0.9.(20

8、14年秋季万城区学校年级期间)为了理解等式(x21)25(x21) 4=0，我们可以把x21作为一个整体，然后让x21=y，然后(x2当y=1时，x21=1，x2=2，x=0。当y=4时，x21=4，x2=5，x。因此，原始方程的解是x1=，x2=，x3=，x4=.请用上述方法求解方程(x2 x) 2 5 (x2 x) 6=0。10.(丘吉县，2014)已知(x2 y23)(x2 y2 1)=12，因此求x2 y2的值。探索答案的典型例子：示例1分析 (1)移动项目并提取共同因素；(2)移位项，用平方差分公式求解因式分解。解决方案：(1) 2 (2x-1) 2=(1-2x)2 (2x-1) 2

9、-(1-2x)=0。即2 (2x-1) 2 (2x-1)=0，因式分解给出(2x-1)2(2x-1) 1=0。完成后，(2x-1)(4x-1)=0。X1=，x2=；(2)4(y+2)2=(y-3)2如果你移动物品，你得到4(Y-2)2-(Y-3)2=0因式分解给出2(y-2)(y-3)2(y-2)-(y-3)=0完成后，(3y 1)(y 7)=0y1=-和y2=-7。练习1。分析首先用完全平方公式和平方差分公式分解因子，然后求解方程；解决方案：x26x 9=(52x)2，(x3)2(52x)2=0，因子分解是：(x3 52x)(x35 2x)=0。完成后：(2x)(3x8)=0.解是：x1=2

10、，x2=1。点评：这个问题主要考查因式分解法求解一元二次方程。正确的因式分解是解决问题的关键。示例2分析如果首先假设2x 5=y，则该等式可以被转换为y24y 3=0，并且y的值(即2x 5)可以通过求解该等式来获得，并且x的值可以进一步获得。解决方案：如果x1=y，原始方程可以简化为y24y 3=0。所以(y1)(y3)=0答案是y1=1，y2=3。当y=1，即2x 5=1时，解是x=2；当y=3，即2x 5=3时，X=1，因此，原始方程的解是x1=2，x2= 1。备注：本课题采用代换法求解一元二次方程。练习2。分析如果a b=x，将原方程转化为关于X的二次方程，通过求解二次方程得到X的值(

11、即a b)。解：如果a b=x，它是从原始方程得到的4x(4x2)8=0，组织，必须(2x 1)(x1)=0，X1=和x2=1。b的值是或1。所以答案是：或1。注释：本主题主要考察替代的方法，即把某个公式作为一个整体，用一个字母替换它，并实现等价替代。实践3分析如果x2-3=y，原始方程被转换成关于y的二次方程，y的值(即x2-3)通过求解二次方程获得。解决方法：如果x2-3=y，原始方程可以简化为y2-5(-y) 4=0，即y2 5y 4=0。因式分解的结果是(y 1)(y 4)=0。Y1=-1，y2=-4。当y1=-1时，x2-3=-1，即x2=2。当y2=-4，x2-3=-4，即x2-3

12、=-1时，方程没有实数根。总而言之。例3分析 (1)使用匹配方法得到(x)2=，然后根据直接开平方法求解；(2)通过变形获得3(x2)2x(x2)=0，然后通过因子分解求解方程；(3)首先计算判别式的值，然后用根公式法求解；(4)首先，得到(y)2)2(3y1)2=0，然后通过因式分解求解方程。解决方案：(1) x2 5x=1，x25x()2=1)(2，(x)2=，x=，所以x1=，x2=；(2)3(x2)2x(x2)=0，(x2)(3x6x)=0，所以x1=2，x2=3；(3)=(2)242(5)=48x=，所以x1=，x2=；(4)(y 2)2(3y1)2=0，(y 2 3y1)(y 23

13、y 1)=0，Y 2 3y1=0或y 23y 1=0，所以y1=，y2=。评论：本主题考查一元二次方程的四种常见解法。练习4。分析 (1)根据因式分解法，可以得到方程的解；(2)根据公式法，可以得到方程的解；(3)根据因式分解方法，可以得到方程的解；(4)根据公式法，可以得到方程的解。解决方法：(1)因式分解，得到(x1)(x6)=0，解是x1=6，x2=1；(2)a=3,b=4,c=1,x1=,x2=；(3)方程简化为x2 2x3=0，因式分解给出(x 3)(x1)=0.解是x1=1，x2= 3。(4)a=1,b=2,c=1,x1=1 ,x2=1。点评：本课题考查和理解一元二次方程，根据方程

14、的特点选择合适的方法是解决问题的关键。课后测验答案：首先，选择题1.resolution首先移动项目，然后分解因子以获得选项。解决方案：x2-2x=3，x22x3=0，(x3)(x 1)=0，因此，选择一个.评论：本主题考查并理解一元二次方程的应用。解决这个问题的关键是正确分解因素。题目比较好，难度不大。2.分析5x(x3)=3(x3)的解可以通过首先移动项然后分解因子得到。解决方案：5x(x 3)=3(x 3)，移动项目以获得5x(x 3)-3(x 3)=0。因式分解给出(5x-3)(x 3)=0。解决它因此，d .评论：注意这个问题。你不能两边都去(x 3)。你会失去一个解决方案。3.【分

15、析】先移动项目，然后用交叉乘法分解因子；或者等式的两边同时加1，左边匹配成完全平坦的模式。解决方案：方法1: x2-2x=3，移动项目，使x2-2x-3=0。因式分解给出(x-3)(x 1)=0。方法2: x2-2x 1=3 1，即(x-1)2=4。如果移动项目，结果(x-1)2-4=0。因此，选择一个.评论：本主题考查并理解二次方程的因式分解方法。第二，填空4.分析如果方程的左侧被分解，原始方程可以被简化为X-1=0或X 3=0。解：(x1)(x 3)=0，X 1=0或x 3=0。因此，答案是x-1=0或x 3=0。注释：本课题研究一元二次方程的因式分解法：首先将方程的右侧转化为0，然后将左

16、侧转化为两个线性因子的乘积，然后这两个因子的值可以是0，这样就可以得到两个一元线性方程的解，从而将原方程化简，将一元二次方程的解转化为一元线性方程的解。5.Analysis移动项后，分解因子得到(x 1)(x2)=0，推导出方程x 1=0，x2=0，并找到方程的解解决方案：x(x 1)=2(x 1)，X(x 1)2(x 1)=0。也就是说，(x 1)(x2)=0，x 1=0,x2=0，该方程求解如下：x1=2，x2=1，因此，答案是：x1=2，x2= 1。评论：本课题主要考查对知识点的理解和掌握，如求解一维二次方程-因式分解法，求解一维线性方程，以及等式的性质。将一维二次方程转化为一维线性方程是解决这一问题的关键。6.分析让x2 y2=t，将原始方程转换为(t 1)(t 2)=6，求解T，然后得到x .解决方法：让x2 y2=t，并将原始方程改为(t 1)(t 2)=6。即，(t1)(t 4)=0，解决方案是t1=1，t2=4.t0,t=1，x2 y2=1，因此，答案是1。评论：本主题考察用代换法求解一元二次方程。请注意，整个主题是X2Y2。第三，回答问题7.分析 (1)首先分解因子，就可以得到一维线性方程并求出方程的解；(2)通过移位项、公