高等数学微积分第2章 第7节 无穷小量与无穷大量.ppt

1、第七节 无穷小量与无穷大量,一.无穷小量,1.定义,如果在某变化过程中,变量,的,极限为零,则称,为无穷小量.,注,(1)七种变化过程、数列及一般函数,都成立.,(2)谈无穷小量时指明自变量变化过程.,(3)区分无穷小量与一个非常小的数.,(4),是无穷小量.,(5)精确性定义.,2.性质,必要性,因,所以,故,为无穷小量,记为,则,充分性,由,得,定理2.17,证,此性质是把极限和无穷小量,联系起来的一个性质,如有涉及,极限与无穷小量的题型，,想到这个性质.,郑重声明,应首先,有限个无穷小量的和、差、积,注,(1)本性质只对有限个无穷小量成立.,补充,无穷小量与极限不为零的变量的商,(2)本

2、性质无穷小量的商不成立.,定理2.18,仍为无穷小量.,仍为无穷小量.,无穷小量与有界变量的乘积,设,则对,恒成立,此时,定理2.19,仍为无穷小量.,证,无穷小量与有界变量的乘积仍为,无穷小量.,设,所以,从而,故,即,为无穷小量.,推论,常数与无穷小量的乘积为无穷小量.,定理2.19,证,例1,求,解,因为,所以,注,二.无穷小量的比较,定义,设在某一过程中,都是无穷小量,(1),如果,称,高阶的无穷小量.,记作:,(2),如果,称,是同阶无穷小量.,特别地,当,时,称,是等价无穷小量.,记作:,(3),低阶的无穷小量,如果,称,如果,则称,(4),阶无穷小量.,的,注：并非任意两个无穷小

3、量都可进行比较,例,时,与,都是无穷小量.,但,不存在,故二者不可进行比较,注,(1)首先是无穷小量.,(2)比值极限存在(或).,(3)常见的等价无穷小:,时,(4),在求极限的过程中,等价无穷小量,可互相代换.,设,则,证,注,本性质只适合乘除,对加减失效.,例2,求,解,原式,原式,例3,已知,时,是等价无穷小,求常数,解,由题设有,又,故,(05年考研真题4分),极限,解,(04年考研真题4分),若,则,解,因,故,从而,三.无穷大量,定义,如果在某变化过程中,变量,的绝对值,无限增大,则称在该,变量,变化过程中,为无穷大量.,注,(1)七种变化过程、数列及一般函数,都成立.,(2)谈

4、无穷大量时指明自变量变化过程.,(3)区分无穷大量与一个非常大的数.,(4)精确性定义.,定义,如果在某变化过程中,变量,无限,则称在该,变化过程中变量,为正无穷大量.,增大,定义,如果在某变化过程中,变量,则称在该变化过程中变量,无穷大量.,且绝对值无限增大,取负值,为负,复习基本初等函数,找出特殊无穷大量、,注,正无穷大量、负无穷大量.,定义,设在某一过程中,都是无穷大量,(1),如果,称,低阶的无穷大量.,(2),如果,称,是同阶无穷大量.,特别地,当,时,称,是等价无穷大量.,(3),高阶的无穷大量,如果,称,四.无穷大量的比较,五.无穷小量与无穷大量的关系,(1),如果变量,是无穷大量,则,是无穷小量.,(2),如果变量,是无穷小量,则,是无穷大量.,并且,证,因,由无穷大量定义,对,从而,成立,成立,则,总结,本节重点:,无穷小