2.3连续型随机变量及其概率密度(1)

1、1,2.3 连续型随机变量及其概率密度,一、连续型随机变量 二、常见连续型分布,2,设随机变量X的分布函数为F(x), 如果存在非负函数f(x), 使得对于任意 实数x,有,一、连续型随机变量,定义:,则称X为连续型随机变量,其中函数 f(x)称为X的概率密度函数,简称概率密 度,3,可知,连续型随机变量的分布函数 F(x)是整个实轴上的连续函数,若概率密度f(x)在点x连续,则 F (x)=f(x),f(x)的性质:,(1) f(x)0, x+,(2),4,P(x1Xx2),(3) P(x1Xx2)=F(x2) F(x1),这条性质是密度函数的几何意义,5,注: 对连续型随机变量X和任意实数

2、a, 总有P(X=a)=0,即, 取单点值的概率为0, a及 0,有,又,得 P(X=a)=0,X=aa Xa,0P(X=a)P(a Xa) =F(a)F(a ),6,故:,(1) P(A)=0,A是不可能事件,(2) 连续型随机变量X落在区间的概率 与区间是否包含端点无关,即: P(aXb)=P(aXb) =P(aXb) =P(aXb),7,例1 设连续型随机变量X的概率密度为 f(x)=Ae|x| , x+,试求: (1)常数A (2) P(0X1) (3) X的分布函数,解:,(1),=2A=1,8,(2) P(0X1),(3),x0,x0,9,X的分布函数为:,综合得:,10,例2 设

3、随机变量X的概率密度为,试求X的分布函数,解:,当x0时,=0,当0x1时,11,当1x2时,当x2时,=1,12,综上所述,可得随机变量X的分布函数:,13,试求: (1)系数A和系数B (2) X的概率密度 (3),例3 设连续型随机变量X的分布函数为,解:,(1),F(+)=1,=A=1,14,右连续:,得: A=1, B= 1,(2),=A+B,=0, f(x)=F (x),15,(3),16,二、常见连续型分布,1. 均匀分布,X的概率密度为:,称X服从区间a,b上的均匀分布,记为 XUa,b,17,由上式求得X的分布函数:,若XUa, b, c, c+la, b, 有:,P(cXc

4、+l ),18,这说明:,X落在a,b的子区间内的概率与子 区间的长度成正比,而与子区间的位置 无关,可见,落在长度相等的各个子区间 的可能性相等,19,例4 设随机变量X在(2,8)上服从均匀分 布,求二次方程y2+2Xy+9=0有实根的概率,解:,方程有实根=4X2 360,X3或X3,已知,P有实根=PX3+PX3,20,2. 指数分布,X的概率密度为:,称X服从参数为的指数分布,由上式求得X的分布函数:,21,例5 某仪器装有三只独立工作的同型号 电子元件,其寿命(单位:小时)都服从同一 指数分布,概率密度为,试求: 在仪器使用的最初200小时内,至少 有一只电子元件损坏的概率,解:,

5、以Xi (i=1,2,3)表示第i只元件的寿命,则Xi的概率密度为,22,以Ai (i=1,2,3)表示事件“在最初200小 时内,第i只元件损坏”,则A1, A2, A3相互独立,且 P(Ai)=P(0Xi200) (i=1,2,3),23,所求概率为: P(A1A2A3),=11P(A1)1P(A2)1P(A3),=1e1,24,3. 正态分布,正态分布是实践中应用最为广泛,在 理论上研究最多的分布之一,故它在概率 统计中占有特别重要的地位,X的概率密度为:,其中 , ( 0)为常数,25,称X服从参数为 ,的正态分布或高斯分布,记为 XN( , 2),o x,f(x),可求得X的分布函数

6、为:,26,当 =0, =1时,称X服从标准正态分布N(0,1),其概率密度 (x)及分布函数(x)为:,27,(2)N( , 2)的分布函数F(x)与N(0,1)的 分布函数(x)的关系:,N(0,1)的性质:,(1)对称性: (x)= (x),x,o,-x,(x)=1(x), (x),28,令,得,(3),(4),ab, XN( , 2) ,有:,29,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.,正态分布表,表中给的是x0时, (x)的值.,当-x0时,30,若,N(0,1),若 XN(0,1),31,由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几

7、乎全部集中在-3,3区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X| 1)=2 (1)-1=0.6826,P(|X| 2)=2 (2)-1=0.9544,P(|X| 3)=2 (3)-1=0.9974,3 准则,32,将上述结论推广到一般的正态分布,时，,这在统计学上称作“3 准则” （三倍标准差原则）.,33,例6（1）假设某地区成年男性的身高（单 位：cm）XN(170,7.692),求该地区成年 男性的身高超过175cm的概率。,解: (1) 根据假设XN(170,7.692)，则,故事件X175的概率为,P X175=,=0.2578,34,解: (2

8、) 设车门高度为h cm,按设计要求,P(X h)0.01,或 P(X h) 0.99，,下面我们来求满足上式的最小的 h.,（2）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在0.01以下来设计的，问车门高度应如何确定?,35,因为XN(170,7.692),故 P(X h)=,0.99,查表得 (2.33)=0.99010.99,所以 =2.33,即 h=170+17.92 188,设计车门高度为 188厘米时，可使 男子与车门碰头 机会不超过0.01.,36,例7 设XN(3,4),试求:,(1) P(2X5),(2) P(2X7),(3)若P(Xc)=P(Xc),求c的值,解:,又, =3, =2,37,(1) P(2X5),(2) P(2X7),= 0.5328,=F(5)