第4章+曲线和曲面.ppt

1、第4章曲线和曲面，4.1曲线和曲面的基础知识4.2常用残奥仪表曲线4.3常用残奥仪表曲面练习题，4.1曲线和曲面的基础知识，4.1.1曲线及其残奥仪表表示1 .残奥仪表曲线的分类曲线可分为规则曲线和拟合曲线(不规则曲线) 2种。 规则曲线是具有特定描述函数的曲线，例如直线或圆锥曲线。 2 .残奥仪表曲线的定义如图4.1所示，三维空间上连续的单一值残奥仪表曲线是三维空间上的有界点集，t=0和t=1分别定义为残奥仪表曲线的两个端点残奥仪表。 图4.1残奥仪表曲线及其几何量、3 .残奥仪表曲线的几何量以下的几何量模式图如图4.1所示。 1 )对于位置向量三维残奥仪表曲线，曲线的任何点的位置向量(即其

2、坐标)为P(t)=x(t) y(t) z(t )，2 )切割向量对于三维残奥仪表曲线，可以由向量P(t )表示的量值可以由残奥仪表描述对于一般的残奥仪表t为|dP/dt|0，对于弧长残奥仪表s，将通常向量t称为单位切线向量。 3 )设曲率弧长s为残奥仪表时，残奥仪表曲线上的任意点的曲率定义为k=|dT/ds|。 因此，=1/k称为曲率半径。 4 )法线向量上述讨论中的t是单位切线向量，dT/ds是垂直于t的向量。 设与dT/ds平行的单位向量为n。 对于空间中的残奥仪表曲线，所有垂直于切线向量t的向量都是法线向量。 因此，曲线上的某点有法线的束，它们在某平面上，将该平面称为曲线该点的法线平面，

3、将与向量n平行的法线称为曲线该点的主法线，将n称为单位主法线向量。 矢量积B=TN是垂直于t和n的矢量。 与向量b平行的法线称为曲线的副法线，b称为单位副法线向量。 t、n、b是相互正交的3个单位向量，构成该点的曲线的直角坐标系，在给定曲线的点决定3个基本方向。 通过曲线上的这个规定点，将由向量t和n张开的平面称为紧密平面，将由向量n和b张开的平面称为法线平面，将由向量b和t张开的平面称为化直平面。 5 )挠曲率以弧长s为残奥仪表的话，残奥仪表曲线的任意点的挠曲率定义为=|dB/ds|，反映了曲线在该点发生密切扭转的平面的速度。 对于平面曲线，确定曲线是平面曲线的充分条件是曲线上的任意点处的挠

4、曲率等于零，因为紧密平面是曲线所存在的平面，其子法线向量是恒定的，dB/ds=0。 对于非平面曲线，向量b不是常数，表示曲线在该点处的扭曲性质。 4 .在残奥仪表曲线的代数形式和几何形式以下的讨论中，以3次残奥仪表曲线为例。 三次残奥参数曲线的代数形式是x (t )=a3XT3a2XT2a1xta0xy (t )=a3y t3a2yt2a1yta0yz (t )=a3ZT3a2z t2a1zta0z，t 0，1。 因此，若a3、a2、a1、a0被确定，则该三维残奥仪表曲线也能够唯一地确定。 然后可以选择几何量(例如端点向量、切线向量、法线向量、曲率和挠曲率)作为条件来确定a3、a2、a1和a0

5、。 假设两个端点矢量分别为P(0)和P(1)，端点切线矢量分别为P(0)和P(1)，在下面确定a3、a2、a1、a0。由式(4-1)得到P(t)=3a3t2 2a2t a1 (4-2)，将上述已知的条件代入(4-1)式和(4-2)式，得到p(0)。 将能够根据上述方程组求出a0=p (0) a1=p (0) a2=-3 p (0)3p (1)-2 p (0)-p (1) a3=2p (0)的a3、a2、a1、a0代入式(4-1)而求出p (t )=(2t3-3t2) p0(因为可以写成=F1P0 F2P1 F3P0 F4P1 (4-4)，并且可以用F=F1 F2 F3 F4来写入，所以P=FB

6、可以表达为P=TMB，并且a=。5 .如重新残奥整参数化，如图4.2所示设几何系数矩阵为B1=Pi Pj Pi PjT、曲线的新残奥参数为w、这两个端点残奥参数分别为wi和wj、几何系数矩阵为B2=Ri Rj Ri RjT的端点位置向量不变，所以存在Ri=Pi、Rj=Pj。 为了确保曲线的切线矢量的方向不变，并且残奥仪表化的方程式仍为3次，w和t必定是线性关系，因为w=at b，通过对图4.2曲线进行重新残奥仪表化来求出，所以重新残奥仪表化后的曲线与原始曲线的几何系数的关系是6 .残奥仪表曲线由于w1-w0=1，因此将切断后的残奥仪表曲线的几何系数矩阵B=R0 R1 R0 R1T中R0=Pi、

7、r1=pjr0=-(ti-tj)Pir1=-(ti )的第I段的曲线的边界条件和残奥仪表设为Pi、pi， 如果用ti给出，则对于第I段曲线的再残奥仪表化后的几何系数矩阵，如果一个残奥仪表曲线被等分割为第n段曲线，即，残奥仪表变量的间隔相等，则第I段曲线的几何系数矩阵为3 ) 残奥仪表曲线的开关成为残奥仪表曲线的开关的已知的两个残奥仪表曲线的几何系数为B1和B2，B1， 将B2与新的残奥仪表曲线相连接，其中该几何系数为B3，并且由于B3的端点必须与B1和B2一致，因此存在P3(0)=P1(0)、p3(1)=，其中，B3的端点处的切线向量与B1和B2相同，即，由于，B3的几何系数矩阵必须对应于此此

8、外，我们称为曲线段之间的几何连续性，其中以下： (1)的位置通常是连续的，并且用G0表示，因为当曲线连接在一起时，应当满足连接点处的连接条件，以便实现整体平滑要求。 (2)倾斜度连续，用G1表示。 (3)曲率连续，用G2表示。 7 .有理残奥仪表曲线有理残奥仪表曲线是基于一次坐标(参照5.1.1节)的残奥仪表曲线。 由一次坐标空间定义的残奥仪表曲线可以写为P(t)=X(t) Y(t) Z(t) W(t)T，并指示如果一次坐标空间的交点映射到三维空间，那么对于任何不合理的残奥仪表曲线也可以增加W(t ) xw=a3XT3a2XT2a1xta0x yw=a3y t3a2y t2a1yta0yzw=

9、a3ZT3a2z t2a1zta0zw=a3w t3a2w2a1w0w (2)有理残奥仪多项式具有几何和透视投影变换的不变性。 (3)可以用有理残奥元多项式正确表现圆锥曲线、二次曲面，统一几何建模算法。 8、构造曲线的方法插值，近似是构造拟合曲线的重要方法。 1 )所谓内插是指规定的函数f(x )在区间a，b中相互不同的n个点(xi，f (xi ) ) (I=1，2，n )，将构成函数(x )并要求对f ()进行近似的(x )称为内插函数，将(Xi，f (Xi ) ) (I )此外，线性内插值是所给定函数f(x )的两个不同点(x1，y1)和(x2，y2)，代替函数f(x )而构建线性内插值函

10、数(x)=ax b近似。 由于可以根据插值定义确定系数a和b，所以线性插值函数与抛物线插值不同在于函数f(x )的三个不同点(x1，y1)、(x2，y2)和(x3， y3)，如果以与构成抛物线插值函数(x )相同的方式，根据插值的定义可确定系数a、b、c，则抛物线插值函数为：2)对通过插值方法构建的插值函数进行近似的次数与插值点的数量有关，如果插值点过多，则非常难以构建插值函数用近似方法构建的多项式函数与型值点的个数无关。 近似的方法很多，最常用的是最小二乘法。 4.1.2曲面及其残奥参数表示1 .曲面的分类曲面也分为规则曲面和适合曲面(不规则曲面)两种。 规则曲面是指具有定义的描述函数的曲面

11、，如旋转曲面(如圆柱体、圆锥体或球体)或螺旋面。 由离散特征点构造函数描述的曲面有时称为拟合曲面，有时称为自由曲面。 例如，Coons曲面、Bzier曲面、b样本曲面等。 2 .残奥仪表曲面的定义与曲线一样，曲面也具有显式、隐式、残奥仪表表示形式，而在计算机图形学中，残奥仪表曲面的计算机表示形式和结构更为方便。 如图4.4所示，矩形区域中的曲线边界所围绕的具有恒定连续性的单个值的片的残奥参数方程是例子，其中u和w是残奥参数。 图4.4表示记述残奥仪表块及其几何量、3 .残奥仪表曲面的几何量以下的几何量模式图。 1 )位置向量片中的任何点处的位置向量可由P(u，w)=x(u，w) y(u，w)

12、z(u，w )表示。 将补丁上的某一点的残奥参数分别设为ui和wj时，该点能够记作P(ui，wj )，能够简略记作Pij。 2 )一个角的矩形区域上的贴片的四个角分别是p (0，0 )、p (0，1 )、p (1，0 )、p (1，1 )，分别简记为P00、P01的3 )边界线一个矩形区域贴片的四条边界线分别是P(u，0 )、p (p w )，则分别简记为Pu0、Pu1、P0w)片上的一点Pij处的切线矢量的u切线矢量为Puij，w切线矢量为Pwij。 5 )法线矢量曲面贴片上的Pij中的法线矢量为N(ui，wj )，简称为Nij。 6 )补片上的一点Pij上的扭曲矢量的扭曲矢量为Puwij。

13、 4 .在残奥仪表曲面的代数形式和几何形式以下的讨论中，以二重三次残奥仪表曲面片为例。 双重三次残奥仪表补丁是由两个三次残奥仪表变量u、w定义的补丁，边界线是三次残奥仪表曲线。 其代数形式是可以用矩阵表示的P=UAWT，其中，图4.5是由边界残奥仪表定义的二重三次残奥仪表曲面，5 .残奥仪表曲面的再残奥仪表化如图4.6所示，图4.6(a )所示的补丁的残奥仪表区间是从ui到uj和从wk到w l 在图4.6的残奥仪表曲面的再残奥仪表化中，因为这两个片的位置不变化，所以角位置应当与Qik=Pik、Qil=Pil、Qjk=Pjk、Qjl=Pjl重叠。 为了保证重新残奥的贴片的残奥仪表方程式依然是二重

14、三次方程式，在u和t、w和v之间需要线性关系。 也就是说，6 .残奥仪表曲面的分割如图4.7所示，几何系数矩阵为B1，如果在其上分割子块，则几何系数矩阵为B2，子块的4个角： Q00=Pik，Q10=Pjk，Q01=Pil，Q11=Pjl。 如果t1-t0=1，v1-v0=1，则子补片的4个角的切线和扭转分别是图4.7残奥度量曲面的分割，7 .补片间的连续的构造曲面的情况下，多组合多张补片合成1张曲面。 为了满足整个曲面的平滑要求，必须在连接点处满足以下连续性要求： (1)位置连续，用G0表示。 也就是说，两个曲面片的连接边界必须一致。 (2)倾斜度连续，用G1表示。也就是说，两个曲面片在连接处的相切平面方向必须一致。 8 .曲面的平滑曲面通常由两个簇相交的网格线表示，如果空间网格线被平滑，则曲面被视为平滑。4.2常用残奥仪表曲线、4.2.1 Bzier曲线Bzier曲线是法国雷诺汽车公司工程师Pierre Bzier于1962年提出的，其目的是将函数近似与几何表现结合起来，使设计修订者可以自信地描绘在计算机上。 Bzier曲线广泛应用于各种CAD系统中。 当给出n 1个控制点的位置矢量pi (I=0