3.3.2简单的线性规划问题.ppt

1、,3.3.2简单的线性规划问题（2课时）,一、导学提示，自主学习 二、新课引入，任务驱动 三、新知建构，典例分析 四、当堂训练，针对点评 五、课堂总结，布置作业,3. 3.2简单线性规划问题（2课时）,一、导学提示，自主学习,1.本节学习目标 （1）了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、最优解等相关的基本概念 （2）了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大（小）值 . （3）掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学 模型并运用图解法进行求解的基本方法和步骤 学习重点：线性规划的图解法 学习难点：寻求线性规划问题的最优解,一、导学提示，自主学习,2.本节主要题型 题型

2、一 求线性目标函数的最值 题型二 线性规划的实际应用 3.自主学习教材P87-P91 3. 3.2简单的线性规划问题,1、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：,2、二元一次不等式组表示的平面区域,“直线定界、特殊点定域”,各个不等式所表示的平面区域的公共部分,二、新课引入，任务驱动,一.知识回顾：,通过本节的学习你能掌握简单的线性规 划问题的解法及步骤吗？,二.任务驱动：,二、新课引入，任务驱动,三、新知建构，典例分析,一.简单线性规划有关概念 二.简单线性规划问题解题步骤,某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品, 每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙种产品使用4个

3、B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和 12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有 可能的日生产安排是什么?,若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?,三、新知建构，典例分析,问题引入:,把问题1的有关数据列表表示如下:,设甲,乙两种产品分别生产x,y件,将上面不等式组表示成平面上的区域,区域内 所有坐标为整数的点P(x,y),安排生产任务x,y 都是有意义的.,设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:,问题：求利润2x+3y的最大值.,若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:,当x,y在满足上述约束条

4、件时,z的最大值为多少?,当点P在可允许的取值范围变化时,M（4，2）,问题：求利润z=2x+3y的最大值.,象这样关于x,y一次不等 式组的约束条件称为 线性约束条件,Z=2x+3y称为目标函数,(因这里 目标函数为关于x,y的一次式,又 称为线性目标函数,在线性约束下求线性目标函数 的最值问题,统称为线性规划,一.线性规划有关概念:,满足线性约束的解(x,y)叫做可行解,所有可行解组成的集合叫做可行域,使目标函数取得最值的可行解叫做这个 问题的最优解,变式：若生产一件甲产品获利1万元， 生产一件乙产品获利3万元，采用哪种 生产安排利润最大？,N（2，3）,变式：求利润z=x+3y的最大值.

5、,线性规划有关概念:,17,2、画： 画出线性约束条件所表示的可行域；,3、移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；,4、求：通过解方程组求出最优解；,5、答：作出答案。,1、找 找出线性约束条件、目标函数；,二.线性规划问题解题步骤:,三、新知建构，典例分析,说明:,二、最优解一般在可行域的顶点处取得，也有可能在边界处取得,四、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关， 而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关,一、先定可行域和平移方向，再找最优解。,三、新知建构，典例分析,三、求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意

6、义 -与y轴上的截距相关的数。,2 .典例分析： 题型一 求线性目标函数的最值 题型二 线性规划的实际应用,三、新知建构，典例分析,x4y3，,例1.已知变量 x，y满足 3x5y25，,求 z2xy 的,x1， 最大值和最小值 思维突破：把z 看成直线在y 轴上的截距，先画出可行域， 再求z 的最值,三、新知建构，典例分析,题型一.求线性目标函数的最值:,自主解答：作出不等式组 所表示的可行域，如图 :,设直线 l0：2xy0，直线 l：2xyz，则 z 的几何意义,是直线 y2xz 在 y 轴上的截距,显然，当直线越往上移动时，对应在 y 轴上的截距越大， 即 z 越大；当直线越往下移动时

7、，对应在 y 轴上的截距越小， 即 z 越小,三、新知建构，典例分析,作一组与直线 l0 平行的直线系 l，上下平移，可得：,点 A(5,2)时，zmax25212； 当直线 l 移动到直线 l2 时，即过,当直线 l 移动到直线 l1 时，即过 点 B(1,1)时，zmin211,正确作出可行域后，将目标函数变为直线方程,的斜截式的形式，应注意该直线在y 轴上的截距与目标函数z 取值的关系再注意该直线的斜率与可行域边界直线的斜率关 系，以便准确找到最优解,3.,三、新知建构，典例分析,y1，,例2.已知实数 x，y 满足 y2x1， xym，,如果目标函数 z,xy 的最小值为1，则实数 m

8、(,),A7,B5,C4,D3,思维突破：画出x，y 满足的可行域，可得直线y2x1 与直线xym 的交点使目标函数zxy 取得最小值,三、新知建构，典例分析,答案：B,三、新知建构，典例分析,线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用: 一、在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务； 二、给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用：,三、新知建构，典例分析,题型二.线性规划的实际应用:,例3. 营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白

9、质,0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪,花费28元;而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白质,0.07kg脂肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg？,三、新知建构，典例分析,分析：将已知数据列成表格,三、新知建构，典例分析,解：设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z，那么,目标函数为：z28x21y,作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域,1、找,三、新知建构，典例分析,把目标函数z28x21y 变形为,x,y,o,/ 57,5

10、/7,6/7,3/7,3/7,6/7,它表示斜率为 纵截距随z变化的一组平行直线,是直线在y轴上的截距，当截距最小时，z的值最小。,M,如图可见，当直线z28x21y 经过可行域上的点M时，纵截距最小，即z最小。,2、画,3、移,M点是两条直线的交点，解方程组,得M点的坐标为：,所以zmin28x21y16,由此可知，每天食用食物A143g，食物B约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元。,4、求,5、答,31,解线性规划问题的步骤：,（1）2、画： 画出线性约束条件所表示的可行域；,（2）3、移： 在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点

11、 且纵截距最大或最小的直线；,（3）4、求：通过解方程组求出最优解；,（4）5、答：作出答案。,1、找 找出线性约束条件、目标函数；,三、新知建构，典例分析,例4.某工厂现有两种大小不同规格的钢板可截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规示 ：格的小钢板的块数如下表所,解：设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，钢板总张数为Z则,2x+y15,x+2y18,x+3y27,x0,y0,某顾客需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，若你是经理,问各截这两种钢板多少张既能满足顾客要求又使所用钢板张数最少。,分 析 问 题:,标目函数: z=x+y,2x+y=15,x+3y=27,

12、x+2y=18,x+y =0,直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.,作出直线L:x+y=0，,目标函数:z= x+y,A(3.6,7.8),当直线L经过点A时z=x+y=11.4,x+y=12,解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8),2,4,6,18,12,8,27,2,4,6,8,10,15,但它不是最优整数解.,作直线x+y=12,约束条件:,画可行域,平移L找交点及交点坐标,调整优解法,2x+y=15,x+3y=27,x+2y=18,x+y =0,经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)且和原点距离最近的直线是x+y=12，它们是最优解.,作

13、出一组平行直线t = x+y，,目标函数t = x+y,打网格线法,在可行域内打出网格线，,当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解，,将直线x+y=11.4继续向上平移，,1,2,1,2,18,27,15,9,7,8,在可行域内找出最优解、线性规划整数解问题的一般方法是：,1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；（在包括边界的情况下） 2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。 3.在可行域内

14、找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解,例5.一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t、硝酸盐18t；生产1车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐1t、硝酸盐15t。现库存磷酸盐10t、硝酸盐66t，在此基础上生产这两种混合肥料。列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域。并计算生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？,解：设x、y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，于是满足以下条件：,x,y,o,例6 在上一节例4（P85）中，若生产1车皮甲种肥料，产生的 利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利

15、润为5000元， 那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大利润？,解：设生产甲种肥料x车皮、乙种肥料y车皮，能够产生利润 Z万元。,目标函数为：,可行域如图。,把z=x+0.5y变形为,得到斜率为-2，在y轴上的截距为2z, 随z变化的一族平行直线。,由图可以看出，当直线y=-2x+2z经过 可行域上的点M时，截距2z最大，即 Z最大。,解方程组,得M的坐标为（2，2）,所以,答：生产甲种、乙种肥料各2车皮，能够 产生最大利润，最大利润为3万元。,即先求非整数条件下的最优解，调整Z的值使不定方程Ax+By=Z存在最大（小）的整点值，最后筛选出整点最优解,即先打网格，描出可行域内的整点

16、，平移直线，最先经过或最后经过的整点坐标即为最优整解,线性规划求最优整数解的一般方法:,1.平移找解法：,2.调整优解法：,三、新知建构，典例分析,x2y40，,1已知实数 x，y 满足约束条件 2xy20， 3xy30，,则目标,函数 zx2y 的最大值的可行解为_,(2,3),四、当堂训练，针对点评,变式训练1-1：,xy50，,2已知 x，y 满足 x3， xyk0，,且 z2x4y 的最小值,),为6，则常数 k( A2,B9,C3,D0,解析：画图后知：当 x3 时 z2x4y 取最小值6.,D,四、当堂训练，针对点评,2.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、

17、2000元，甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工1件甲所需工时分别为1h、2h，A、B两种设备每月有效使用台数分别为400h和500h。如何安排生产可使收入最大？,解：设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为Z3x2y，满足的条件是：,变式训练2-1：,Z 3x2y 变形为它表示斜率为 的直线系，Z与这条直线的截距有关。,X,Y,O,400,200,250,500,当直线经过点M时，截距最大，Z最大。,M,解方程组,可得M（200，100）,Z 的最大值Z 3x2y800,故生产甲产品200件，乙产品100件，收入最大，为80万元。,五、课堂总结，布置作业,1课堂总结： （1）涉及知识点： 简单的线性规划问题。 （2）涉及数学思想方法： 转化与回归思想；数形结合思想；分类与整合 思想。,线性目标函数目标函数是关于变量的一次解析式,1.目标函数要求最值的函数,线性规划在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题,可行解满足线形约束条件的解叫做可行解,可行域由所有可行解