5-椭球面的几何特征与测量计算

1、第五章 地球椭球及 椭球面上的计算,大地测量学基础,山东科技大学测绘学院大地测量系,大地测量学基础,地球椭球面作为计算的基准面,1、地球椭球要素（点，线、面等）的几何特征及其数学性质 地球椭球及其定位,椭球面的法截线及其曲率半径,椭球面上的弧长计算,2、观测元素由地面化算至椭球面,3、椭球面上的三角形解算和大地坐标计算,问题：,第一节 地球椭球及其定位,大地测量学基础,测量的外业工作-地球表面（对地球表面进行观测） 无法进行严密的测量计算,地球椭球-在其表面完成测量计算工作 一个大小和形状最接近于地球的规则形体,用椭球来表示地球必须解决2个问题： 一是椭球参数的选择； 二是确定椭球与地球的相关

2、位置，即椭球的定位。,第一节 地球椭球及其定位,一、椭球的几何参数及其关系,大地测量学基础,椭 圆NESW,旋转轴NS,子午圈NRS,平行圈C-C,第一节 地球椭球及其定位,一、椭球的几何参数及其关系 椭圆的长半轴： a 椭圆的短半轴： b 椭圆的扁率：f 第一偏心率: e 第二偏心率：e,大地测量学基础,a、b称为长度元素,扁率反映了椭球体 的扁平程度,e和e反映椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁,F1,F2,第一节 地球椭球及其定位,一、椭球的几何参数及其关系 第一偏心率: 第二偏心率： 扁率: 偏心距：,大地测量学基础,关系：,由前面式子得：,并得：,推得：,同理 可得：,地球椭球参

3、数间的相互关系,第一节 地球椭球及其定位,大地测量学基础,第一节 地球椭球及其定位,一、椭球的几何参数及其关系,几种椭球几何参数,大地测量学基础,我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐标系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是WGS-84系椭球参数。,第一节 地球椭球及其定位,二、垂线偏差及其基本公式 垂线偏差地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间的夹角。 垂线偏差 的分量 子午圈分量 和卯酉圈分量,大地测量学基础,P1P2为椭球短轴，Q1Q2为赤道面，在椭球面上有一测站O， 将O点法线O1O向上延伸得到大地天顶Z，令OP

4、平行于O1P1,则弧ZP=90-B。,第一节 地球椭球及其定位,二、垂线偏差及其基本公式 垂线偏差地面一点上，铅垂线方向和相应的椭球面法线方向之间的夹角。 垂线偏差 的分量 子午圈分量 和卯酉圈分量 =-B =(-L)cos A=-(-L)sin=-tan,大地测量学基础,第一节 地球椭球及其定位,大地测量学基础,第一节 地球椭球及其定位,大地测量学基础,OZ1为过O的铅垂线，Z1为天文天顶，ZOZ1=u，即为O点垂线偏差。弧Z1P=90-。 ZPZ1=-L。,第一节 地球椭球及其定位,大地测量学基础,第一节 地球椭球及其定位,大地测量学基础,天文方位角与大地方位角之间的关系,第一节 地球椭球

5、及其定位,三、椭球的定位 椭球定位将一定参数的椭球与大地体的相关位置固定下来，确定测量计算基准面的具体位置和大地测量起算数据。 椭球定位包括定位和定向两个方面，定位指确定椭球中心的位置，定向则指椭球坐标轴的指向。 从数学上讲，椭球的定位和定向就是确定大地直角坐标系相对于地心坐标系的平移量和旋转角，即三个平移参数 和三个旋转角度 。 经典大地测量难以获得这六个参数，椭球定位一般都是通过大地原地的天文观测来实现的。,大地测量学基础,第一节 地球椭球及其定位,三、椭球的定位 椭球的定位一般满足一下三个条件： 椭球的短轴与某一指定历元的地球自转轴相平行； 起始大地子午面与起始天文子午面相平行； 在一定

6、区域范围内，椭球面与大地水准面（或似大地水准面）最为密和。 前两个条件为定向条件，,大地测量学基础,第一节 地球椭球及其定位,三、椭球的定位,大地测量学基础,条件: 椭球定位通过大地原点的天文观测实现。 对于大地原点：B0= 0-0, L0= 0-0sec0 A0= 0-0tan0, H0= H0常+0 初期定位时，0，0，0未知，可取为0。 根据大地测量和天文测量数据，在 条件下，求出原点的0，0，0值。 (ksi克西)，（eit艾塔），（zat截塔） 单点定位，多点定位,第二节 椭球面上法截线曲率半径,基本概念 法截面包含曲面一点法线的平面。 法截线法截面与曲面的截线。 子午圈包含短轴的平

7、面与椭球面的交线。 卯酉圈与椭球面上一点子午圈相垂直的法截线，为该点的卯酉圈。 平行圈垂直于短轴的平面与椭球面的交线。,大地测量学基础,第二节 椭球面上法截线曲率半径,一、平行圈半径r与卯酉圈曲率半径N的关系,大地测量学基础,第二节 椭球面上法截线曲率半径,一、平行圈半径r与卯酉圈曲率半径N的关系,大地测量学基础,由麦尼厄定理：,第二节 椭球面上法截线曲率半径,大地测量学基础,卯酉圈曲率半径,第二节 椭球面上法截线曲率半径,二、子午圈曲率半径M,大地测量学基础,第二节 椭球面上法截线曲率半径,大地测量学基础,曲面上任一点的切平面上，存在两个垂直的特殊方向，使法截线的曲率达到最大值和最小值。 这

8、两个方向称为主方向，其相应的法截线曲率称为主曲率，法截线曲率半径称为主曲率半径。 卯酉圈曲率半径N最大，子午圈半径M最小，任一点的卯酉圈和子午圈的切线方向，就是椭球面在该点的主方向，其曲率半径N和M称为主曲率半径。 椭球面上任一点处的平行圈与卯酉圈具有公共切线，所以，经线和纬线上每一点的切线都是椭球面在该点主方向。,第二节 椭球面上法截线曲率半径,大地测量学基础,第二节 椭球面上法截线曲率半径,二、子午圈曲率半径M,表 M、N随B变化的规律,大地测量学基础,第二节 椭球面上法截线曲率半径,三、任意方向法截线曲率半径RA,大地测量学基础,和,、,、,（1）相对于主方向对称位置的法截线具有相同的曲

9、率半径。,(2)椭球面上任一点相互垂直的两个法截线曲率之和是固定值， 且等于两个主方向曲率之和。,法截线具有下列特性,第二节 椭球面上法截线曲率半径,四、平均曲率半径,大地测量学基础,设,则,第二节 椭球面上法截线曲率半径,四、平均曲率半径 此时积分限要作相应变更：当A=0时，t=0； 时， 。 照此换元后，经积分得到下式，,五、曲率半径的数值计算公式,大地测量学基础,第二节 椭球面上法截线曲率半径,五、曲率半径的数值计算公式,大地测量学基础,六、M，N，R的关系 N R M N90= R90= M90= c,第二节 椭球面上法截线曲率半径,大地测量学基础,第三节 椭球面上弧长计算,一、子午圈

10、弧长公式 （用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算） 1、计算B=0到B的子午圈弧长X 由M=dX/dB得： 将 代入上式，从0到B积分，可得X。 可知，X是B的函数。,大地测量学基础,第三节 椭球面上弧长计算,一、子午圈弧长公式 （用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算） 2、计算已知纬度B1和B2之间的子午圈弧长X （1）分别计算0到B1和0到B2之间的子午圈弧长X1和X2，然后求X=X2-X1； （2）用上述积分式求B1B2之间的子午圈弧长X。,大地测量学基础,第三节 椭球面上弧长计算,二、平行圈弧长 平行圈是一个半径等于 r=NCOSB的圆，纬度B处经度L1L2之间的平行圈弧长,大地测

11、量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,一、相对法截线,大地测量学基础,假定经纬仪的纵轴同A，B两点的法线重合（忽略垂线偏差），如此以两点为测站，则经纬仪的照准面就是法截面。用A点照准B点，则照准面同椭球面的截线为a，叫做A点的正法截线，或B点的反法截线；同理，由B照A点，则照准面同椭球面的截线为b，叫做B点的正法截线，或A点的反法截线。因法互不相交，故和这两条法截线不重合。我们把和叫做A、B两点的相对法截线。,第四节 地面观测值归算至椭球面,一、相对法截线 设Q1和Q2两点既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它们的法线Q1n1和Q2n2不相交。法截线Q1m1Q2和Q2m2Q1称为两点间

12、的相对法截线。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,一、相对法截线 正反法截线之间的夹角： 令Bm=45，A=45，不同距离S求得的值为： S 100km 0.042 60km 0.015 30km 0.004 在长距离的测量中，对向观测所得3个内角不能组成闭合三角形，需在两点间选择一条单一曲线大地线。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,二、大地线及其几何特征 1、大地线曲面上两点间的最短曲线。 或：大地线是曲面上的一条曲线，该曲线上每一点处的密切平面都包含曲面在该点的法线。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,二、大地线及其几何特征 2、大地线几何特征

13、大地线与相对法截线间的夹角为=/3。 大地线与相对法截线间的长度之差甚微，600km时二者之差仅为0.007mm。 两点位于同一条子午圈上或赤道上，则大地线与子午圈、赤道重合。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,二、大地线及其几何特征,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,三、大地线微分方程和克莱劳方程 大地线的解析特性表述dB、dL、dA与dS的关系： 大地线的三个微分方程：,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,三、大地线微分方程和克莱劳方程 大地线的解析特性表述dB、dL、dA与dS的关系： 大地线的克莱劳方程 ：,rsinA=常数 对于椭球面上一大地线

14、而言，每点处平行圈半径与该点处大地线方位角正弦的乘积是一个常数。,大地测量学基础,利用这个关系式可以检查纬度与方位角计算的正确性,第四节 地面观测值归算至椭球面,四、地面观测方向归算至椭球面-三差改正 1、垂线偏差改正1 2、标高差改正2 3、截面差改正3,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,四、地面观测方向归算至椭球面 1、垂线偏差改正1 将地面测站点铅垂线为基准的观测方向换算成椭球面上以法线为准的观测方向，其改正数1为： 1= -（sinA-cosA）tan 例：A=0，tan=0.01，=5，则1=0.05。 垂线偏差改正数的大小主要取决于测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（

15、或没垂直角）。仅在国家一、二等三角测量计算中，才规定加入此项改正。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,四、地面观测方向归算至椭球面 2、标高差改正2 因照准点 B高出椭球面某一高度 H2，使得在A点照准B点的法截线Ab与Ab之间有一夹角2。 B2 照准点的大地纬度； A1 测站点至照准点的大地方位角；,大地测量学基础,H2 照准点高出椭球面的高程； M1 测站点子午圈曲率半径。,例：A1=45，B2=45，H2=2000m， 1=0.1局部地区的控制测量一般不必考虑此项改正。,第四节 地面观测值归算至椭球面,四、地面观测方向归算至椭球面 3、截面差改正3 将椭球面上法截线方向换算

16、为大地线 方向所加的为截面差改正数3。 例：A1=45，Bm=45，S=30km,3=0.001,大地测量学基础,截面差改正主要与测站点至照准点间的距离有关。 只有在国家一等三角测量计算中，才进行改正。,第四节 地面观测值归算至椭球面,五、地面观测距离归算至椭球面 设A、B两点的大地高分别为H1,H2，h=H2-H1，d为空间直线长。由三角形AOB按余弦公式可得： 弦长 弧长,大地测量学基础,方法一：按球面三角形解算公式 方法二：将球面三角形改化为对应边相等的平面三角形， 按平面三角公式解算三角形求得球面边长。,第四节 地面观测值归算至椭球面,六、椭球面上的三角形解算 目的将方向观测值和起算边

17、长归算到椭球面上后， 在椭球面上解算未知边长。,大地测量学基础,球面三角形球面角超 ， 为三角形面积。,第四节 地面观测值归算至椭球面,六、椭球面上的三角形解算 目的将方向观测值和起算边长归算到椭球面上后，在椭球面上解算未知边长。,大地测量学基础,第四节 地面观测值归算至椭球面,大地测量学基础,球面三角形：,第四节 地面观测值归算至椭球面,大地测量学基础,平面三角形：,令：,则：,第五节 椭球面上大地问题解算,大地测量学基础,一、概述,大地元素： 大地经度L， 大地纬度B， 大地线长度S， 正反大地方位角A12、A21,第五节 椭球面上大地问题解算,（一）解算内容 大地问题正解已知P1点大地坐

18、标（B1，L1）、P1P2大地线长S和大地方位角A1，推求P2点大地坐标（B2，L2）和大地方位角A2。 大地问题反解已知P1P2两点的大地坐标（B1，L1）、（B2，L2）反算P1P2的大地线长S和大地方位角A1、A2。,大地测量学基础,一、概述,第五节 椭球面上大地问题解算,一、概述 （二）解算方法 1、按解算的距离分为短距离（400km)、中距离（4001000km)和长距离（10002000km)的解算。 2、直接解法和间接解法 直接解法直接解求点B、A和相邻起算点的大地经差。 长距离 间接解法先求大地经差、纬差和大地方位角差，再加入到已知点的相应大地数据中。主要用于短距离大地问题的解

19、算。 短距离,大地测量学基础,按照台劳级数将P1和P2两点的纬差b、经差l和方位角差展开成为大地线长度S的幂级数，称为勒让德级数式。,第五节 椭球面上大地问题解算,大地测量学基础,勒让德级数式：,一、概述 （二）解算方法,第五节 椭球面上大地问题解算,一、概述 （二）解算方法 3、高斯平均引数大地问题解算公式（间接解法，适用于短距离）。 基本思路：（在大地线的中点（S/2）处展开） a、按照平均引数展开的台劳级数把大地线两端点的经差、纬差和方位角差各表示为大地线长S的幂级数； b、利用大地线微分方程推求幂级数中各阶导数，最终得到大地问题解算公式。,大地测量学基础,第五节 椭球面上大地问题解算,二、高斯平均引数公式 （一）按平均