§4电位及梯度.ppt

1、4 电位及其梯度,前面从电荷在电场中受力的角度出发，引入了物理量电场强度。由高斯定理证明了静电场是有源场。,本节要从电场对电荷作功的角度引入物理量电势，从而证明静电场是无旋场。,一、静电场力所做的功与路径无关,在点电荷q的电场中，把另一点电荷q0由P点Q点(沿路径L) 过程中，电场力作的功,1.点电荷的电场,结论：电场力作的功只取决于被移动电荷的起、终点的位置，与移动的路径无关。,2.点电荷组的电场,点电荷组 产生电场,在电场中把试验电荷从A移至B电场力所做的功,结论：每项均与路径无关，只与位置有关。所以电场力对电荷作的功也与路径无关。,结论：在任何电场中移动试验电荷时，电场力所做的功除了与电

2、场本身有关外，只与试验电荷的大小及其起点、终点有关，与移动电荷所走过的路径无关.,静电力是保守力，静电场是保守力场。,3.任意带电体的电场,可以将带电体无限分割成微元，每一个微元均为一点电荷 点电荷组,二、静电场的环路定理,静电场是保守场,在任意电场中取一闭合回路，将试验电荷沿路径L从PQP，电场力所做的功为,结论：静电场力沿任意闭合回路做功恒等于零.,称为静电场的环路定理，与静电场力做功与路径无关完全等价。,无旋场,讨论：(1)环路定理是静电场的另一重要定理，可用环路定理检验一个电场是不是静电场。,思考：如图电场是静电场吗？,(2)环路定理要求电场线不能闭合。,静电场是有源、无旋场。,三、电

3、势能,1.电势能差,在力学中，曾经给出保守力作功和势能增量的关系,由此可得出电场力作功和电势能增量的关系,q0在电场中P、Q两点电势能之差等于把 q0自P点移至Q点过程中电场力所作的功。,电势能的变化与试验电荷q0有关,电势能应属于q0和产生电场的源电荷系统共有。,电场力做正功，电势能将减少，电场付出能量。 电场力做负功，电势能将增加，电场吸收能量。 电场力对电荷做功的过程中，电场与电荷间有能量交换。,2.电势能,电势能差是绝对值,电势能是相对值,若令,试验电荷 在电场中某点的电势能，在数值上就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功.,例1求点电荷q0在点电荷q的电场中某点的电势能,零势能

4、的选择原则：当(源)电荷分布在有限范围内时，零势能一般选在无穷远。,思考：若选取q0与q相距a时为势能零点，电势能又如何表示？,1.电势差,四、电势(位)差和电势(位),与试验电荷q0有关,与试验电荷q0无关,1）从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功。 2）单位正电荷的电势能差。,P, Q两点的电势差就是,定义为P,Q两点之间的电势差,用 表示。,电势零点的选择有任意性。,2.电势,电势是相对值,若选,意义：电场中A点的电势，就是把单位正电荷从点A移到零电势位置时，静电场力所作的功.,意义：电场中某点的电势等于单位正电荷在该点具有的电势能。,点电势,1) 电势与场强一样是一个描述场本身性

5、质的物理量，与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。,讨论,3)电势零点选取:可以任意选取，一般选地为零电势，或选无穷远处为零电势。 问题：选择不同的电势零点，电势的表达式一样吗？举例说明。,2) 电势UP：P点与电势零点处的电势差,4）静电场力的功,原子物理中能量单位,例2 求点电荷场中任一点(距点电荷q的距离为r)的电势。,q0在点电荷电场中某点的电势能,单位正试验电荷在该点的电势能,例3 点电荷 ，与它在同一直线上的P、Q点分别距q为10cm和20cm，若选Q点为电势零点，求P点的电势。,解：以点电荷q为原点,沿PQ连线建坐标，在x坐标轴上，各点场强方向都沿x轴方向。,P、Q两点的电

6、势差,若选,选,1 点电荷的电势,五、电势的计算,令,2 电势的叠加原理,源电荷：由若干带电体组成,各自在场点P产生的电场为,注意：必须是同一个电势零点。,电势叠加原理：由若干带电体产生的电场中，某点的电势等于各个带电体单独存在时在该点的电势的代数和。,对于电荷连续分布的带电体，取电荷元dq,由点电荷元激发的电势,由电势的叠加原理，整个带电体在p点激发的电势为：,均匀带电线,均匀带电面,均匀带电体,1) 利用,2) 若已知在积分路径上 的函数表达式， 则,（利用了点电荷电势 ，这一结果已选无限远处为电势零点，带电体必须为有限大。）,求解电势的两种方法,电场具有对称分布时使用方便,例1 计算电偶

7、极子电场中任一点的电势。,式中r+与r-分别为+q和-q到P点的距离，由图可知,解 ：设电偶极子如图放置，电偶极子的电场中任一点P的电势为,由于r l ，所以P点的电势可写为,因此,电势的计算例题,例2 正电荷 均匀分布在半径为 的细圆环上. 求圆环轴线上距环心为 处点 的电势.,讨论,点电荷的电势,例3 均匀带电薄圆盘轴线上的电势。,解：由上例，均匀带电细圆环在轴线上一点的电势,点电荷的电势,例4 “无限长”带电直导线的电势,解,令,能否选 ？,解：由高斯定理知，电场分布为,R,.,1.当rR 时,例5 求一均匀带电球面的电势分布。,3.电势分布,2.当r R 时,R,Q,.,r,电势分布曲

8、线,场强分布曲线,结论：均匀带电球面，球内的电势等于球表面的电势，球外的电势等效于将电荷集中于球心的点电荷的电势。,例6 两个均匀带电球面同心放置，半径分别为R1和R2，且R1R2，如图所示。所带电量分别为q1，q2，求电势分布。,R1,R2,（1）,场点在两个球面内部,（2）,（3）,场点在内球面外部，外球面的内部,场点在两个球面的外部,空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面. 任意两相邻等势面间的电势差相等.,1.等势面,六、等势面 电势梯度,用等势面来描绘电场中各点电势的分布。,积分关系,微分关系,点电荷的电场线与等势面,一对等量异号点电荷的电场线和等势面,两平行带电平板的电场线和

9、等势面,性质一 等势面与电力线处处正交,2.等势面的性质,证明：设一试探电荷q0沿任意一个等势面作一任意元位移dl电场力所做的元功,性质二 电力线的方向指向电势降落的方向。,证明：等势面s1面有P点，法线方向n，其场强方向与n相同或相反,性质三 等势面密集处场强大，稀疏处场强小,证明：,画等势面时规定：相邻等势面间的电势差相等。,所以，n越小，E越大。n越大，E越小。,等势面和电场线的关系为 1)等势面与电场线处处垂直； 2)电场线从高电势处指向低电势处； 3)等势面密处场强大。,3.方向导数,电势沿l方向的变化率称为方向导数。,电势沿不同方向变化率不同，沿法线方向电势变化率最快，即,电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，等于这一点的电势沿该方向单位长度上电势变化率的负值.,4.电势梯度矢量,方向：电势增加最快的方向。 大小：沿该方向的电势变化率为,直角坐标系中电势梯度,5.场强和电势梯度的关系,直角坐标下梯度算符,为求电场强度 提供了一种新的途径,求 的三种方法,利用电场强度叠加原理,利用高斯定理,利用电势与电场强度的关系,1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？ 2） 的地方， 吗 ？ 3） 相等的地方， 一定相等吗？等势面上 一定相等吗 ？,讨论,例1 某区域的电势表达式为， 式中A为常数，该区域的场强的两个分量Ex和Ez