2.2.1综合法与分析法

1、2.3 数学归纳法,我是一毛,我是二毛,我是三毛,我是谁？,我不是四毛！我是小明！,不完全归纳,猜：四毛！,完全归纳,？,1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. （重点、难点）,探究点 数学归纳法的原理与定义,问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？,把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.,完全归纳法,（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？,（2）你的猜想一定是正确的吗？,猜想数列的通项公式为：,解:,不完全归纳法,从一类对象中的部分对 象都具有某种性质推出 这类对象全体都具有这 种性质的归纳推理方法,验证:,逐一验证，不可能！,能否通过有限个

2、步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？,数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？,多米诺骨牌,数学归纳法的第一步：先证明n取第一个值时命题成立. 相当于多米诺骨牌开始倒的第一张. 数学归纳法的第二步：假设当n=k时命题成立， 并证明当n=k+1时命题也成立. 相当于多米诺骨牌第k张倒后第k+1张是否也会跟着倒.,1.第几块骨牌，数列第几项都是与正整数有关的问题.,2.共同点是任意前一个的情况都可以推出后一个的情况.,多米诺骨牌与我们要解决的问题2有相似性吗？相似性体现在哪些方面呢？,上述2，事实上给出了一个递推关系，换言之就是假设第k块倒下，则相邻的第k+1块也倒下.,你能类比多米诺骨牌游戏

3、牌全倒条件，证明上述问题2猜想的结论吗？,猜想数列的通项公式为,证明:,(1)当,猜想成立.,(2),那么,当,根据(1)和(2)，猜想对于任何 都成立.,一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：,1.（归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立.,2.（归纳递推）假设当n=k(kn0，kN*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.,只要完成这两个步骤，就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.,这种证明方法叫做数学归纳法.,若n = k ( k n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.,验证n=n0时命题成立.,命题对从n0开始所有的正整数n

4、都成立.,归纳奠基,归纳递推,数学归纳法：,两个步骤 一个结论 缺一不可,例1 用数学归纳法证明,证明：,（1）当n=1时，,左边=12=1,等式成立,(2)假设当n=k( )时等式成立,即,那么,当n=k+1时,即当n=k+1时等式也成立.,根据(1)和(2),可知等式对任何 都成立.,即n=k+1时等式成立. 所以等式对一切自然数 均成立.,【总结提升】,问题1：甲同学猜想 用数学归纳法证明步骤如下：,证明：假设n=k时等式成立，即,那么,上述证法是正确的吗？为什么？,结论1：第一步是递推的基础，缺少了第一步就失去了保证，不要误认为第一步是一个简单的验证，可有可无.,问题2：乙同学用数学归

5、纳法证明 如采用下面证法，对吗？为什么？,结论2：在第二步中,证明n=k+1命题成立时,必须用到n=k命题成立这一归纳假设,否则就打破数学归纳法步骤之间的逻辑严密关系,造成推理无效.,解：,可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n一致，分母可用项数n表示为3n+1,于是可以猜想,下面我们用数学归纳法证明这个猜想.,(1)当n=1时，,猜想成立.,(2)假设n=k 时,猜想成立，即,那么,所以，当n=k+1时,猜想也成立.,1.已知三角形内角和为180，四边形的内角和为360，五边形的内角和为540，于是有：凸n边形的内角和为(n-2)180，若用数学归纳法证明，第一步验证n取第一个正整

6、数时命题成立，则第一个正整数取值为 _,3,2.用数学归纳法证明 （a1），在验证n=1等式成立时 ，左边应取的项是_.,3.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3(2n-1)时，在证明n=k+1时：左边代数式为 ，共有 项，从k到k+1左边需要增乘的代数式为_.,(k+1)+1(k+1)+2(k+1)+(k+1),k+1,证明: (1)当n=1时,左边= ,(2)假设n=k(kN*)时原等式成立 ，即,右边=,此时，原等式成立.,那么n=k+1时,这就是说，当n=k+1时,命题也成立.,由 (1)(2)知,对一切正整数n,原等式均正确.,1.数学归纳法的一般步骤：,若n = k ( k n0) 时命题成立，证明n=k+1时命题也成立.,验证n=n0时命题成立.,命题对从n0开始所有的正整数n 都成立.,归纳奠基,归纳递推,两个步骤 一个结论 缺一不可,2.应用数学归纳法要注意以下几点： （1）第一步是基础，没有第一步，只有第二步就如空中楼阁，是不可靠的. （2）第二步是证明传递性，只有第一步，没有第二步，只能是不完全归纳法. （3）n