28.4垂径定理

1、,28.4 垂径定理及推论 任丘六中- 王小玲,1、圆是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？共有多少条呢？,2、如何证明两条弧相等？有哪几种方法？,圆是轴对称图形。 对称轴是直径所在的直线或者过圆心的每条直线 。 有无数条对称轴。,两条弧重合是等弧 。 同圆或者等圆中相等的圆心角所对的弧相等。 同圆或者等圆中相等的弦所对的优弧、劣弧分别相等。,一复习巩固,赵州桥是古代劳动人民智慧的结晶，开创了中国桥梁建造的崭新局面。,二情景导入短视频,问题 赵州桥的半径是多少？,二情景导入引出问题,它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m，你能求出赵州桥主

2、桥拱的半径吗？,1 折纸， 观察猜想 ： 如图，AB是O的一条弦，CD是直径，CDAB，垂足为E。 你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么呢？,线段： AE=BE, 弧：AC=BC，AD=BD,三 新授（一）折纸 观察 猜想,O,A,B,C,E,2 探究，得出真命题；,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧,D,你能运用几何语言证明这个命题吗？,三 新授（二）探究 垂径定理,证明命题： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,题设,结论,已知：CD是直径，且CDAB。, 求证：AE=BE， AC =BC， AD =BD。,闯关练兵（1）证明：连接OA、OB 在OAB中，

3、 OA=OB，CDAB AE=BE， AOE= BOE AD =BD 又 AOC= 180 - AOE BOC= 180 - BOE AC =BC,三 新授（三）证明垂径定理,命题：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。” 是真命题吗,三 新授（四）探究垂径定理推论,证明命题：“平分弦（不是直径）的直径，垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。”,已知：如图，CD是O的直径，AB为弦，且AE=BE.,证明：连接OA，OB，则OA=OB, AE=BE, CDAB，AOD=BOD., AD=BD, AC =BC,题设,结论,第1题,第2题,第3题,第5题,第6题,第4题,垂径定理五

4、大要素,（1）直径（过圆心的线段） （2）垂直于弦 （3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,知二推三,命题：平分劣弧的直径垂直平分弦,并且平分弦所对的劣弧。,求证：CDAB,已知：CD是直径，,AE=BE，,闯关练兵（3）证明：连接OA、OB OA=OB AD =BD AOE= BOE AE=BE CDAB 又 AOC= 180 - AOE BOC= 180 - BOE AC =BC,四 解决问题：赵州桥拱半径,如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高,它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4 m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2 m,解得R27.9 （m）,O,D,A,B,C,R,在RtOAD中，由勾股定理，得,即 R2=18.72+（R7.2）2,因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9 m.,OA2=AD2+OD2,AB=37.4 m，CD=7.2 m，,OD=OCCD=R7.2,在图中,伟大的创举-赵州桥,中华民族的骄傲,五 小结,1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。,2、垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径，垂直