2020版高考数学总复习第八章立体几何初步第5节垂直关系课件文北师大版.pptx

1、第5节垂直关系,最新考纲1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题.,知 识 梳 理,1.直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线和一个平面内的_一条直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂直.,任何,(2)判定定理与性质定理,la,lb,a,b,平行,a,b,如果一条直线和一个平面内的两条_直线都垂直，那么该直线与此平面垂直(线线垂直线面垂直),相交,2.直线和平面所成的角,(1)定义：一条斜线和它在平面上的_所成的_叫作这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于

2、平面，则它们所成的角是_ ；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0的角.,(2)范围：_.,射影,锐角,直角,3.二面角 (1)定义：从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角； （2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作_的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角. (3)二面角的范围：0，. 4.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平面互相垂直.,两个半平面,直二面角,垂直于棱,(2)判定定理与性质定理,垂线,l,l ,交线,a,la,l ,微点提醒,1.两个重要结论 (1)若两平行线中的一

3、条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法). 2.使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.() (2)垂直于同一个平面的两平面平行.() (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.() (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.(),解析(1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则有

4、l或l与斜交或l或l，故(1)错误. (2)垂直于同一个平面的两个平面平行或相交，故(2)错误. (3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的直线可能垂直于另一平面，也可能与另一平面平行，也可能与另一平面相交，也可能在另一平面内，故(3)错误. (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的所有直线，则，故(4)错误. 答案(1)(2)(3)(4),2.(必修2P40例3改编)已知直线a，b和平面，且ab，a，则b与的位置关系为() A.b B.b C.b 或b D.b与相交 答案C,3.(必修2P42A5改编)已知P为ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，有下列结论：PABC；PBAC；PC

5、AB；ABBC.其中正确的是() A. B. C. D.,解析如图，因为PAPB，PAPC，PBPCP，且PB平面PBC，PC平面PBC，所以PA平面PBC.又BC平面PBC，所以PABC，同理可得PBAC，PCAB，故正确. 答案A,4.(2019安徽江南十校联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是() A.且m B.mn且n C.mn且n D.mn且 解析由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知C正确. 答案C,5.(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则() A.A1EDC1 B.A1EBD C.A

6、1EBC1 D.A1EAC,解析如图，由题设知，A1B1平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1，从而A1B1BC1.,又B1CBC1，且A1B1B1CB1，所以BC1平面A1B1CD， 又A1E 平面A1B1CD，所以A1EBC1. 答案C,6.(2018安阳二模)已知a，b表示两条不同的直线，表示两个不同的平面，下列说法错误的是() A.若a，b，则ab B.若a，b，ab，则 C.若a，ab，则b D.若a，ab，则b或b 解析对于A，若a，则a，又b，故ab，故A正确； 对于B，若a，ab，则b 或b，存在直线m，使得mb， 又b，m，.故B正确； 对于C，若a，ab，则b 或b，又，

7、所以b 或b，故C错误； 对于D，若a，ab，则b或b，故D正确. 答案C,考点一线面垂直的判定与性质,(1)证明：PO平面ABC； (2)若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离.,(1)证明因为APCPAC4，O为AC的中点，,由OP2OB2PB2知，OPOB. 由OPOB，OPAC且OBACO，知PO平面ABC.,(2)解作CHOM，垂足为H.,又由(1)可得OPCH，所以CH平面POM. 故CH的长为点C到平面POM的距离.,规律方法1.证明直线和平面垂直的常用方法有： (1)判定定理；(2)垂直于平面的传递性(ab，ab)；(3)面面平行的性质(a，a)；(4)面面垂

8、直的性质(，a，la，l l). 2.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.,【训练1】 (2019南宁二中、柳州高中联考)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB侧面BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC160.,(1)求证：BC1平面ABC；,(1)证明AB平面BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，ABBC1， 在CBC1中，BC1，CC1BB12，BCC160，,又AB，BC 平面ABC，BCABB，BC1平面ABC.,考点二面面垂直的判定与性质 【例2】 如图，在四棱锥PABCD中，AB

9、CD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证：,(1)PA底面ABCD； (2)BE平面PAD； (3)平面BEF平面PCD.,证明(1)平面PAD底面ABCD， 且PA垂直于这两个平面的交线AD，PA 平面PAD， PA底面ABCD. (2)ABCD，CD2AB，E为CD的中点， ABDE，且ABDE. 四边形ABED为平行四边形. BEAD. 又BE 平面PAD，AD 平面PAD， BE平面PAD.,(3)ABAD，而且ABED为平行四边形. BECD，ADCD， 由(1)知PA底面ABCD，CD 平面ABCD， PACD，且PAADA，

10、PA，AD 平面PAD， CD平面PAD，又PD 平面PAD，CDPD. E和F分别是CD和PC的中点，PDEF. CDEF，又BECD且EFBEE， CD平面BEF，又CD 平面PCD， 平面BEF平面PCD.,规律方法1.证明平面和平面垂直的方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理. 2.已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化，在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.,(1)求证：平面SBD平面SAD；,(1)证明设BCa，则CDa，AB2a，由题意知BCD是等腰直角三角形，且BCD90，,所以ABDABCCBD45，,因为AD2BD24a2AB

11、2，所以BDAD， 由于平面SAD底面ABCD，平面SAD平面ABCDAD，BD 平面ABCD， 所以BD平面SAD， 又BD 平面SBD，所以平面SBD平面SAD.,作SHAD，交AD的延长线于点H，,由(1)知BD平面SAD， 因为SH 平面SAD，所以BDSH. 又ADBDD，所以SH平面ABCD， 所以SH为三棱锥SBCD的高，,由BD平面SAD，SD 平面SAD，可得BDSD，,在等腰三角形SBA中，,考点三平行与垂直的综合问题多维探究 角度1多面体中平行与垂直关系的证明 【例31】 (2018北京卷)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD平面ABCD，PAPD，

12、PAPD，E，F分别为AD，PB的中点.,(1)求证：PEBC； (2)求证：平面PAB平面PCD； (3)求证：EF平面PCD.,证明(1)因为PAPD，E为AD的中点，所以PEAD. 因为底面ABCD为矩形，所以BCAD.所以PEBC. (2)因为底面ABCD为矩形，所以ABAD. 又因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD， 所以AB平面PAD.所以ABPD. 又因为PAPD，且PAABA， 所以PD平面PAB.又PD 平面PCD， 所以平面PAB平面PCD.,(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG. 因为F，G分别为PB，PC的中点，,因为ABCD为矩形，且E为AD的中

13、点，,所以DEFG，DEFG. 所以四边形DEFG为平行四边形. 所以EFDG. 又因为EF 平面PCD，DG 平面PCD， 所以EF平面PCD.,规律方法1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化. 2.垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.,角度2平行与垂直关系中的探索性问题 【例32】 如图，三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA1，AB1，AC2，BAC60.,(1)求三棱锥PABC的体积；,解(1)由题知AB1，AC2，BAC60，,由PA平面ABC，可知PA是三棱锥PABC的高.,(2)在平面ABC内，过点B作BNAC，垂

14、足为N.在平面PAC内，过点N作MNPA交PC于点M，连接BM.,由PA平面ABC知PAAC，所以MNAC. 由于BNMNN，故AC平面MBN. 又BM 平面MBN，所以ACBM.,规律方法1.求条件探索性问题的主要途径：(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性. 2.涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点.,角度3空间位置关系与几何体的度量计算 【例33】 【例33】 (2019湖北六市联考)如图，在RtABC中，ABBC3，点E，

15、F分别在线段AB，AC上，且EFBC，将AEF沿EF折起到PEF的位置，使得二面角PEFB的大小为60. (1)求证：EFPB； (2)当点E为线段AB的靠近B点的三等分点时，求四棱锥PEBCF的侧面积,(1)证明因为在RtABC中，ABBC3， 所以BCAB. 又因为EFBC，所以EFAB，翻折后垂直关系没变，仍有EFPE，EFBE，又因为PEBEE，PE，BE 平面PBE， 所以EF平面PBE，所以EFPB. (2)解因为EFPE，EFBE，所以PEB是二面角PEFB的平面角，,所以PB2BE2PE2，所以PBBE，所以PB，BC，BE两两垂直， 又EFPE，EFBE，所以PBE，PBC，

16、PEF均为直角三角形,规律方法1.本题的综合性较强，属于翻折问题，其关键是看翻折前后线面位置关系的变化情况根据翻折的过程，把翻折前后一些线、面位置关系中没有变化和发生变化的量准确找出来，应用到求解中 2第(1)问证明线线垂直，这类问题的一般是通过证明线面垂直来证明第(2)问的解决过程中要清楚二面角PEFB的平面角是哪一个，并且利用这个角的大小找出四棱锥中各线、面的位置关系，确定各侧面三角形的形状，即可求四棱锥的侧面积,(1)求证：AC平面FBC； (2)求四面体FBCD的体积； (3)线段AC上是否存在点M，使EA平面FDM？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由,所以AC2B

17、C2AB2，所以ACBC. 又因为ACFB，BCFBB，BC，FB 平面FBC， 所以AC平面FBC. (2)解因为AC平面FBC，FC 平面FBC， 所以ACFC. 因为CDFC，ACCDC，所以FC平面ABCD. 在等腰梯形ABCD中可得CBDC1，所以FC1.,(3)解线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA平面FDM.证明如下：,连接CE，与DF交于点N，取AC的中点M，连接MN. 因为四边形CDEF是正方形，所以点N为CE的中点 所以EAMN.因为MN 平面FDM，EA 平面FDM， 所以EA平面FDM.所以线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA平面FDM成立,考点四线

18、面角、二面角的概念及应用 【例4】 (1)(2018全国卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_,规律方法(1)解决这类问题的关键是根据线面角、二面角的定义找出或做出这个角，利用线面角或二面角的大小计算几何体中的相关的量 (2)找出或做出线面角和二面角的平面角都要根据其定义，恰当地利用图形中的垂直关系如(1)题中圆锥的轴线与底面垂直，(2)题中PM与AB，CM与AB垂直,思维升华 1.证明线面垂直的方法：,(1)线面垂直的定义：a与内任何直线都垂直a；,(3)判定定理2：ab，ab； (4)面面垂直的性质：，l，a ，ala； 2.证明面面垂直的方法 (1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； (2)判定定理：a ，a.,3.转化思想：三种垂直关系之间的转化,易错防范 1.证明线面垂直时，易忽视面内两条线为相交线这一条件. 2.面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易忽视. 3.面面垂直的性质定理