高等数学 第二章 极限与连续 2.8 函数的连续性.ppt

1、高等数学第二章,极限与连续,第八节 函数的连续性,五、在闭区间上连续函数的性质,一、函数改变量,二、连续函数的概念,三、函数的间断点,四、连续函数的运算法则,六、利用函数连续性求函数极限,一、函数改变量,定义2.11,变量t由初值,改变到终值,则称,为变量t的改变量。,等价定义：,设函数 y= f (x)在,有定义，若自变量x,从,改变到,则函数 y 的改变量为,函数的增量,例1,设正方形边长为x，求边长改变量为x 时， 面积的增量。,解：,设正方形的面积：,当边长变为x+x时，面积为：,则面积的改变量为：,特别地，当边长由2m改变到2.05m时，面积改变量为：,特别地，当边长由2m改变到1.

2、95m时，面积改变量为：,例1,设正方形边长为x，求边长改变量为x 时， 面积的增量。,解：,设正方形的面积：,当边长变为x+x时，面积为：,则面积的改变量为：,注意：函数的改变量可以为正，也可以为负。,二、连续函数的概念,定义2.12,设函数y=f (x)在,有定义。若当x在,处取得该变量,时，有,则称函数f (x)在点,处连续。否则，间断。,例2,证明：,若函数 f (x)在点,处连续，则,令,则当,时，,即，,这样，就可以得到连续函数的等价定义。,注意：函数,在点,定义2.13,在,的某邻域内有定义，且,则称函数,(1),在点,即,(2) 极限,(3),设函数,连续，必须同时具备下列条件

3、：,存在；,有定义，,存在；,否则，间断.,若,在区间,上连续，,或称它是该区间上的连续函数.,定义2.14,注意：若,f (x)在,处左连续；,则称 f (x)在,若,处右连续。,则称 f (x)在,很显然，,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,上每一点都连续，则称,例3 证明函数,在,内连续.,证：,即,这说明,在,内连续.,同理可证： 函数,在,内连续 .,三、函数的间断点,在,在,(1) 函数,(2) 函数,不存在；,(3) 函数,存在，但,处不连续，即间断：,处不满足连续的条件，即满足,这样的点,下列三个条件之一，称函数 f (x) 在,虽有定义，但,有定义 , 且,称为函数

4、f (x) 的间断点。,在,处无定义；,定义2.15,如，函数,在点x=0处无定义，因此，在点 x=0,处间断。,例4,解：,左、右均不连续，,间断点的分类：,第一类间断点：,及,均存在，,若,称,若,称,第二类间断点：,及,中至少一个不存在，,称,若其中有一个为振荡无极限，,若其中有一个为,为可去间断点。,为跳跃间断点。,为无穷间断点。,为振荡间断点。,称,为其无穷间断点 .,为其振荡间断点 .,为可去间断点 .,例如，,显然，,为其可去间断点。,(4),(5),为其跳跃间断点。,练习：,(P86 例8),(1) 判断函数的间断点,(2),四、连续函数的运算法则,定理2.13,注意：可推广到

5、有限次四则运算的情况。,推论：,多项式函数,在,连续。,分式函数,在使得分母不为零的点连续(即在定义区间连续)。,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数仍连续,一切初等函数在定义区间内连续,例如，,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,结论,连续函数的反函数仍连续,分段函数的间断点只可能出现在分段点上。,六、利用函数的连续性求极限,例5 求,解：因函数,在 x=0处连续，则,原式=,(连续，可直接代入),解：,原式,例6 求,(不连续，不可直接代入),例7 求,解：令,则,原式,当,时，,这也就证明了，,当,时，,例8 求,解：,原式,说明：若,则

6、有,五、闭区间上连续函数的性质,定理2.14,闭区间上的连续函数必有界。,(连续必有界；有界不一定连续),定理2.15 (最大值与最小值定理),在闭区间上连续的函数，在该区间上一定有最大值,注意：若函数在开区间上连续,则结论不一定成立。,或在闭区间内有间断点，,和最小值。,定理2.16 (介值定理),注意：点不唯一。,推论(零点存在定理),几何意义：,例9,利用介值定理证明方程,在区间,内各有一个根。,解：,设,则,f (x) 在区间,上满足零点定理，,使得,即，,是方程的三个根。,又因三次方程最多有三个根，因此,恰为三个根。,内容小结,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,2.间断点的类型,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数仍连续,一切初等函数在定义区间内连续,