高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1 解读椭圆的几何性质素材 北师大版选修2-1（通用）_第1页
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文档简介

1、解读椭圆的几何性质根据椭圆的标准方程，研究椭圆的几何性质，并正确地画出它的图形，是本节的基本问题， 那么怎样用代数的方法来研究椭圆的几何性质呢？本文以椭圆的标准方程为例，解读如下，供学习时参考椭圆的几何性质包括范围、对称性、顶点、离心率等，现以方程() 为例加以研究一性质概述1范围 由标准方程得出,即有,，可知椭圆落在组成的矩形中2对称性把方程中的换成方程不变，图象关于轴对称换成方程不变，图象关于轴对称把同时换成方程也不变，图象关于原点对称因此椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，其中原点叫椭圆的对称中心，简称中心轴、轴叫椭圆的对称轴3顶点椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点在椭圆的方程里，令得，

2、因此椭圆和轴有两个交点，它们是椭圆的顶点；令，得，因此椭圆和轴有两个交，它们也是椭圆的顶点 因此椭圆共有四个顶点：， 其中叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴长分别为，分别为椭圆的长半轴长和短半轴长.椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点.4离心率椭圆焦距与长轴长之比，叫椭圆的离心率定义式：范围为当，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例；当椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例 二性质运用例1(1)求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形(2) 在同一坐标系中画出下列两个椭圆的简图,解析：(1)把已知方程化成标准方程 ，所以，因此

3、，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，离心率，两个焦点分别为，椭圆的四个顶点是， 将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标：01234543.93.73.22.40 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：(2)画简图时，抓住顶点、对称性即可，如右上：例2已知椭圆的一个焦点将长轴分为:两段，求其离心率解析：由题意，得=:,即,解得 例3如图，求椭圆,()内接正方形ABCD的面积 解析：由椭圆和正方形的中心对称性知，正方形BFOE的面积是所求正方形面积的1/4,且B点横纵坐标相等，故设B（),代入椭圆方程求得,即正方形ABCD面积为例4求适合下列条件的椭圆的标准方程（）经过点（，）、（，）；（）长轴的长等于，离心率等于解析：（）由椭圆的几何性质可知，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，所以点、分别是椭圆长轴和短轴的一个端点，于是得a=3,b=2.又因为长轴在x轴上，所以椭圆的标准方程为（）由已知，2a=20,由于椭圆的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以所求椭圆的标准方程为或点评：此题要求学生熟悉椭圆的几

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