2.1.4平面与平面之间的位置关系.ppt

1、点.,第二章,直线.,平面,之间的,位置关系,立体几何,空间点、直线、平面,2.1,之间的位置关系,2.1.4 空间中平面与平面之间的位置关系,2.1.4 平面与平面之间的位置关系,问题 1. 观察教室内的物体, 你认为空间中两个平面有怎样的一些位置关系?,空间中, 两个平面间的位置关系有且只有两种:,(1) 两个平面平行,没有公共点;,(2) 两个平面相交,有一条公共直线.,画两平面平行时, 将表示平面的对应边画平行.,平面 a 与平面 b 平行, 记作 a/b.,问题 2. 已知平面 a、b, 直线 a、b, 且 a /b, aa, bb, 则直线 a 与直线 b 具有什么样的位置关系?,

2、借助正方体模型,a,b,a,b,平面AC为 a,平面AC为 b,当 AB=a, AB=b 时,a/b;,当 AB=a, BC=b 时,a 与 b 异面.,a 与 b 一定不会相交.,练习:,(课本50页),如果三个平面两两相交, 那么它们的交线有多少条? 画出图形表示你的结论.,练习: (课本50页),答: 有一条或三条, 如图.,【课时小结】,2. 平面与平面的位置关系,两个平面平行 没有公共点;,两个平面相交 有一条公共直线.,习题 2.1,A 组,第 4、 7、8 题.,B 组,第 2、3 题.,习题 2.1,A 组,4. 填空题. (1) 已知 a, b, c 是三条直线, 且 a/b

3、, a 与 c 的夹角为 q, 那么 b 与 c 的夹角为 ; (2) AA 是长方体的一条棱, 这个长方体中与 AA 垂直的棱共 条; (3) 如果 a, b 是异面直线, 直线 c 与 a, b 都相交,那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个; (4) 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行, 则这条直线与另一个平面的位置关系是 ; (5) 已知两条相交直线 a, b, a /平面 a, 则 b 与 a 的位置关系是 ; (6) 设直线 a, b 分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线, 则 a 与 b 的位置关系是 .,习题 2.1,A 组,4. 填空题. (1) 已知 a, b

4、, c 是三条直线, 且 a/b, a 与 c 的夹角为 q, 那么 b 与 c 的夹角为 ;,解:,a/b,b 与 c 的夹角就是 a 与 c 的夹角.,q,习题 2.1,A 组,4. 填空题.,(2) AA 是长方体的一条棱, 这个长方体中与 AA 垂直的棱共 条;,解:,由两直线的夹角知,上底面4条棱和下底面4条棱,都与AA垂直.,8,习题 2.1,A 组,4. 填空题.,解:,(3) 如果 a, b 是异面直线, 直线 c 与 a, b 都相交,那么这三条直线中的两条所确定的平面共有 个;,如图, 在长方体模型中,AB = a, AD = b, AA = c,a,b,c,其中只有两相交

5、的直线能确,定平面.,即 a, c 确定一个平面,b, c 确定一个平面.,2,习题 2.1,A 组,4. 填空题.,解:,上底面AC/下底面AC.,直线AB/平面AC,直线AB平面AC.,(4) 若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行, 则这条直线与另一个平面的位置关系是 ;,E,又分别取AA, BB的,直线EF/平面AC,直线EF/平面AC.,在这个平面内或平行,B,F,中点E, F,习题 2.1,A 组,4. 填空题.,解:,只有如图的两种情况.,(5) 已知两条相交直线 a, b, a /平面 a, 则 b 与 a 的位置关系是 ;,b/a.,ba = P.,平行或相交.,习题 2.

6、1,A 组,4. 填空题.,解:,(6) 设直线 a, b 分别是长方体相邻两个面的对角线所在的直线, 则 a 与 b 的位置关系是 .,a,b,如图,相交或异面,7. 如图, 三条直线两两平行且不共面, 每两条确定一个平面, 一共可以确定几个平面? 如果三条直线相交于一点, 它们最多可以确定几个平面?,a,b,g,a,b,g,答: 第一个问能,确定三个平面, 如图;,第二个问也能确定三,个平面, 如图.,8. 正方体各面所在平面将空间分成几部分?,如图:,分析:,33=9 (个),33=9 (个),33=9 (个),39=27 (个),把空间分成了27个部分.,现在分成了,部分.,9,现在分

7、成了,部分.,18,现在分成了,部分.,27,B 组,2. 如图, ABC 在平面 a 外, ABa = P, BCa = Q, ACa = R, 求证: P, Q, R 三点共线.,证明:,ABa =P,ACa =R,则 P、R 就是平面ABC,与平面 a 的公共点,即,平面ABC与平面 a 交于过,P、R 的一条直线.,又BC在平面ABC内,BCa = Q,则Q为平面ABC与平面 a 的公共点,则Q必在平面ABC与平面 a 的交线PR上, P, Q, R 三点共线.,B 组,3. 空间四边形 ABCD 中, E, F 分别是 AB 和CB 上的点, G, H 分别是 CD 和 AD 上的点

8、, 且 EH与 FG 相交于点 K. 求证: EH, BD, FG 三条直线相交于同一点.,思路:,如果点 K 是平面,ABD与平面 CBD 的公共点,则点 K 必在 BD 上.,B 组,证明:, EHFG = K,则 K直线 EH, K直线FG,又 GH平面ABD,FG平面CBD, K平面ABD,3. 空间四边形 ABCD 中, E, F 分别是 AB 和CB 上的点, G, H 分别是 CD 和 AD 上的点, 且 EH与 FG 相交于点 K. 求证: EH, BD, FG 三条直线相交于同一点.,K平面CBD,即 K 是平面ABD与平面CBD的公共点.,又 BD 是平面ABD与平面CBD

9、的公共直线,BD 必经过点 K,即 EH, BD, FG 三条直线相交于同一点 K.,复习,提高,与,返回目录,1. 位置关系及符号表示,点在直线上: .,点在直线外: .,点在平面内: .,点在平面外: .,(1) 点与线,(2) 点与面,(3) 线与线,(4) 线与面,(5) 面与面,线线平行: /.,线线相交: .,线线异面:,画异面直线, 常借助平面.,直线在平面内: ,直线在平面外: 平行(/), 或相交().,面面平行: /,面面相交: .,画面面相交, 其要点是确定好交线.,2. 四个公理,公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线在此平面内.,公理 2 过不在一

10、条直线上的三点, 有且只有一个平面.,公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.,三推论: 两相交直线确定平面; 两平行直线确定平面; 直线外的点与直线确定平面.,公理4 平行于同一条直线的两直线互相平行.,4. 等角定理,5. 两异面直线所成的角,空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么这两个角相等或互补., 角的范围 (0, 90., 由定义找角:, 垂直,相交非钝角, 且两边分别平行两异面直线.,异面垂直, 无垂足.,例题选讲,返回目录,例1. 已知直线 l 和点 P, Pl. 画平面 a, b, g, 使 la, lb, Pg, ga=m, g

11、b=n.,l,P,a,b,m,n,解:,如图, 已知直线 l 和点 P.,(1) 过 l 分别画平面 a, b.,(2) 过点 P 分别在平面 a,b 内画交线 m, n.,(3) 以 m, n 为邻边画平行,四边形表示平面 g.,g,要点: 先画两相交平面的交线.,例2. 给出下面四个命题 如果直线 a/c, b/c, 那么a、b可以确定一个平面; 如果直线 a 和 b 都与直线 c 相交, 那么a、b可以确定一个平面; 如果 ac, bc, 那么a、b可以确定一个平面; 直线 a 过平面 a 内一点与平面 a 外一点, 直线 b 在平面 a 内不过该点, 那么 a 和 b 是异面直线. 上

12、述命题中, 真命题的个数是 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4,B,根据公理 4, 得 a/b, 可确定一个平面.,借助正方体, 如图, a, b 不共面.,a,b,a,借助正方体, 也不对., 如图,c,b,a, b 不可能平行, 也不,可能相交,则异面是对的.,解:,MN 与 PQ 异面.,其理由是:,如果 MN 与 PQ 共面于a,则 M, N, P, Q 四点在 a 内,直线 b 在 a 内,即得点 O 在 a 内,那么 OP, OM 在 a 内,则直线 a, b, c 都在 a 内了,这与 a, b, c 不共面矛盾了, MN 与 PQ 不可能共面.,例4. 如图

13、, 三棱柱ABC-A1B1C1中, ACB =90, 侧面 AA1C1C, BB1C1C 都是正方形, AA1B1B是矩形, 求异面直线 A1B1 与 BC1 所成的角的大小.,解:,在矩形 AA1B1B 中, A1B1/AB,A1B1 与 BC1 所成的角就是ABC1.,则 ACC1BCC1ACB,ACC1=BCC1=ACB=90,连结 AC1,即 A1B1 与 BC1 所成角的大小为60.,在正方形 AA1C1C,和 BB1C1C 中, CC1=CA=CB,得 AB=AC1=BC1,ABC1=60.,例5. 如图, M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点, 给出下列

14、四个命题: 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB, B1C1 都相交; 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB, B1C1 都垂直; 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都相交; 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都平行. 其中真命题是 ( ) (A) (B) (C) (D) ,分析:, 过直线 AB 和点 M,作平面 a,这样的 a 有且只有一个,且 a 必与直线 B1C1 相交于唯一点, 设为点 P,则在 a 内, 有且只有一条 PM 必与 AB 相交.,P,a,例5. 如图, M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点, 给出下列四

15、个命题: 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB, B1C1 都相交; 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB, B1C1 都垂直; 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都相交; 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都平行. 其中真命题是 ( ) (A) (B) (C) (D) ,分析:, 过 M 点垂直直线 AB,的直线都在,过 M 点垂直直线 B1C1 的直线都在,则 M 点只有在这两平面的交线 DD1上.,平面 AA1D1D 内.,平面 CC1D1D 内,例5. 如图, M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点, 给出下列四个命题:

16、过 M 点有且只有一条直线与直线 AB, B1C1 都相交; 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB, B1C1 都垂直; 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都相交; 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都平行. 其中真命题是 ( ) (A) (B) (C) (D) ,分析:, 如图, 可作无数个平面,与直线 AB, B1C1 都相交.,例5. 如图, M 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 DD1 的中点, 给出下列四个命题: 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB, B1C1 都相交; 过 M 点有且只有一条直线与直线 AB, B1C1 都垂直;

17、过 M 点有且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都相交; 过 M 点有且只有一个平面与直线 AB, B1C1 都平行. 其中真命题是 ( ) (A) (B) (C) (D) ,分析:, 有且只有如图的一个,平面与 AB, B1C1 都平行.,C,练,习,题,返回目录,(共10题),8. 分别和两条异面直线 AB、CD 同时相交的两条直线 AC、BD 一定是异面直线吗? 为什么?,9. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, M, N 分别是 A1B1, A1D1 的中点. (1) 四边形 BDNM 是不是平面四边形? 为什么? (2) 直线 BM 与 DN 是否相交? 如果不相交

18、, 说明理由; 如果相交, 指出交 点位置, 并画出图形.,10. 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E, F 分别是棱 AA1, CC1 的中点, 则在空间中与三条直线A1D1, EF, CD 都相交的直线 ( ) (A) 不存在 (B) 有且只有两条 (C) 有且只有三条 (D) 有无数条,1. AB, CD 是表示平面 a, b 的两个平行四边形的边, EF 是 a 与 b 的交线, 根据给出的条件画出两个相交平面 a, b.,解:,(1) 过 AB, CD 的各端点分别画 EF 的平行线.,(2) 过点 F 分别画 AB, CD 的平行线与 EF 的平,行线相交得表示平面的两平

19、行四边形.,(3) 将被遮线条改为虚线.,2. 用符号表示语句: “直线 l 经过平面 a 内一定点 P, 但 l 在 a 外.” 并画出图形.,解:,Pa,Pl,la,3. a, b 是异面直线, b, c 是异面直线, 则 a, c 的位置关系是 ( ) (A) 相交、平行或异面 (B)相交或平行 (C) 异面 (D)平行或异面,解:,借助正方体分析.,a,b,c,c,c,情形一:,a, c 相交.,情形二:,a, c 平行.,情形三:,a, c 异面.,A,4. 回答下列问题: (1) 过空间一点有几条直线与一已知直线平行? (2) 过空间一点有几条直线与一已知直线垂直? (3) 过空间

20、一点有几个平面和已知平面平行? (4) 过空间一点有几个平面和一已知平面平行?,(1) 若点在已知直线上, 过点没有与已知直线平行的直线.,若点不在已知直线上, 则过点有且只有一条直线与已知直线平行.,答:,(2) 过空间一点有无数条直线与一已知直线垂直, 如图:,过点 A1 可作无数条直线垂直于 AA1.,4. 回答下列问题: (1) 过空间一点有几条直线与一已知直线平行? (2) 过空间一点有几条直线与一已知直线垂直? (3) 过空间一点有几个平面和一已知平面平行? (4) 过空间一点有几个平面和一已知平面本交?,(3) 若点在已知平面上, 过点没有与已知平面平行的平面.,若点不在已知平面

21、上, 则过点有且只有一个平面与已知平面平行.,答:,(4) 过空间一点有无数个平面和一已知平面相交.,5. 下列四个命题中, 假命题的个数是 ( ) 两条直线都和同一个平面平行, 则这两条直线平行. 两条直线没有公共点, 则这两条直线平行. 两条直线都和第三条直线垂直, 则这两条直线平行. 一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点, 则这条直线和这个平面平行. (A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 1,解:,借助正方体, 如图:,相交直线 AB, AD 平行底面, 假.,异面直线也没有公共点, 假.,相交直线 AB, AD 都垂直AA1, 假.,AA1与底面相交, 但与底面内无数条直线都

22、没有,公共点, 假.,A,6. 平面 a 与 b 平行, 且 aa, 下列四个命题中: a 与 b 内的所有直线平行. a 与 b 内的无数条直线平行. a 与 b 内的任何一条直线都不垂直. a与 b 无公共点. 其中真命题的个数是 ( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4,解:,如图:, 错., 对., 错., 对.,B,7. 若直线 l 不平行于平面 a, 且 la, 则 ( ) (A) a 内的所有直线与 l 异面 (B) a 内不存在与 l 平行的直线 (C) a 内存在唯一的直线与 l 平行 (D) a 内的直线与 l 都相交,B,如图:,8. 分别和两条异面直线 A

23、B、CD 同时相交的两条直线 AC、BD 一定是异面直线吗? 为什么?,答: 一定是异面直线.,如图,如果AC、BD 不是异面直线,则AC、BD共面.,那么 AB, CD 就共面,就与已知中 AB、CD 异面矛盾., AC、BD 共面不成立,则 AC、BD 一定是异面直线.,A,B,C,D,9. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M, N分别是 A1B1, A1D1 的中点. (1) 四边形 BDNM 是不是平面四边形? 为什么? (2) 直线 BM 与 DN 是否相交? 如果不相交, 说明理由; 如果相交, 指出交点位置, 并画出图形.,答:,(1),BDNM 是平面四边形.,因为 MN/B1D1, BD/B1D1,则 MN/BD,即 MN 与 BD 确定平面,所以 BDNM 是平面四边形.,9. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, M, N分别是 A1B1, A