21.2.2 中职二项式系数的性质.ppt

1、杨辉三角和二项式系数性质,1.二项式定理：,2.通项规律：,3.二项式系数：,第(r+1)项,4.特殊地：,注:项的系数与二项式系数是两个不同的概念,令x=1得,把（a+b)n展开式的二项式系数取出来，当n依次取1，2，3，时，可列成下表：,(a+b)1,1 1,(a+b)2,1 2 1,(a+b)3,1 3 3 1,(a+b)4,1 4 6 4 1,(a+b)5,1 5 10 10 5 1,(a+b)6,1 6 15 20 15 6 1,上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角),1,在我国,很早就有人研究过二项式系数表,南宋数学家杨辉在其所著的详解九章算法中就有出现.,杨辉三角,九章算术,杨辉,

2、杨辉三角,详解九章算法中记载的表,类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角。在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.,(a+b)1 1 1 (a+b)21 2 1 (a+b)31 3 3 1 (a+b

3、)41 4 6 4 1 (a+b)51 5 10 10 5 1 (a+b)61 6 15 20 15 6 1,观察二项式系数表，寻求其规律：,不难发现,表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.事实上，设表中任一不为1的数为Cn+1r，那么它肩上的两个数分别为Cnr-1及Cnr，知道Cn+1r = Cnr-1+Cnr 这就是组合数的性质2.,除了这个性质外,该表还蕴藏有什么性质呢?,(a+b)n展开式的二项式系数依次是,从函数角度分析,二项式系数的性质,二项式系数的性质,（1）对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,这一性质可直接由公式 得到,图象的对称轴：,

4、二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由于：,所以 相对于 的增减情况由 决定,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,由：,二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。,可知，当 时，,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,（3）各二项式系数的和,二项式系数的性质,在二项式定理中，令 ，则：,（3）各二项式系数的和,二项式系数的性质,（2）增减性与最大值,当n为奇数时，,当n为偶数时，,例1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和,证明：在展开式 中 令a=1，b=1得,例2:求证：,证明：,倒序相加法,二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才是中间项，而系数最