3.2.1圆的对称性(垂径定理).ppt

1、圆对称性(1)垂径定理,九年级数学(下) 第三章 圆,3.2,圆的对称性,3.2 圆的对称性,？,复习提问：,1、什么是轴对称图形？我们在直线形中学过哪些轴对称图形？,如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形,圆是轴对称图形吗？,如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？,你是用什么方法解决上述问题的?,圆是轴对称图形.,圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.,可利用折叠的方法即可解决上述问题.,3.2 圆的对称性,O,A,C,B,N,M,D,圆是轴对称图形，,经过圆心的每一条直

2、线都是它的对称轴。,O,A,C,B,N,M,D,或： 任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。,任意一条直径都是圆的对称轴（ ）,练习1.判断题 (1)直径是弦 . (2)过圆心的线段是直径. (3)半圆是弧 . (4)两个半圆是等弧. (5)面积不等的两圆不是等圆. (6)长度相等的两条弧是等弧.,（）,（）,（）,（）,（）,（）,看一看,AEBE,AEBE,AM=BM,垂径定理,AB是O的一条弦.,你能发现图中有哪些等量关系?与同伴说说你的想法和理由.,作直径CD,使CDAB,垂足为M.,下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么?,由 CD是直径, CDAB,题设,结论,如图,小明的理由

3、是:,连接OA,OB,则OA=OB.,在RtOAM和RtOBM中,OA=OB，OM=OM，,RtOAMRtOBM.,AM=BM.,点A和点B关于CD对称.,O关于直径CD对称,当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,垂径定理,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.,题设,结论,（1）直径 （2）垂直于弦,（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,垂径定理三种语言,定理: 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.,老师提示: 垂径定理是圆中一个重要的结论,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,CDAB,如图 CD是直径,AM=BM,在下列

4、图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧,如图，已知在O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求O的半径。,E,解：连结OA. 过O作OEAB，垂足为E， 则OE3厘米，AEBE。 AB8厘米 AE4厘米 在Rt AOE中，根据勾股定理有OA5厘米 O的半径为5厘米,练习,课题：垂直于弦的直径(2),垂径定理的推论,M,O,A,C,B,N,直线MN过圆心 AC=BC,MNAB,弧AM=弧BM 弧AN=弧BN,探索一：,结论：,推论1. (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,O,A,B,M,N,一个圆的任意两条直径总是互相平分，但是它们不一定

5、互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。,推论1. (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,C,D,M,O,A,C,B,N, MNAB AC=BC,直线MN过圆心O,弧AM=弧BM 弧AN=弧BN,探索二：,推论1:(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;,M,O,A,C,B,N, MNAB AC=BC 弧AM=弧BM,直线MN过圆心O 弧AN=弧BN,探索三：,推论1:(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧。,C,D,A,B,M,T,E,F,G,H,N,P,错在哪里？,等分弧时一定要作弧所夹弦的垂直平分线。,作

6、AB的垂直平分线CD。,作ATBT的垂直 平分线EFGH,你可以写出相应的命题吗?,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件, 就可推出其余三个结论., CD是直径, AM=BM, CDAB,垂径定理的逆定理,垂径定理及逆定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分

7、弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦., CD是直径, AM=BM, CDAB,垂径定理的推论2,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?,老师提示: 这两条弦在圆中位置有两种情况:,垂径定理的推论 圆的两条平行弦所夹的弧相等.,讲解,如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等.,推论2.圆的两条平行弦所夹的弧相等。,挑战自我画一画,如图,M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.,C,D,A,B,E,例：平分已知弧AB,已知：弧AB,作法：, 连结AB.,作AB的垂直平分线 CD，交弧AB于点E.,点E就是所求弧AB

8、的中点。,求作：弧AB的中点,挑战自我画一画,C,D,A,B,E,F,G,变式一： 求弧AB的四等分点。,m,n,C,A,B,E,变式二：你能确定 弧AB的圆心吗？,m,n,D,C,A,B,E,m,n,O,你能破镜重圆吗？,A,B,A,C,m,n,O,作弦ABAC及它们的垂直平分线mn，交于O点；以O为圆心，OA为半径作圆。,破镜重圆,A,B,C,m,n,O,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧。,作图依据：,判断,垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( ),弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 ( ),圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( ),平分弦的直径垂直于

9、弦,并且平分弦所对的两条弧 ( ),圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）,挑战自我 填一填,（6）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。,（7）平分弦的直线，必定过圆心。,（8）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这 条直线垂直这条弦。,挑战自我 填一填,(9)弦的垂直平分线一定是圆的直径.,平分弧的直线，平分这条弧所对的弦.,弦垂直于直径，这条直径就被弦平分.,挑战自我 填一填,2.已知：如图,O 中,弦ABCD,ABCD, 直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F. 图中相等的线段有 : . 图中相等的劣弧有: .,挑战自我 填一填,3、已知：如图，O 中， AB为 弦，C 为 弧AB 的中点

10、，OC交AB 于D ，AB = 6cm ， CD = 1cm. 求O 的半径OA.,挑战自我 做一做,4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.,M,N,挑战自我做一做,5. 已知：AB和CD是O内的两条平行弦，AB=6cm，CD=8cm，O的半径为5cm，,（1）请根据题意画出符合条件的图形,（2）求出AB、与CD间的距离。,（1）,（2）,挑战自我 做一做,解：（1）,OAB+ AOC=90,挑战自我 做一做,解：（2）,挑战自我 做一做,小结:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理

11、创造条件。,已知：AB是O直径，CD是弦，AECD，BFCD 求证：ECDF,挑战自我再上新台阶,回味引伸 垂径定理及其推论1的实质是把(1)直线MN过圆心; (2)直线MN垂直AB; (3)直线MN平分AB; (4)直线MN平分弧AMB; (5)直线MN平分弧ANB 中的两个条件进行了四种组合,分别推出了其余的三个 结论.这样的组合还有六种，由于时间有限,课堂上未作 进一步的推导,同学们课下不妨试一试.,课堂小结： 本节课探索发现了垂径定理的推论1和推 论2,并且运用推论1等分弧。 要分清推论1的题设和结论,即已知什么条件,可推出什么结论. 这是正确理解应用推论1的关键; 例3是基本几何作图,会通过作弧所夹弦 的垂直平分线来等分弧.能够体会转化思想 在这里的运用.,圆的相关概念,圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧(arc