结构力学-第五章-力法2

1、31,结构力学,Structural Mechanics,周 强,土木工程学院风工程试验研究中心 E-mail：,5-2 力法的基本概念,a 原结构,b 基本体系,位移协调条件：,基本体系在X1方向的位移为零，1=0 基本体系在X2方向的位移为零, 2=0,得两次超静定的力法基本方程,位移系数，为基本结构在单位力Xj=1单独作用下沿Xi方向产生的位移；,超静定次数：,两次超静定,对于n次超静定结构，力法基本未知量是n个多余未知力X1、X2、Xn，从原结构去掉n个多余约束得到基本结构。当原结构多余未知力作用处位移为零时，可建立n次超静定结构的力法基本方程：,上式由n个多余约束处n个变形条件组成的

2、荷载作用下n次超静定结构的力法基本方程，称为力法的典型方程。,5-2 力法的基本概念,力法的典型方程,位移符号采用两个下标： 第一个下标表示位移的方向； 第二个下标表示产生位移的原因。,单位力 产生的沿 方向的位移，也称柔度系数；,荷载产生的沿 方向的位移。,位移正负号规定：当位移 或 方向与所设相应力Xi正方向相同时，位移为正，反之为负。,物理意义： 基本结构在X1、X2、Xn和荷载共同作用下沿n个多余未知力方向的位移应与原结构的相应位移相等。,5-2 力法的基本概念,式中由柔度系数 组成的矩阵称为柔度矩阵。根据位移互等定理： ，柔度矩阵是对称矩阵。 主对角线上的系数 、 、 称为主系数，恒

3、为正。 主对角线外的系数 称为副系数，可为正、负或零。,力法基本方程的矩阵形式：,5-2 力法的基本概念,系数和自由项的计算： 所有系数和自由项为基本结构在已知力作用下的位移，可用位移计算公式求得，平面结构的计算式为：,对具体结构，一般只计算其中一项或两项，如梁和刚架只考虑弯矩项等。,5-2 力法的基本概念,求得系数和自由项后，代入力法典型方程求解多余未知力X1、X2、Xn，计算内力、绘制内力图，最终内力计算可采用两种方法： 方法一：将多余未知力和外荷载同时作用于基本结构，根据静力平衡条件计算内力。 方法二：利用叠加原理，按下式计算内力：,5-2 力法的基本概念,5-3 荷载作用下超静定结构的

4、内力计算,例5-1 绘制图示等跨、等刚度（EI为常数）连续梁的弯矩图,q,1、确定超静定次数，选取基本结构,连续梁取简支梁式基本结构最便于计算。,基本体系,2、根据原结构已知变形条件，建立力法典型方程,原连续梁受力变形时，结点B、C处变形连续，左、右截面不发生相对转角，力法典型方程：,3、求系数和自由项,用力法计算超静定梁和刚架，常忽略剪力和轴力对位移的影响，而只考虑弯矩的影响。,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,4、求多余未知力,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,将以上所得各位移系数和自由项代入力法典型方程即有,解得：,X1为负号表示其方向

5、与所设方向相反，截面B 应为上边缘受拉。,思考：荷载作用下，超静定结构的反力与梁的刚度有关吗？,5、绘制最终弯矩图,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,例5-2 用力法计算图示刚架，作弯矩图。,解:(1)确定超静定次数并选定基本结构。,原结构,基本体系,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,作 、 、 图,(3) 计算系数及自由项。,(2) 列出力法典型方程。,（a）,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,两个梯形相乘,可将梯形划分为两个三角形相乘.,再令图a与图b中的C d D相图乘，得,将结果相加，得最终图乘结果：,令图a与图b中的c d C相图乘，得,5-3 荷载作用下超静定结构

6、的内力计算,计算ij,由图的 与 的对称性,有,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,将 、 、 、 代入式(a)并消去公因子 得,(4) 解方程求未知力。,、 即为原刚架上铰C两侧截面上的剪力和轴力。,解得,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,(5)计算杆端弯矩，作出的最后弯矩图。,（外侧受拉）,（内侧受拉）,（内侧受拉）,最后弯矩图,弯矩图具有反对称性质，这是由荷载与结构的对称性决定的。,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,例5-3 用力法计算图（a）所示排架，作弯矩图。已知 ， ， 。忽略排架顶部拉杆的轴向变形, 将拉杆视为刚性杆。,解:

7、 (1) 确定超静定次数并选定基本体系。,基本体系,(2) 列出力法方程。,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,(3) 计算系数及自由项。,作MP、M1、M2图。注意11与22都包括两部分，令M1图左边柱、中间柱的计算结果分别为 、,由M1图得 ，,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,计算自由项,(4) 解方程求未知力。,将计算出来的系数与自由项代入力法方程式，消去公因子后得,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,解得 ，,(5)将 、 及荷载加在基本结构上，利用平衡条件计算弯矩,表明轴力杆DE、FG均受拉。,（左侧受拉）,（左侧受拉）,（左侧

8、受拉）,作出弯矩图如图所示。,M图(kN . m),5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,例5-4 用力法计算图示桁架，作轴力图。各杆EA相同。,基本体系,(3) 计算系数及自由项。,解: (1) 确定超静定次数及选定基本体系。,(2) 列出力法方程为:,计算FN1和FNP。,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,将 、 代入式a，消去公因子 后得,(4) 解方程求未知力,负号表明杆CD 受压。,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,(5)计算轴力时应用公式：,（拉）,（压）,（拉）,（压）,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,例5-5 用力法计算图a所示组合结构。已知梁式杆 ， 压

9、杆DC、EF的， ， 拉杆AD、DE、BE的 。,解: (1) 一次超静定。,(2) 列出力法方程,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,(3) 作 、 、 、 图。,利用位移的公式：,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,自相图乘的结果为,自相图乘的结果为,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,梁的轴向变形对11的影响为,占11的0.28%，故计算11时可以略去。,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,(4) 解方程求未知力。,算得,（拉）,(5) 作内力图。,（上侧受拉）,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,讨论：由于撑杆DC、EF的存在，使梁上C、F截面出现了负弯矩，整根梁的弯矩分布比简支梁均匀。本例中拉杆与压杆的变形之比为,增减此比值，将使梁中弯矩产生变化。如减小拉杆截面, 其轴力下降，导致梁上C、F截面上负弯矩值减小；当EA30时，组合结构趋近简支梁。,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,基本体系,解: (1)原结构是三次超静定。,力法基本方程为：,例5-6 试列出用力法求解图示刚架的力法方程。,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,5-3 荷载作用下超静定结构的内力计算,可见：对称结构，当所选取的基本结构也对称时,多余未知力分成对称与反对称的两组,使得副系数32 = 23 =0, 31 =