让数学思想贯穿数学教学课堂.ppt

1、让数学思想贯穿于数学课堂教学,沅陵县教师进修学校 赵 勇 2015年12月26日,课改的背景：,现在还在中小学念书的孩子，未来可能从事的工作，有六成都还没有“被发明”。现在成人们帮孩子准备的工作能力，等到他们二十五岁时，工作可能已经消失。当代社会，科技推陈出新，知识的生产与淘汰，以十倍于过往的速度前进；媒体网络信息爆炸，价值多元而混乱全世界都在寻找，传统教育体系该如何教导下一代面对一个完全无法“准备”的未来。,创新决定价值：以iPod为例,创造发明,设计图纸,生产加工,中国的可持续发展之路,从中国制造 到中国创造,国家发展战略_2020基本实现教育现代化,2007年10月： 十七大确立“优先发

2、展教育，建设人力资源强国”战略。,2010年5月6日：,课程改革的着力点,课程改革的核心是改善学习,课程改革走到今天，不管是校长还是教师，聚焦点是在学生的学习。 教育教学质量取决于学生的学习质量。 提高学习质量是教师的主要工作。 如何实现学生高质量学习成为教师研究和成长的主题。,什么是高质量学习,描述性定义：高水准的学习环境、高适配的学习方式、高价值的学习过程、高水平的学习结果、如果基本达到这四点，就是高质量学习。 高质量学习属于科学范式。,义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。 课程基本理念 之一：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发

3、展。 课程总目标：知识技能、数学思考、问题解决、情感态度。 总目标的这四个方面，不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。在课程设计和教学活动组织中，应同时兼顾这四个方面的目标。这些目标的整体实现，是学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义。数学思考、问题解决、情感态度的发展离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。,标准（2011版）关于课程的总目标中指出：“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。” 把数学教学中的 “双基”：基础知识与基本技能；发展为“四基”：基础知识、基本技能、基本思想和基本活动经验。 即通过

4、数学教学达到以下要求：掌握数学基础知识；训练数学基本技能；领悟数学基本思想；积累数学基本活动经验。,双基教学的历史贡献是巨大的，是我们国家教育的一个重要特色，这造就了我国的学生在一些测试中取得优异的成绩，同时也有人认为，这也让我们的学生成为全球最优秀的“学习者”。 以往的教学只注重培养学生分析问题的能力和解决问题的能力。（创新能力得不到发展） 缺乏发现问题的能力 对学生而言，发现问题更多地是指发现了书本上不曾教过的新方法、新观点、新途径以及知道了以前不曾知道的新东西。 缺乏提出问题的能力 将某些问题用数学语言表达出来的能力，核心在于数学的抽象、建模的相关能力。,在发现问题的基础上提出问题，需要

5、逻辑推理和理论抽象、概括。 在错综复杂事物中抓住问题的核心进行条分缕析的陈述，并给出解决问题的建议，而不是一件简单的事情。 提出问题的关键是能够认清问题、概括问题。将现实问题抽象出数学模型，这其中就运用了数学最基本的思想。,何谓数学的基本思想？ 它的内涵是什么？ 这和以前常常提到的数学思想方法、数学方法的教学有什么联系和区别？ 中小学阶段的数学的基本思想主要有哪些？ 如何体现在教材中？ 又应怎样渗透在教学中？,一、基本数学思想概述,1. 数学思想的基本内涵 谈到数学思想，人们很容易想到数学思想方法，而且容易将数学思想和数学思想方法发生混淆。 通常认为，在中小学数学中，数学思想方法具体表现为三个

6、不同的层次： 解决具体问题的思想方法，如消元法、代入法、配方法和待定系数法等；,逻辑方面的思想方法，如分析法、综合法、演绎法、归纳法和类比法等； 一般性的数学思想方法，如公理化思想方法、数学模型化思想方法等。 在小学阶段，数学思想方法主要有符号化思想、化归思想、类比思想、归纳思想、分类思想、方程思想、集合思想、函数思想、一一对应思想、模型思想、数形结合思想、演绎推理思想、变换思想、统计与概率思想等等。 这些都是数学思想方法，而不是基本数学思想。 基本数学思想应该是普适性的、一般性的、数学学科特有或者比较突出的思想。,数学的基本思想，是数学产生和发展所必需依靠的、必须依赖的思想，同时也是学习过数

7、学的人应当具备的思维特征，这些特征表现在人们分析和解决日常生活问题的过程当中。 较为复杂的是有时数学思想、数学方法是交融在一起的。 标准（2011版）将基本数学思想界定为抽象思想、推理思想和模型思想。 当然审美的思想、分类的思想、无穷的思想等还有其他的数学思想。,1) 抽象思想，是指数学从现实的材料中抽象出数量关系和空间形式进行研究，而不是研究现实世界的具体存在的事物本身。 数学研究的是抽象了的对象。 通过抽象，“人们把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的对象”。,2）推理思想，是指从一个命题或者判断到另一个命题或者判断的思维过程。 当命题或者判断的内涵之间具有某种传递性的推

8、理叫做逻辑推理。 通过推理，“人们得到数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展”，促进了数学自身的发展，构建了数学的大厦。,3) 模型思想，是指运用数学的语言、知识和思想去研究和描述现实世界的典型问题的内部规律。 通俗的说，数学模型思想就是用数学来讲述的现实生活中典型问题的数学故事，是数学应用的一种表现形式。 数学模型使数学走出数学的内部世界，是构建数学与现实世界的桥梁，让数学产生了巨大的社会效益，反过来又促进了数学学科本身的发展。,2. 数学思想的价值 数学思想是数学发生、发展的根本，也是数学精髓以及数学内容价值的核心体现，是一种观念形态的策略创造。 数学思想指引人们如何用数学的眼光、数学的

9、方法去透视事物、提出概念、解决问题。 它又能培养人们的抽象思维能力、逻辑推理能力和数学应用能力，进而激发灵感、诱发创造。,个人的数学修养不仅仅表现在他所知道的数学结论和他能解多少题，更表现在他对数学精神思想的领会和潜意识的使用。 正如日本著名数学教育家米山国藏所说，“我搞了多年的数学教育，发现学生们在初中、高中阶段学习的数学知识离校后不到一二年，便会很快忘光了。然而，无论他们从事什么工作，唯有深深铭刻于头脑中的数学精神、数学思维方法、研究方法却随时的发生作用，使他们是受益终生”。 数学正是以独特的思想，养育着一代又一代的辛勤的人们，让我们有更坚强的意志、更敏锐的眼光和更先进的工具创造美好幸福的

10、生活。,二、 数学思想的教学,1. 数学思想只有同具体的知识相结合才有 价值。 用具体的知识来分析和解决问题，数学思想才能发挥其在认识论、方法论上的价值。 学生学习数学思想，不能仅仅学习数学思想本身的概念和含义，而是要同具体的知识相结合，在分析问题、解决问题中体验和领悟。,2. 应当遵循渗透性原理。 即在具体知识的教学中，通过精心设计的学习情境与教学过程，着意引导学生领会蕴含在其中的数学思想，使它们在潜移默化中达到理解和掌握。 具体地说，数学思想的教学，要在数学概念的建构、数学结论的发现与证明、数学解题思路的寻找中融入，用数学思想来分析和解决问题。,3.在反复回顾中体会要义。 数学思想的领会和

11、掌握只能遵循从个别到一般、从具体到抽象、从感性到理性、从低级到高级的认识规律。 从一个较长的学习过程看，学生对每种数学思想的认识都是在反复理解和运用中形成的，其间有一个由低级到高级的螺旋上升过程。,因此，每使用一种数学思想之后，教师要提醒学生“思想的名字和含义”，让学生有个清楚的认识，并且让学生回顾使用的过程，在过程回顾中加深体会、促进领悟。 对同一数学思想，应该注意其在不同知识阶段的再现，在不同问题和不同阶段的教学中屡次出现，每次都有不同的形式，也有层次上的深浅，以加强学生对数学思想的认识。,4. 在解题运用中加以巩固。 数学思想比数学知识更抽象，不能照搬、复制。学生在学习数学知识过程中，根

12、据自己的体验、用自己的思维方式构建出数学思想的含义。 作为深层次的数学知识，作为潜隐层次的能力，思想只有在实践运用中才能真正掌握和提高。与其告诉学生一百遍名字，不如让学生在实际练习中体会一次。 特别是在解题中，要让学生多分析多思考，在运用数学思想中发展数学的思维能力，进而发展灵活运用数学知识解决问题的一般能力。 不喜欢解数学题的人，谈不上真正的喜欢数学。,三、中小学数学的抽象思想,抽象的含义 数学和其它科学一样，都具有抽象性，即“数学和其它科学都是把物体现象生活的一个方面抽象化”。 化学只保留化学特性（以原子为最小的研究单元，在化学变化中原子是不变的，化学反应是原子间的组合）； 物理学只研究物

13、质的物理特性，如运动的规律性、导电导热性、延展性和光电磁力特性。,数学研究从具体内容中抽象出来的形式、结构和数量关系。也就是说，数学是在纯粹状态下以抽象形式出现的理想化的各种模式。 对此，怀特海曾有精辟的概括，“数学是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行的研究”。 数学中的高度抽象具有以下特征,第一，数学的抽象只保留了数量关系和空间形式，舍弃了其它的一切。 数学是在人类生产生活的实际需要中产生和发展的，人们从5个手指头、5只羊、5个人、5步远、5个人高、5个白天等物体个数、长度、高度、时间等现实概念中抽象产生了数字5，用它来表示一类量。 由于要建造房屋等生活设施，人们要量地的长宽、测量物体

14、的长宽高等，从物体的具体形状中逐渐抽象出点、直线、线段、三角形，长方形，长方体和圆等几何概念。,人们除了从现实生活和生产实践中抽象概念和运算外，还从数学结构出发，抽象出新的概念和运算法则，通过逻辑推理来建构新的数学，比如复数和非欧几何（罗氏几何（罗巴切夫斯基）、黎曼几何）。 所以说，数和形的概念来自于人们对现实世界具体对象的抽象概括。,第二，数学的抽象逐级上升。较高层次概念是较低层次概念抽象的数学结果。 数学是在整数的概念、几何图形的概念等原始概念的基础上修建的一座大厦： 在整数概念的基础上形成分数、小数、有理数、无理数、实数、复数、函数、微分积分、泛函数等概念；,在点线面体等基本几何概念的基

15、础上，形成2维空间、3维空间、n维空间以至无穷维空间；抽象有理数集中的加法、乘法，产生群的概念和运算； 由整除的概念产生同余，由同余得到子群；。 数学的后次抽象接纳了前次抽象的数学关系，因而，后次抽象与前次抽象并不矛盾，而是比前次抽象的内涵更加丰富。,第三，抽象是数学研究的基本方法。 数学研究的是抽象的概念以及它们间的相互关系。不仅研究的对象是抽象的，而且抽象也是一种基本的研究方法。 自然科学家为了得到结论，常常借助于实验的结果和数据的测量，观察和实验是自然科学家的主要研究方法。,数学则不同，要得到可接受的数学事实，必须以基础概念、公理、推论作为依据，用计算和推理的方法得来。 数学的结论，实验

16、次数再多，也不能被认为是数学中的结论。 量1000次三角形的内角和为180度，也不能成为数学中的结论。用推理证明的方法，得出的结论才是数学中的结论。 不仅数学的概念是抽象的、思辨的，数学研究的方法计算、推理、证明也是抽象的、思辨的。,第四，数学抽象极致性的表现之一是数学语言的形式化。(创始人：希尔伯特） 数学语言，是由各种数学符号按一定规则组织起来的，它是记录数学活动成果的工具。 数学正是靠数学语言的符号体系，来把握数学对象的结构和规律，将现实问题转化为形式符号来研究。比如“勾股定理”“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”用数学语言描述为，“在RtABC中，若C=90，则AC2+BC2=

17、AB2”。,“=”号，1591年，法国数学家韦达大量使用，才逐渐为人们接受。十七世纪德国莱布尼茨广泛使用了“=”号，他还在几何学中用“”表示相似，用“”表示全等。 数学符号有其特定的数学含义，只有通晓数学的人，才能透过形式化的外壳领会背后的深层含义。,三、中小学中数学推理思想,1. 推理思想概述 抽象与推理是数学的显著特征，密不可分，但他们对数学发展的作用是不同的： 通过抽象，外部世界进入了数学；通过推理，促进了数学自身的发展。 借助推理，人们把关系概念（比如，存在、相等、属于等）运用于对象概念（比如，自然数、整数、点、线、面等），得到了数学的基本命题，这就刻画了数学对象概念的属性和概念之间的

18、关系,从本质上讲，数学推理的模式有两种，即演绎推理和归纳推理。 演绎推理，是按照某些规定法则进行的、前提与结论之间有着必然关系的推理。 归纳推理则指按照某些法则进行的、前提与结论之间有着或然联系的推理。 从本质上讲，归纳推理是从经验过的东西推断未曾经验过的东西，从事物的过去和现在推断事物的未来。,尽管归纳推理和演绎推理相互依存，密不可分，但在推理基础、思维形式和目标上却存在较大区别。 演绎推理是从一般到特殊的推理，而归纳推理则是从特殊到一般的推理。 就数学的结果而言，借助归纳推理预测数学结果或者推测原因；而人们借助演绎推理证明数学结果或者构建学科知识体系。归纳推理是为了推断的推理，演绎推理是为

19、了证明的推理。 两者结合起来，贯穿了数学推理的全部过程。,2. 数学的演绎推理（又称逻辑推理） 演绎推理最基本的形式是三段论，它是一个包含大前提、小前提和结论部分的论证形式。 三段论又有很多种型式，其中最典型的是全称肯定型。 比较有代表性的例子是亚里士多德给出的“凡人皆有死，苏格拉底是人，所以苏格拉底有死”。 这句话中分为三个短句，依次是大前提、小前提和结论。,如果用A表示像人这样的集合，P表示死这样的事情判断，x表示像苏格拉底这个样本。 那么三段论的一般形式是： “AP，大前提： A是P xA， 小前提： X是A xP” 结论： X是P 全称量词 x P意味着所有的 x 都使 P 为真。,在

20、小学数学中，有很多地方都涉及到演绎推理，比如: 加法运算的规则。 乘法运算的规则、分数运算的规则。 基本平面图形的面积公式和内角和公式等。下面，通过实例来说明。,现在我们来看看几何中演绎思想的体现。三角形是继长方形之后的又一特殊而重要的基本平面图形，它是构成多边形的基础。因此，理解了三角形的基本特征（比如内角和、面积等），才能以此为基础，研究其他多边形的特征。 数学中把长方形作为最基本的图形，因此三角形的特征和性质的研究，都应该建立在长方形的基础之上。,在平面几何中，三角形内角和为180这条定理是依靠平行公理来证明的。这是比较严密的演绎证明，具体过程如下： 已知：A、B、C为ABC的三个内角。

21、 求证：ABC180。 证明：如图所示，过点A作EFBC， B=EAB，C=FAC。(两直线平行，内错角相等) 又EAB+FAC+BAC=180，（平角的定义） B+C+BAC=180。（等量代换）,3. 数学的归纳推理 归纳推理，是命题内涵由小到大的推理，是一种从特殊到一般的推理，是一种基于推断的推理。归纳推理包括归纳法、类比法、简单枚举法、数据分析等等，因此，通过归纳推理得到的结论是或然的。 人们借助归纳推理，从经验过的东西出发推断未曾经验过的东西，通过事物的现在推测它的将来或者过去，或者根据事物的过去和现在推断它的将来。,很多数学结论，都是先通过归纳推理先得到的结果，再辅以演绎推理加以证

22、明。比如，费马大定理、庞加莱猜想等，几百年前就被发现了结论，到上世纪末本世纪初才被数学界证明了。 很多数学家都认为，数学结论是看出来的，而不是证出来的，看出的数学结果不一定是正确的，但指引了数学研究的方向；而且，看的过程表现出很大的创造性，这正是数学不断创造新成果的一种重要方式。,在中小学数学中，常通过简单枚举（尝试思想），进行归纳、类比（也叫做不完全归纳推理），即从一些个别或者特殊事物出发，概括出一般性概念、原则或结论的思维方法。 从某种程度上讲，小学初中的数学知识都建立在简单枚举、类比推理的基础之上。 我们在教学中要重视简单枚举，进行归纳、类比推理的教学，引导学生进行充分想象与联想，根据已

23、有的知识经验去发现数学的新结论、新方法,4、两种推理的整合 就数学而言，归纳推理是为了推断的推理，有助于发现数学结论，演绎推理是为了证明的推理，有助于我们证明结论或者整理一门学科的基础知识，两者结合起来，就构成了数学的全部推理过程。 教学中，两种推理方式都应该受到重视。,推 理,合情推理,演绎推理（结论一定正确）,归纳推理,类比推理（结论不一定正确）,完全归纳（结论一定正确）,不完全归纳（结论不一定正确）,（猜想）,（定理）,小结：,归纳推理：从特殊到一般的推理。 类比推理：从特殊到特殊的推理。 演绎推理：从一般到特殊的推理。,举例： 1、哥德巴赫猜想： 6=3+3 8=3+5 10=5+5

24、12=5+7 14=7+7 16=5+11 1000=29+971 猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和。 即 偶数=奇质数+奇质数 从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想 拉普拉斯说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。”,2、费马猜想： 观察得到 2 + 1=5 2 + 1=17 2 + 1=257 2 + 1=65537 于是他用归纳推理提出猜想：任何形如2 +1(nN)的数都是质数。 半个世纪后，善于计算的欧拉发现第5个费马数 F =2 +1=4294967297=6416700417 不是质数，从而推翻费马的猜想!,2,1,2,2,2,3,2

25、,4,2,n,5,2,5,“合情推理是冒险的、有争议的和暂时的。” 波利亚,四、数学的模型思想,1. 模型思想概说 当今世界，数学模型已经是一个常用的词语。 生物学中，有种群增长模型，基因复制模型等； 医药学中，有专家诊断模型，疾病靶向模型等； 气象学中，有大气环流模型，中长期预报模型等； 地质学中有板块构造模型，地下水模型等；,经济学中，有股票衍生模型，组合投资模型等； 管理学中有投入产出模型，人力资源模型等； 社会学中，有人口发展模型，信息传播模型等。 各类数学模型更是百花齐放。,数学模型，是指对于一个现实对象，为了达到特定目的，根据其内在的规律，做出必要的简化假设，再用适当数学工具将现实

26、对象转化为一个数学结构。 数学建模就是建立数学模型用于解决现实问题的全过程，包括表达、求解、解释、检验等基本过程。 通俗地说，数学模型是借用数学的语言讲述现实世界的故事；数学建模就是用数学讲述生活故事的过程。,数学建模可概括为四个部分： （1）现实问题，即要解决的问题，里面隐藏了某种数学信息； （2）数学模型，对现实问题进行数学化抽象和简化，得到的数学结构，通常是函数表达式或者方程式； （3）数学模型的解答，利用数学知识和思想方法求出方程式的解或者函数的某些信息，比如最值、极值和其他特殊值； （4）现实对象的解答，将模型的解答与现实问题进行对照检验，根据检验结果对解答进行修订，得到满足现实问题

27、的优化解答。,数学模型思想，是指用数学的语言描述现实世界所依赖的思想，也就是让数学走出数学的世界，是构建数学与现实世界的联系桥梁的思想。 数学模型思想针对的不仅是数学，还包括现实世界中的那些将要讲述和研究的事情。 数学家们在构建数学模型和实际应用的过程中，会从数学的角度汲取“创造数学”的灵感，促进数学自身的发展。,数学模型思想和数学模型紧密联系在一起，并不能单独存在，因此可以这样说，存在数学建模的地方，就存在数学模型思想。 如果把数学中常见的概念、命题、法则、定理等看做数学模型的话，那么在建立和运用这些概念、命题、法则、定理的过程中，就隐含了数学模型的思想。 基于这样的观点，中小学数学中也蕴含

28、了许多数学模型和模型思想。,4. 模型思想的教学渗透 数学正是靠模型化的方法，将现实问题抽象为数学问题，通过对数学模型问题的解决，求得具体现实问题的解答。 需要说明的是，各种表面形式不一的现实问题，却可能抽象为同一数学模型，因而，数学模型具有高度的概括性和广容性。 因此，解决一个数学模型，解决的不是一个现实问题，而是一类现实问题，这正是数学广泛应用性的原因。,在数学教学中，渗透数学模型思想，就是针对抽象的数学概念和命题，利用学生可以理解的形象、直观、具体实例来说明，通过实例来帮助理解抽象的数学内容。 在中小学数学中，通过一个典型问题的解决，带动相关问题的解决，由一个到一类，渗透一种数学规律的思想，就可以叫做模型思想。,五、举例：下图用分数表示是否正确？,1/4,1/4,1/3,集合概念 土豆能不能站起来 视频 机器 宁要不严谨的理解，不要严谨的不理解。,创设问题情景,基本数学思想：抽象出几何图形（抽象思想），,用“尝试思想”或叫“一一列举思想”（推理思想）寻求解决问题的方法（割补法）。,建立数学模型,某女士的腰围原来是