1.5.3定积分的概念

1、选修课：1.5定积分的概念，带曲边的梯形面积，魏晋(公元3世纪)著名数学家刘辉的“切圆法”，是一种用内切圆或外接圆计算圆的面积和周长的方法。他用割线圆法科学地得出圆周率=3.14的结果。刘辉认为切割是好的，失去的很少。如果你把它切了又切，这样你就不能再切了，它会和圆圈吻合，不会有任何损失。这可以说是中国古代极限概念的杰作。南北朝数学家、天文学家祖宣在计算球体体积公式的过程中，提出了“幂势相同，积不能不同”的原则，这也体现了积分思想。极限是微积分的基础。在中国古代的作品中，常常会产生极限的思想火花，如“一日之计，半日之计，天下之不竭”，这是一种深刻的极限思想。返回，圆的面积，r r=r2，球的表

2、面积，弯曲梯形：在笛卡尔坐标系中，由连续曲线y=f(x)，直线x=a，x=b和x轴包围的图形称为弯曲梯形。O，x，y，y=f (x)，x=a，x=b，如何计算弯曲梯形的面积？直线，如何找到阴影区域？由几条线段组成的虚线。用直线代替点P附近的曲线，也就是说，在点P附近，曲线可以被视为直线(即，在小范围内是直线而不是曲线)。放大，然后放大。方案1，方案2和方案3，对于任何具有小弯曲边的梯形，将“弯曲边”替换为“直边”(即，在小范围内是直的而不是弯曲的)，有方案2，方案1和方案4，使用矩形的面积S1近似替换弯曲梯形的面积s，y=f(x)，方案1，使用两个矩形的面积近似替换弯曲梯形的面积s，方案1，使

3、用四个矩形的面积近似替换弯曲梯形的面积s。曲线梯形被分成N个小曲线梯形，小曲线梯形的面积被小矩阵的面积代替，所以曲线梯形的面积约为、用直线代替曲线，并无限逼近。第一种方案的划分越精细，面积的近似值就越精确。当分割无限细化时，这种近似无限接近具有弯曲边缘的梯形的区域s。以下是“以直线代替曲线”的具体计算操作过程，即：方案一、例一。计算由抛物线y=x2、直线x=1和X轴包围的弯曲梯形的面积。方案1，步骤1，步骤2，步骤3，步骤4，标题，(1)分割，将区间0和1分成N个单元，并使X轴的垂直线穿过每个区间的端点，从而获得N个具有小曲线边的梯形，它们的面积被记录为方案1，步骤1，步骤2，步骤3和步骤。可

4、以认为函数f(x)=x2的值变化很小，大约等于一个常数， 但是可以认为它近似等于左端点的函数值，也就是说，弯曲梯形的弯曲边近似被平行于x轴的直线段代替，因此小矩形的面积si在区间内近似被si代替，也就是说，在局部小范围内(3)求和得到S的近似值，方案1，步骤1，步骤2，步骤3，步骤4，标题； (4)取极限，方案1，步骤1，步骤2，步骤3，步骤4，标题，分割，用直线代替曲线，求和，取极限、分割越细，面积的近似值越精确。当分割无限细化时，这种近似无限接近具有弯曲边缘的梯形的区域s。以下是“以乐代直”的具体计算操作过程，即：方案1、方案2、方案3。对于任何有小曲线边的梯形，用“直边”代替“曲线边”(

5、即在小范围内，用直边代替音乐)，有如下四种方案。，方案2，方案1，方案4，探索，在“近似替换”中，如果我们认为函数f(x)=x2的值在面积上近似相等，(i=1，2，n)，并且函数值在右端，我们能找到s的值吗？方案2，如果可以的话，这个值还是吗？课堂练习：函数f(x)x在区间中，上()和下()的值。f(x)值变化不大。f(x)变化很大。f(x)不变。当n较大时，f(x)的值变化很小，这近似地取代了()。当计算由抛物线y=x2和直线x=和y=包围的平面图形的面积时，间隔0，2被等分成N个单元，那么第I个间隔是()。课堂练习：函数f(x)在区间内，只能是左端点的函数值f(xi)，也可以是。它只能是右

6、端点的函数值f (xi 1)。5.找出被抛物线y=1 x2、直线x=0、x=1和y=0包围的弯曲梯形的面积。课堂练习：(1)分割，将区间0，1分成n个单元：使x轴的垂直线穿过每个区间的端点，然后得到n个有小曲线边的梯形，其面积分别记为：(2)近似代换(用直线代替曲线)，解法：5。求抛物线y=1 x2，直线x=0，x=1课堂练习：(3)求和，(4)取极限，(1)、(2)和(3)对于任何有小曲线边的梯形，用“直边”代替“曲线边”(即在很小的范围内，用直边代替曲线)。有以下四种方案：“用直线代替曲线”。方案3，方案4，思维，在“近似代换”中，如果我们认为函数f(x)=x2在(i=1，2，n)之间的区域，方案3，如果我们能，这个值还是吗？将任何地方的函数值作为近似值。情况怎么样？近似替换：求和：取极限：并记录和划分：找到近似区域“以直线代替音乐”的步骤：理解和感受“以直线代替音乐”和“以不变代替一切变化