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文档简介

1、两个向量的数量积,一、共线向量:,零向量与任意向量共线.,若P为A,B中点, 则,2.共面向量定理:如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要 条件是存在实数对 使,推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使 或对空间任一点O,有,平面向量的夹角：,平面向量的数量积的定义：,即,新 授,一、几个概念,1） 两个向量的夹角的定义,夹 角 的 顶 点 为 两 个 向 量 的 起 点,不同在任何一个平面内,平移到一个平面内,锐角或直角,直角,3）两个向量的数量积,注意： 两个向量的数量积是数量，而不是向量. 零向量与任意向量的数量积等于零。,数量积 等于 的长度 与 在

2、 的方向上的投影 的乘积。,B,A,注意：是轴l上的正射影,A1B1是一个可正可负的实数，它的符号代表向量与l的方向的相对关系，大小代表在l上射影的长度。,4）射影,二、.空间向量的数量积性质,注意：性质2）是证明两向量垂直的依据； 性质3）是求向量的长度（模）的依据； （）性质5是求两个向量夹角的依据；,对于非零向量 ，有：,三.空间向量的数量积满足的运算律,注意：,课堂练习,三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：l,分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。,l,要证l与g垂直，只需证lg0,而m，n不平行，由共面向量定理知，存

3、在唯一的有序实数对(x,y)使得 g=xm+yn,要证lg0,只需l g= xlm+yln=0,而lm0 ，ln0,故 lg0,三、典型例题例1：已知m,n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且lm，ln，求证：l,证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使,g=xm+yn, lg=xlm+yln lm=0,ln=0 lg=0 lg 这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l,数量积的应用（一）求线线角,变式,设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满

4、足 则BCD是 ( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.不确定,C,例3已知在平行六面体中，, , 求对角线的长。,A,数量积的应用（二）求线段长度,例4 如图，已知线段在平面 内，线段 ，线段 ，线段， ，如 果，求、之间的距离。,解：由，可知. 由 知 .,课堂练习,1.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,则AB1与C1B所成角的大小为( ) A. B. C. D.,B,30,(2，2),数量积的应用（三）证明垂直,在正方体AC1中 A1B1面BCC1B1且BC1 B1C B1C是A1C在面BCC1B1上的射影,证明：,同理可证， A1CB1D1,由三垂线定理知 A1CBC1,结论:正方体的对角线与每个面中与之为异面直线的对角线垂直,小 结： 到目前为止，我们可以利用

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