自动控制原理4.ppt

1、2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,1,第四章根轨迹法,1.绪论部分 2.根轨迹法的基本概念与绘制条件 3.根轨迹的绘制法则 4.用根轨迹方法分析系统的暂态特性,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,2,1.绪论部分,由第三章可知，闭环极点完全决定了系统的稳定性，闭环极点和零点则决定了系统的品质。所以，如能确定闭环极点在S平面上的位置，则对控制系统的性能分析则意义重大。 由于闭环极点是特征方程的根，随着特征方程阶数的增大，求解困难（试探求法）。而开环传函由简单环节串联组成，零极点易确定，若能用开环极零点确定闭环极点在S平面的位置，并通过调节开环极零点位置改善闭环极零点位置，将使问

2、题更加简单。该方法为：,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,3,根轨迹法：根据开环极零点分布，当系统某参数由零变到无穷大，绘制出闭环特根在S平面上的相应的变化轨迹，由此来分析，系统的暂态响应，参数对暂态响应的影响，以及系统的综合与校正。这是一种图解方法。,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,4,2.根轨迹法的基本概念与绘制条件,基本概念 根轨迹的绘制条件 根轨迹的分类,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,5,一、基本概念,特征方程：s+2s+k*=0 特征根：,例1：单位反馈二阶系统,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,6,2020/8/12,自动控制原理-根轨

3、迹法,7,结论： 1、开环传函参数K*影响着闭环极点的分布。 2、随着K*的增大，系统响应经历着过阻尼 、等阻尼、欠阻尼。 3、K*与闭环极点，一一对应，进而可分析系统稳定性及其它各项性能指标。,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,8,二、根轨迹的绘制条件,特征方程： k(s)=0 根轨迹方程：k(s)= -1 （） 凡满足（）式的s都是根轨迹上的点，反之，根轨迹上的点也都满足（）式。（曲线与方程一一对应关系）则绘制其根轨迹条件应为：,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,9,代入（）式根： s=+j 则有,若用,、幅值条件： 、相角条件：,注意：,2020/8/12,自动控制原

4、理-根轨迹法,10,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,11,根轨迹以根轨迹放大系数Kg绘制,p110, 例 4-1,或,若,则根轨道放大倍数 与开环放大倍数 的关系为：,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,12,主根轨迹：0=Kg 的根轨迹（180根轨迹） 辅根轨迹：-=Kg0 的根轨迹 广义根轨迹：以除Kg 外的某一其它系统参数绘制的根轨迹 零度根轨迹：幅角条件是360的根轨迹 根轨迹族：几个系统参数同时变化构成的的根轨迹,3.根轨迹的绘制法则,一、根轨迹分类：,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,13,二、绘制根轨迹的一般法则(*),1 根轨迹的起始点和终止点 2

5、 根轨迹数和它的对称数 3 实轴上的根轨迹 4 分离点和会合点 5 根轨迹的渐近线,6 根轨迹出射角和入射角 7 根轨迹与虚轴交点 8 根轨迹的走向 9 放大系数求取值 10分离角与会合角,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,14,1.根轨迹的起始点和终止点,起点 Kg=0，由根轨迹方程()可知起点应从开环极点（或s=-pj）开始 终点 Kg=，同理，终点应在s=-zi（开环零点处），有多少个开环极点就有多少个起点，零点也一样，只不过由于n-m0，所以零点将有n-m个在无穷远处,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,15,.根轨迹数（分支数）和它的对称数,分支数等于开环极点数n（

6、特征方程阶数）,由实系数特征方程知，特征根不是实根，就是共轭复根，故根轨迹一定对称于实轴,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,16,.实轴上的根轨迹 由轴上某个区段，若它的右侧开环零极点总数 为奇数，则该区段为一根轨迹分支 由辐角条件可知：,特征根S左侧开环零极点对开环传函的幅角没有贡献 P112，而右侧的每个开环零极点都引起180的辐角变化，所以右侧零极点总数为奇数个时恰好能满足辐角条件。,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,17,4.分离点和会合点,分离点：由实轴分离 进入复平面的点。 两极点间 会合点：复平面汇合进入实轴上的点。 两零点间 这时的特征方程出现重根。 重根即

7、代表了分离点，会合点的位置,(1)解析法 设闭环系统特征方程为： 法1,，其根为 ； 若有重根将使,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,18,由此可知,代入特征方程有： 可求出重根：,法2 实根中的 对应的 是 从零到 中最大的，故也可通过对 求导 求得分离点和会合点。（求后验证 ）。,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,19,验证：由于 不存在根轨迹，故不是分离点。而 不仅属于-1，0且能使 ， 使 注：此方法对求复平面上的分离，会合点也有效。,例2. 试求实轴上的分离点。 根轨迹方程,即,求得,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,20,(2)图解法：,-p2,-p3

8、中有一分离点d，满足相角条件：,设三阶系统零极点分布图如下图,S1为靠近d 轨迹上一点，满足相角条件：,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,21,二式比较得：,如上例有,更一般的：,验证后，d1为真,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,22,5、根轨迹的渐近线,时系统有n-m条根轨迹趋于无穷远处，成为一条直线，即根轨迹渐近线。,（1）倾角：开环有限零极点到无穷远特征根矢量辐角都相等 ， 即由幅角条件 只有n-m个，以后重复出现 （2）与实轴交点：开环有限零极点到无穷远处的特征，根Sk的矢量长度相等，对Sk而言开环零极点汇集成一点 ,即,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法

9、,23,根轨迹渐近线方程为：Wk(s)=1,证明:,s时原式趋近于,其中,即,整理上式为：,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,24,令S=+j 代入得,于是,记为,令=0则有,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,25,起终点:0,-1,-2,- 实轴分支：-1,0 -2,- 分离点：d=-0.422 渐近线：a=(0+(-1)+(-2)-0)/(3-0)=-1, a=(2k+1)/(3-0)=60,180,300,-60,例3,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,26,出射角：根轨迹离开开环复极点的切线方向与实轴正向夹角。 入射角：根轨迹进入开环复零点的切线方向与实轴

10、正向夹角。,6、根轨迹出射角和入射角,（1）定义,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,27,开环(零)极点-pl,(-zl)附近的根轨迹上取一点s1，则当s1-pl时，s1与-pl所构成的矢量相角就是-pl的出射角sc，对应零点为入射角sr。 由相角条件:,（2）计算,并用 代替 则,出射角,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,28,-zl入射角,例4、绘制根轨迹,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,29,法一：有特征方程: 1+Wk(s)=0 有 Re(1+Wk(s)=0 Im(1+Wk(s)=0 若令s=j代入上二式便可求解,Kg. 如例2, 特征方程为,7、根轨迹

11、与虚轴交点：,令s=j代入得,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,30,法二：由劳斯表中知，若有根为纯虚根，表中某行全为零。,令 由辅助方程 得:,8.根轨迹的走向,当特征方程阶次n-m=2时，根轨迹呈现发散性质，一些分支右行时，另一些分支必左行，偏向S平面右半部分。这一点可由根的特性说明：,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,31,9.放大系数求取值 由幅值条件，根轨迹上某点放大系数为：,特征方程,它与开环放大系数的关系为,各特征根之和为常数！,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,32,108 36 -180 -108 -36,10、分离角与汇合角 分离角：根轨迹离开

12、分离点的切线方向与实轴正向夹角。 汇合角：根轨迹进入汇合点的切线方向与实轴正向夹角。,为分离点根轨迹数。,例5,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,33,解：（1）分支数：4个 (2) 起点：-p1=0,-p2=-1+j,-p3=-1-j,-p4=-3 终点：全在无穷远处。,(3) 实轴上根轨迹：-3，0,（4）渐近线,例6 绘制根轨迹,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,34,matlab绘制根轨迹图,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,35,(5)分离点 1/d +1/ (d+3) +1/(d+1-j)=0 试探得 : (6)出射角 (7)与虚轴交点:由特征方程s(

13、s+3)(s+2s+2)+k=0 代入s=j得 (8)走向 (9)放大系数 (10)分离角:90,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,36,例7 绘制右图以Kp为参变量的根轨迹 解：,Y(s),令 Kg=0.6Kp 开环 （1）起点，-0.25,-1 终点：-1.67,- （2）分支数:2 （3）实轴根轨迹:-1,-0.25,-,-1.67 （4）渐近线:(2k-1)/(2-1)=180,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,37,（5）实轴交点: （6）走向：复平面根轨迹是一以开环零点-1.67为圆心， 以-1.67为分离点-0.695的距离为半径的圆,证：用s=+j代入特征方

14、程 由相角条件: 整理后得 (+1.67)+=0.9514,结论；任意带一开环零点的二阶系统，若复平面存在根轨迹，则它一定是一个以开环零点为圆心的圆或圆的一部分。,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,38,二阶系统 三阶系统 具有复极点的四阶系统 延迟环节（时滞环节）系统,三、典型自控系统根轨迹,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,39,1.二阶系统 其中Kg=Kk/T 标准二阶系统: (1)起终点 (2)实轴 (3)分离点:-1/2T (4)渐近线：90，-1/2T 由(2)式知二阶系统特征根在S平面的位置,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,40,由幅值条件,2.开

15、环具有零点二阶系统,复平面根轨迹可由幅角条件证明是个圆，这样增加零点改变了 系统品质。,等线,等频线,对(1)式若要,工程最佳,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,41,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,42,3.三阶系统 二阶系统再加一个极点 (1)起终点 (2)分支数 (3)实轴上 (4)分离点 a=4时 (5)渐近线 a=4 时 (6)与虚轴交点,结论；二阶系统附加极点Kg根轨迹将穿过虚轴系统趋于不稳定,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,43,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,44,(1)起终点，分支数，实轴 (2)渐近线:90 (3)取d=4T,=

16、1/2 作 =1/2的阻尼线 与根轨迹交点: 由代数方程:R1+R2+R3=p1=1/T 得-R3=-1/(2T),4.开环具有零点三阶系统：,二阶加一极点一零点,其中Kg=K/TiT z1=1/d p1=1/T,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,45,三阶工程最佳,（4）,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,46,(1)起终点，分支数， 实轴上 (2)渐近线 =-60，180，-k=-1 (3)出射角 sc1=-26.6 (4)与虚轴交点 s=j1.61 , (5)由根与系数关系:,5.具有复极点的四阶系统,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,47,对系统稳定性不利

17、 (!=0滞后时间常数) 根轨迹方程 特征根 幅值条件: 辐角条件: 特点：特征根无限多个，根轨迹分支数无限多条。,6.延迟环节（时滞环节）系统,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,48,（1）当|s|很小时 绘制方法同前 （2）当|s|较大时 起点: pi,-, 终点;-zi,+ 分支数:无穷多条，对称性：对称于实轴。 实轴上；由 =0 可知绘制规则不变 分离汇合点；仍可按dKg/ds=0计算 渐近线：当Kg时，所有有限开环零极点到的矢量幅角都等于0，故渐近线为水平线。由幅角条件知 （2k+1）-=0与虚轴交于=(2k+1)/,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,49,出射角

18、与入射角,与虚轴交点：令s=j由幅角条件求得l,当Kg=0时-所有有限开环零极点到矢量幅角都等于，故渐近线仍为水平线只是交点由 (2k+1)-=(m-n)，,|m-n|为奇数, |m-n|为偶数,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,50,复平面上的根轨迹（作图法）； k=0时如一阶系统,或 取=1时，从-1/T点做一倾角为 斜线，交于 水平线，交点为一特征根 ，取全 0区间得一组特征根并画出一支根轨迹，对称实轴画出另一支,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,51, k=1 时，渐近线不同,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,52,四、零度根轨迹,1，概念： 非最小相位系

19、统：凡是在S平面右半平面有开环零极点的系统，与之相反称为最小相位系统。产生零度根轨迹原因:,非最小相位系统中包含有最高次幂的系数为负的环节 系统中有正反馈内环。 幅角条件满足2k(k属于Z) 的根轨迹称为零度根轨迹。 其幅值条件不变。,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,53,绘制规则（与常规根轨迹相比） 实轴上根轨迹只能出现在其右侧开环零极点 总数为偶数的区段上 渐近线 =2k/(n-m) k=1,2,n-m-1 出射角 入射角,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,54,分离角,其他规则不变，,例8,汇合角,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,55,例9,2020/8

20、/12,自动控制原理-根轨迹法,56,五、广义根轨迹,它是指以某非Kg作为系统参数变化时得到的根轨迹。 具体的做法为：由闭环系统特征方程式KgN(s)+D(s)=1 整理出研究的参数根轨迹方程式,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,57,关于Ta的根轨迹方程为 则新的开环传函应为,例10,闭环极点保持不变而零点变了。,Ta闭环极点左移,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,58,例11,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,59,4.用根轨迹方法分析系统的暂态特性,在根轨迹上确定特征根 用根轨迹法分析系统的暂态特性 在根轨迹上由性能指标确定调整参数,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,60,一、在根轨迹上确定特征根,试探法：已知Kg，先找一试点So求得它的Kg=(L1L2Ln)/(L1L2lm)，使 Kg=kg,便定出So。 n-m=3系统,先找到实根(实轴上),再用韦达定理去求复根.实根仍要用作图法.,2020/8/12,自动控制原理-根轨迹法,61,二、用根轨迹法分析系统的暂态特性,1,闭环主导极点:暂态过程主要决定于离虚轴较近的极点,当极点实部相差5倍以上时,远离虚轴的极点可被忽略.(对零点也适合) 2,闭环极点位置变化时对暂态过程的影响(P135-p1,-p2负实闭环极点一对复极点,n不变变,