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1、专题课堂(四)等腰三角形中的证明,第十三章轴对称,一、等腰三角形中常用的辅助线 类型:(1)利用“三线合一”作“三线”中的“一线”; (2)利用垂线、平行线和截长补短,构造等腰三角形 【例1】如图,在ABC中,ABAC,EF交AB于点E,交AC的延长线于点F,交BC于点D,且BECF.求证:DEDF.,分析:过点E作EGAC交BC于G,构造等腰EBG,可得EBEGFC,再证EGDFCD即可,【对应训练】 1如图,在ABC中,ABAC,BAC90,D是BC的中点,AECF.求证:DEF是等腰直角三角形,证明:连接AD.ABAC,BC.BAC90,BC90,BC45.D是BC的中点,ABAC,AD
2、BC,ADBADC90,BAD90B45,CAD90C45,ADBD,BCAD.ABAC,AECF,BEAF.在BDE和ADF中,ADBD,BCAD,BEAF,BDEADF(SAS),DEDF,BDEADF.BDEEDA90,ADFEDA90,即EDF90,DEF是等腰直角三角形,2如图,在ABC中,BAC108,ABAC,BD平分ABC交AC于D,求证:BCCDAB.,二、等腰三角形中常见的证明题型 类型:(1)证明数量关系; (2)证明位置关系; (3)证明线段的和差关系 【例2】如图,在ABC中,ABAC,D是CB延长线上的一点,ADB60,E是AD上一点,且有DEDB.求证:AEBEB
3、C.,分析:延长DC至F,使CFBD,连接AF,可证ABDACF,从而可证ADF是等边三角形,再证DEB是等边三角形,即可证得结论,解:延长DC至F,使CFBD,连接AF,ABAC,ABCACB,ABDACF,由SAS可证ABDACF,ADAF.又ADB60,ADF是等边三角形,ADDF.DEDB,ADB60,DEB是等边三角形,DEBEDBCF.ADAEDE,DFDBBCCF,AEDEBEBCDE,AEBEBC,【对应训练】 3如图,在ABC中,ABAC,AD,BE是高,相交于点H,且AEBE,求证:AH2BD.,证明:AD,BE是ABC的高,ADBAEB90,又BHDAHE,EBCEAH,可证BCEAHE(ASA),AHBC.又ABAC,ADBC,BC2BD,AH2BD,4如图,在ABC中,ABAC,CDAB于点D,BEAC于点E,求证:DEBC.,证明:ABAC,ABCACB.又CDAB于点D,BEAC于点E,AEBADC90,ABEACD,EBCDCB,由AA
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