概率论1.3 2课件

1、1.3 条件概率,在实际问题中，除了要考虑事件A的概率P(A)而外，还要考虑事件A在“某事件B已经发生”这一附加条件下的概率.这样的概率，人们称之为条件概率，记为 P(A|B).相应地，将P(A)称为无条件概率.,严格说来，概率都是有条件的，因为试验都是在一组固定的条件下进行的.,我们这里所说的条件，无非是指在原有的一组固定条件外再增加一个附加条件:“B发生”.,例1 两台机床加工同一种零件共100个，结果如下：,设 A=“从100个零件中任取一个为合格品”， B=“从100个零件中任取一个是第一台机床加工的”，,求(a)P(A)和P(B)； (b)P(AB)； (c)P(A|B)和P(B|A

2、c).,解:(a)P(A)=85/100=0.85，,P(B)=40/100=0.40；,(b)P(AB)=35/100=0.35；,(c)P(A|B)=35/40=0.875，,P(B|Ac)=5/150.333.,比较(a)与(c)中的结果 P(A)=0.85，P(A|B)=0.875 ； P(B)=0.40 ，P(B|Ac)= 1/30.333； 可见 P(A|B)P(A)，而P(B|Ac)P(B).,这说明条件概率与无条件概率一般是不等的，且谁大谁小也不能肯定.,由例1的结果 P(A|B)=0.875，P(AB)=0.35， P(B)=0.40 还可以验证下面的式子成立： P(A|B)

3、= P(AB)/P(B)(P(B)0),而式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)0) 即,注意式子 P(A|B)=P(AB)/P(B)(P(B)0) 的成立不是偶然的，是普遍规律，下面就古典概率的情况证明之.,设样本空间S=e1,e2,en，其中导致A，B和AB发生的基本事件分别为m ，k ，r个(rm，rk).,如果B发生，则导致B发生的k个基本事件中有一个出现，在这个条件下导致A发生的基本事件仅有r个.,故,同理可证,但是，这个普遍规律不能在一般的情况下用纯数学的方法推导出来，下面就将它作为条件概率的定义，叙述如下：,定义 设A和B为任意两个事件，且P(B)0，则称比值 P(A

4、B)/P(B) 为事件A在事件B发生的条件下的条件概率，记作 P(A|B)=P(AB)/P(B).,即,定理 条件概率P(AB)/P(B)(P(B)0)满足概率公理化定义中的公理13.,证明 ()P(A|B)=P(AB)/P(B)0.,()P(S|B)=P(SB)/P(B)=P(B)/P(B)=1.,()设事件A1,A2,An ,是互不相容的，则 A1B,A2B,AnB, 也互不相容.,因此 P(A1+A2+An +)|B =P(A1|B)+P(A2|B)+P(An|B)+.,这就证明了条件概率的完全可加性.,这就证明了条件概率的完全可加性.,由于条件概率满足概率公理化定义中的三条公理，所以由

5、这些公理推得的一切结果对于条件概率同样成立.,即,推论1 P(|B)=0.,推论2 设A1,A2,An是互不相容的事件，则 P (A1+A2+An +)|B =P(A1|B)+P(A2|B)+P(An|B).,推论3 0P(A|B)1.,由此在前面1.3.2古典概率一节中证明过的7条概率性质都适用于条件概率.,即()对任一事件A，有0P(A|B)1；,()P(S|B)=1；,()若事件A1,A2,An是互不相容的，则 P (A1+A2+An +)|B =P(A1|B)+P(A2|B)+P(An|B).,()P(Ac|B)=1P(A|B).,()P(|B)=0.,()若AC，则P(A|B)P(C

6、|B)，且 P (CA)|B=P(C|B)P(A|B).,()(一般概率的加法公式)对任二事件A、C有 P(AC|B)=P(A|B)+P(C|B)P(AC|B).,由条件概率的定义式立即可得 P(AB)=P(B)P(A|B)，P(B)0.,类似地有 P(AB)=P(A)P(B|A)，P(A)0.,这就是所谓的概率乘法公式，这个结论可以写成下面的定理.,定理(乘法定理)两个事件积的概率等于其中一个事件的概率与另一事件在前一事件发生条件下的条件概率的乘积，即,P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B).,乘法定理很容易推广到个事件上去.,定理 设A1,A2,An为n个事件，n2，且P(

7、A1A2An-1)0，则有,P(A1A2An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2)P(An| A1A2An-1).,即,证 由于,故,例2 设某种动物由出生算起活20岁以上的概率为0.8，活25岁以上的概率为0.4.现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设 A=“能活20岁以上”，B=“能活25岁以上”， 则 P(A)=0.8，P(B)=0.4， 而所求的概率为 P(B|A)=P(AB)/P(A).,由于BA，故AB=B，于是 P(B|A)=P(AB)/P(A)=P(B)/P(A)=0.4/0.8=0.5.,例3 包装了的玻璃器皿第一次扔下被打破的概

8、率为0.4，若未破，第二次扔下被打破的概率为0.6，若又未破，第三次扔下被打破的概率为0.9，今将这种包装了的器皿连续扔三次，求器皿打破的概率？,解一 设 器皿被打破的事件为A， 器皿第i次扔下被打破事件为Ai (i=1,2,3)， 则,依题意知：,从而,解二：,显然，,是互不相容的，故,全概率公式,在概率的计算中，人们是希望通过已知的简单事件的概率去求未知的较复杂事件的概率.,在这里，全概率公式起了很重要的作用，先看一个例子.,例4 设袋中装有十个阄，其中8个是白阄，两个是有物之阄.甲、乙二人依次抓取一个，求每人抓得有物之阄的概率？,解 设A、B分别为甲、乙抓得有物之阄的事件. 显然，P(A

9、)= 2/10，下面求P(B).,因为B只有当A发生或Ac发生时才能发生，即 BA+Ac， 所以 B=B(A+Ac)=BA+BAc.,因 A与Ac 互不相容，故 BA与BAc 也互不相容，,由概率加法公式和乘法定理得,此结果说明，抓到有物之阄的概率与抓阄的次序无关，它的一般情况已在古典概率的例题中进行了介绍.,从例2求P(B)的过程看，关键是利用互不相容的事件A与Ac，A+AcB，把B分解为BA与BAc之和，然后利用概率加法公式和乘法定理求得P(B).,一般有下面的定理.,定理 (全概率公式)设A1,A2,An是互不相容的事件，且P(Ai )0(i=1,2,n)，若对任一事件B，有A1+A2+

10、AnB，则,证 因A1+A2+AnB，故 B=B(A1+A2+An)=BA1+ BA2+BAn.,由于A1,A2,An互不相容，故BA1,BA2,BAn也互不相容.,由概率加法公式和乘法定理得,例4 一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而产品中的次品率分别为5%，4%，2%.今将这些产品混在一起，并随机地抽取一个产品，问它是次品的概率为多少？,解 设事件A1,A2,A3分别表示抽到的产品是甲、乙、丙车间生产的产品；事件B表示抽到的一个产品是次品.,由于BA1+A2+A3，且A1,A2,A3互不相容，故由全概率公式,又因,故,贝叶斯(B

11、ayes)公式,仍从例子(例4)讲起.,例5 一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而产品中的次品率分别为5%，4%，2%.今将这些产品混在一起，并随机地抽取一个产品，问它是次品的概率为多少？若抽到的一件产品是次品，试问这件次品是甲、乙、丙车间生产的概率各为多少？又哪一个概率最大？,解 设事件A1,A2,A3分别表示抽到的产品是甲、乙、丙车间生产的产品；事件B表示抽到的一个产品是次品，则问题即为求P(A1|B)，P(A2|B)，P(A3|B).,由条件概率的定义，并利用乘法定理和全概率公式得,同理可得,由此可知，抽出的次品是乙车间生产的

12、概率最大.,在本例中，若将Ai(i=1,2,3)看成是引起B发生的“原因”，那么此例的问题可以这样提出：,若在实验中B发生了，问引起B发生的原因是Ai (i=1,2,3)的概率是多少？,又哪一个原因发生的可能性最大？,类似的问题是很多的.,例如，在诊病问题中，已知出现某种症状有多种原因，假如在一次诊病中出现了这种症状，就需要研究引起这种症状的各种病因的概率是多少？ 哪一种病因的概率最大？,解决这样的问题的方法，就是如下的贝叶斯(Bayes formula)公式.,定理 (贝叶斯公式)设A1,A2,An是互不相容的事件，且P(Ai)0(i=1,2,n)，若对任一事件B，有 A1+A2+AnB，且

13、P(B)0，则,证,对分子P(Ai)分母P(B)分别应用乘法定理和全概率公式即得贝叶斯公式.,贝叶斯公式中的P(Ai)称为先验概率，这种概率一般在试验前就是已知的，它常常是以往经验的总结.,P(Ai|B)称为后验概率，它反映了试验之后对各种原因发生的可能性大小的新知识.,贝叶斯公式实际上就是根据先验概率(Prior Probability)求后验概率(Posterior Probability)的公式.,在例5“一个工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占总产量的25%，35%，40%，而产品中的次品率分别为5%，4%，2%.今将这些产品混在一起，并随机地抽取一个产品，若抽

14、到的一件产品是次品，试问这件次品是甲、乙、丙车间生产的概率各为多少？又哪一个概率最大？”中若设A1,A2,A3分别表示抽到的产品是甲、乙、丙车间生产的产品；B表示抽到的一个产品是次品，则,先验概率P(Ai)(i=1,2,3)的值依次为 25%，35%，40%；,而后验概率P(Ai |B)(i=1,2,3)的值依次为 0.362，0.406，0.232.,例6设患肺病的人经过检查，被查出的概率为0.95，而未患肺病的人经过检查，被误认为有肺病的概率为0.002；又设在全城居民中患有肺病的概率为0.1%. 若从居民中随机抽一人检查，诊断为有肺病，求这个人确实患有肺病的概率？,解 设A表示某居民患肺病的事件，则Ac即表示某居民无肺病.设B为检查后诊断为有肺病的事件，于是问题就是求 P(A|B).,由于BA+Ac，又A与Ac互不相