弹性力学有限元第八章-FEM部分之二-桁架-轴力构件-梁-和框架

1、河海大学 机电工程学院 力学教研室,第八章 桁架 轴力构件 梁和框架的有限元分析,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,谨向徐芝纶院士表示深深的敬意,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-1 桁架,桁架是一种由直杆组成并在端点处通过螺栓、铆钉、销钉等连接在一起的工程结构；平面桁架指的是所有杆件均在同一平面内，且施加在桁架上的力也在同平面；桁架的杆件通常认为是二力杆。,静定桁架,超静定桁架,理论力学：截面法，节点法,结构力学：力法,有限单元法,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-1 桁架,参照上一章的推导过程，易知等截面轴心受力杆的等效刚度为：,有限元公式,第八章 桁架 轴

2、力构件梁框架的有限元分析,8-1 桁架,整体坐标系,离散化后确定单元和节点,整体坐标系 OXY, 描述节点的位置，单元的方向；, 施加约束及荷载；, 表示问题的解，即在整体坐标方向上每个节点的位移。,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-1 桁架,局部坐标系,整体坐标下位移和 局部坐标下位移的关系：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-1 桁架,局部坐标系,整体力和局部力的关系亦有：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-1 桁架,桁架局部坐标系下内力和位移的关系,二力杆情况下，y方向的位移和力为0，因此，局部坐标系下的内力和位移有如下关系：,其中：,写成矩阵形式：,

3、第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-1 桁架,单元刚度矩阵的导出,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-1 桁架,单元刚度矩阵的导出,单元刚度矩阵则有：,单元刚度矩阵得出后，组装总刚矩阵，应用边界条件和荷载条件，求解位移，并计算出平均应力。,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-2 轴力构件,通过轴力构件了解一维单元及其形函数的基本理论。,实际工程的型钢柱,离散化,每个单元所受到的荷载均垂直于截面形心。,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-2 轴力构件,线性单元,竖向位移仅仅是 y 的函数，用一系列的线性函数近似反映柱子的变形，从而描述各个单元上的变形情况。

4、,考虑单个单元,单元的变形特性可用节点值表示,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-2 轴力构件,线性单元,Si，Sj单元的形函数 (Shape Function),第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-2 轴力构件,线性单元,在节点i，y = 0，Si=1； Sj=0,在节点 j，y = l，Si=0； Sj=1,形函数在其对应的节点处取值为1，在相邻的节点处取值为0。,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-2 轴力构件,刚度矩阵和荷载矩阵,利用最小能量原理导出轴向荷载作用下的刚度矩阵和荷载矩阵。,用线性拟合近似反映实际变形。,单元的应变能,系统总势能是总应变能和外力

5、做功之差：,其中nel为单元的个数，nnd为节点的个数,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-2 轴力构件,刚度矩阵和荷载矩阵,最小能量原理要求系统总势能取极(小)值，则根据极值要求：,考虑其中一个单元：,单元的应变：,单元的应变能：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-2 轴力构件,刚度矩阵和荷载矩阵,将应变能对ui,uj求导数,用矩阵表示为：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-2 轴力构件,刚度矩阵和荷载矩阵,分别计算单元的刚度矩阵和荷载矩阵，然后将其组合形成总刚矩阵和总荷载矩阵。,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-2 轴力构件,轴力构件的计算实例

6、,确定不同楼层处柱子的竖向位移和每个柱段的应力。其中,离散化后如图所示，所有单元具有相同的长度，截面面积和物理属性。,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-2 轴力构件,轴力构件的计算实例,由于各单元的属性均相同，因此所有单元的单元刚度矩阵也相同。,组装为总刚度矩阵为：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-2 轴力构件,轴力构件的计算实例,总载荷矩阵：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-2 轴力构件,轴力构件的计算实例,应用边界条件 u1=0：,求解线性方程组，得,由虎克定律求应力,同法求其他单元应力，此处不再重复,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-3

7、 梁,梁的变形,挠度v，转角q,忽略轴向变形的情况下，梁的主要变形是：,变形后的曲线-挠曲线方程,梁的变形与内力(弯矩M，剪力FS)的关系：,挠度与转角的关系：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-3 梁,梁单元,每个梁单元有4个节点值(两个节点分别的挠度和转角)：,用4个未知系数的三次多项式(Hermite)形函数来描述梁的位移特性：,形函数要求满足：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-3 梁,梁单元,挠度可写为：,形函数可由下式给定,显然：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-3 梁,梁单元,根据最小能量原理推导梁单元的刚度矩阵：,单元应变能(忽略剪应力对应

8、变能的影响)：,单元应变能：,上式中：,显然要求出形函数的二阶导数,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-3 梁,梁单元,形函数的二阶导数：,梁的应变能：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-3 梁,梁单元,根据最小能量原理：,其中：Uk取,因为：,所以：,展开：,梁的单元刚度矩阵,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-3 梁,荷载矩阵,荷载矩阵的作用是将作用在梁上的荷载等效到梁单元的节点上,等效荷载可以通过能量法或者直接计算得到。,常见荷载作用的等效荷载可参考结构力学位移法中的载常数。例如：,多种荷载作用下的等效荷载可应用叠加原理。参见 结构力学,第八章 桁架 轴力

9、构件梁框架的有限元分析,8-3 梁,算例,已知工字形截面(W31052)悬臂梁，截面面积 A = 6650 mm2，惯性矩 I = 118.6106mm4，弹性模量 E = 200GPa，所受到的均布荷载为 q = 25000N/m，确定各节点的挠度和转角，并计算节点1和节点2的反力和弯矩。,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-3 梁,算例,本问题离散化为2个单元，3个节点。,单元刚度矩阵的计算：,单元：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-3 梁,算例,单元：,单元：,将对应的节点自由度列于旁边：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-3 梁,算例,组合成总刚度矩

10、阵：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-3 梁,算例,荷载矩阵：,单元相当于两端固定的载常数：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-3 梁,算例,总荷载矩阵：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-3 梁,算例,系统方程,边界条件：,节点1的挠度转角为0：,节点2的挠度为0：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-3 梁,算例,求解系统方程组得到：,将求出的位移代入公式：,求出反作用力向量：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-4 框架(刚架),框架单元,框架,框架单元,2个节点，每个节点3个自由度，框架单元的刚度矩阵是66阶,第八章 桁架 轴力

11、构件梁框架的有限元分析,8-4 框架(刚架),局部自由度和整体自由度的转换矩阵,局部自由度(两个正交方向的位移，一个转角)通过转换矩阵与整体自由度联系起来。,其中转换矩阵：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-4 框架(刚架),框架单元的刚度矩阵,框架单元不仅考虑单元的弯曲(梁单元)，而且考虑单元的拉伸和压缩(轴力单元)。,局部坐标下梁单元,局部坐标下轴力单元,两者合并，可得到局部坐标系下框架单元的刚度矩阵,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-4 框架(刚架),框架单元的刚度矩阵,局部坐标系下框架单元的刚度矩阵：,整体坐标系下的单元刚度矩阵,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有

12、限元分析,8-4 框架(刚架),算例,图示悬臂框架，已知其弹性模量 E = 30106lb/in2，截面面积 A 和惯性矩 I 示于图中，该框架两端固定，试确定如图所示的均布荷载作用下的框架的变形。,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-4 框架(刚架),算例,离散化,2个单元，3个节点,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-4 框架(刚架),算例,单元,整体坐标与局部坐标方向相同，则单元的刚度矩阵就是局部坐标下的刚度矩阵,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-4 框架(刚架),算例,单元,单元局部坐标下的刚度矩阵,单元的转换矩阵,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分

13、析,8-4 框架(刚架),算例,单元,单元的转换矩阵,单元整体坐标下的刚度矩阵,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-4 框架(刚架),算例,构造总体刚度矩阵,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-4 框架(刚架),算例,荷载的处理,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-4 框架(刚架),算例,系统方程,边界条件：,解得：,第八章 桁架 轴力构件梁框架的有限元分析,8-5 本章中对应的ANSYS单元类型,桁架单元 Link1 Link8,二维桁架单元Link1： 用于分析平面桁架问题，每个单元含有两个节点，每个节点含有(Ux,Uy)两个自由度。,输入量包括节点位置，杆横截面面积和弹性模量，以及可选的预应变；,荷载只能施加在节点上，而不能将荷载施加在单元的表面上；,三维桁架单元Link8：分析空间桁架问题，每个单元含有(Ux,Uy,Uz)三个自由度，其他信息类似于Link1。,第八章 桁架 轴力构件梁框架