第三章离散傅氏变换.ppt

1、第三章,离散傅氏变换,离散信号的傅氏变换即序列的傅氏变换。,且X(ejw)是的连续函数周期为2,问题的提出：能否使连续函数离散化,离散傅氏变换（DFT：Discrete Fourier Transform）,即DFT就是将离散信号的傅氏变换再离散化 为导出DFT，先讨论周期序列的离散傅氏级数（DFS： Discrete Fourier Series）,3.1 离散傅氏级数和离散傅氏变换,一、周期序列的离散傅氏级数 设xa(t)是一有限时宽信号，时宽为Tm，其频谱也是经过限带处理的Xa()，其最高频率为m。如图:,对时域信号抽样，则抽样信号频谱为： （Xa()的周期延拓）,周期s=2/Ts 应满

2、足s2m，即TsTm/2，才使频谱不混叠。,且,同理对频谱Xa()取样，取样间隔1， 得到离散化频谱Xa(k1)。,频域取样导致时域信号的周期延拓，如图,其中，T1为 的周期，1=2/T1。,即有,由图可看出只要满足T1Tm，就不会出现混叠现象。,而,综合以上二者情况，同时在时域和频域抽样，结果是信号与频谱都被离散化，都成为周期序列，如图示：,结论：,任一域中数的取样映射到另一域中都为函数的周期性重复。 重复周期 = 2 / 取样间隔 s = 2 / Ts T1 = 2 / 1 Ts 时域抽样间隔。T1 时域重复周期。 1频域抽样间隔。s 频域重复周期。,时域抽样间隔Ts，使连续量t变为离散量

3、nTs。设T1=NTs，则以T1为周期的时域连续函数,可找到如下关系：,离散化为以N为周期的离散信号,定量分析：,或,将式3.1与3.2离散化,令,则有,对于k和n都是以N为周期的函数,以s为周期的频域连续函数,离散化为以N为周期的离散序列,即连续变量变为离散量k 1（ s=N 1）,或,其中,则，式3.1离散化为,其中Xa(k1)是,上式可改为用,，则有,的一个周期,的一个周期0N-1表示,式3.2,亦为N的周期函数。,其中,离散化为,离散化后为： （积分变求和）,是 Xa (k1)的周期延拓，且k是以N为周期的，故也可用上式表示，且有,可导出,将3.3与3.4做归一化处理,式3.5与3.6

4、称为周期序列的离散傅氏级数表示式,正变换,(离散频谱序列),(离散信号序列),反变换,二、离散傅氏变换（DFT）的导出,模的概念：用(n)N 表示（n模N） 数学上就是n对N取余，令n=n1+mN，则有 (n)N =n1,是周期为N=9的序列，求n=25，n=-5两数对N的余数,例：,n = 25 = 29+7 故(25)9 = 7 n = -5 = -1 9+4 故(-5)9 = 4,设x(n)是个长度为N的序列，即在0nN-1区间内，有非零值,利用矩形序列,可有,或,有,或,0nN-1 称为主值区间,（或称为 的主值序列）,二者关系与x(n)和 相同；,同理，以N为周期的频域序列,或,或,

5、也可看成是对有限长序列X(k)的周期延拓。,即有,在式3.5与3.6中看到，虽然是对周期序列求和，但求和范围都是其主值区间。 故完全适用于主值序列X(k)与x(n)，因而可得到新的定义。,已知离散傅氏级数,定义：有限长序列的离散傅氏变换,处理的信号是有限时宽的，其频谱也是限带的;,且要求 与 无混叠现象;,要保证T1Tm(1m)和s2m,注意：,3.2 DFS与DFT的性质,且,设 、 与 都是周期为N的序列,1、线性,其中a、b为任意常数，,所得到的频域序列也是周期序列，周期为N,一、DFS性质,2、序列的移位（循环移位）,时域,证明：,令 i=n+m，得 n=i-m,频域移位,证明：,令k

6、+l=i，则上式,3、调制特性,4、周期卷积,即,若,则,即,则,如果,证明：,代入,则,周期卷积的计算（作图法）,序列的线性卷积与周期卷积之间的几点区别, 线性卷积对参与卷积的两序列无要求； 周期卷积要求卷积两序列是周期相同的。 线性卷积求和范围由两序列长度和所在区间决定； 周期卷积求和范围是一个周期。 线性卷积得到的序列长度由两序列决定； 周期卷积的结果仍是周期序列。 对于周期DFS有：时域相乘，频域卷积（周期） 频域相乘，时域卷积（周期）,周期均为N,其中,5、对称性,共轭对称和共轭反对称概念对周期序列也适用。,实序列的DFS是共轭对称的,实序列DFS的模与实部是偶函数，幅角与虚部是奇函

7、数,偶分量,奇分量,二、DFT性质,设,1、线性,说明：若x1(n)与x2(n)长度都为N，并在 0N-1内有值，则结果长度也是N,若x1(n)长度为N1，x2(n)为N2，则结果的长度 N = maxN1，N2 计算时，以N序列长度，时宽不够要补零,2、序列的循环移位（圆周）,某有限长序列x(n)，长度为N，求循环左移3位后的序列x1(n)。,一个有限长序列x(n)的循环移位是指用它的长度N为周期，,延拓成周期信号,，并将其加以移位，,然后取主值区间0nN-1上的序列值。,例3-2-1:,(1)周期延拓,(3)取主值区间,(2)左移3位,得到x1(n),同理，设X2(k)是X(k)向左循环移

8、l位得到的序列， 则有,循环移位后的DFT 设x1(n)是x(n)向左循环移m位得到的序列， 则有,证明：,利用DFS的移位性质,因此,再利用DFS与DFT的关系,由于,3、对称性 周期共轭对称分量 xep(n) 周期共轭反对称分量xop(n),由于有,定义：,可导出,对于频域序列有完全类似的定义。,性质,假设,综上所述可得到 x(n)与X(k)的 奇偶虚实关系,x(n)与X(k)的奇、偶、虚、实关系,4、帕塞瓦定理（DFT形式）,结论：当处理有限长序列(N)的问题时，如果所涉及区间超出了主值区间(0N-1)，都应将有关序列延拓成周期序列，进行相关处理，最后截断为有限长序列，即保留主值区间的结

9、果，令其它区间值为零。,3.3 Z变换和离散傅氏变换的关系,Z变换与DFT(或DFS)的关系是取样和内插的关系。 一、已知序列的傅氏变换就是单位圆上的Z变换。 离散傅氏变换是对序列傅氏变换的离散化， 即对单位圆Z变换的离散化。 那么DFT是其Z变换在单位圆上的采样。,设x(n)是一长度为N的有限序列，,其Z变换为,则其DFT为,显然，极点为z=0，收敛域包含单位园,在z平面上，我们将单位圆 z=ej (0 2)进行N等分， 如图,即令,k = 0-1,将 代入X(z),结论：有限长序列的DFT是其Z变换在单位圆上的采样。,即绕单位圆一圈一圈地对z变换进行取样，就得到,令,k由-+重复0N-1，

10、,如果将x(n)作为 的一个周期,且有,二、X(z)可由X(k)通过一个内插式精确的恢复,对括号内求和,用IDFT代入x(n),为内插函数,WN-Nk = 1,其中,所以x(n)的Z变换也可由DFT求得。,3.4 循环卷积及其应用（DFT重要性质之一）,一、循环卷积（圆周卷积） 1、设x1(n)与x2(n)是两个长度为N的有限长序列， 则循环卷积y(n)为,即有限长序列x1(n)与x2(n)的循环卷积就是周期序列 与 周期卷积的主值序列。,循环卷积的结果仍然是N点序列,满足交换律,设,则,若有,则,若有,2、性质,作图法：同周期卷积，然后取主值区间序列值。 同心圆法：,将x1(n)和x2(n)

11、分布在两个同心圆上，内圆按顺时针方向刻度x1(n)，,外圈旋转方向,3、计算方法：,将对应值相乘后并相加得到y(0) 将外圆顺时针转一位，相乘再加，得到y(1)，,外圆按逆时针方向刻度x2(n)， 并使x1(0)与x2(0)对齐。,一直转N-1位，求得y(N-1),例3-4-1设x1(n)=1,2,3,4,5，x2(n)=6,7,8,9，计算5点循环卷积,解：x2(n)为4点，在其尾部填零使其成为5点序列， x2(n)=6,7,8,9,0,画同心圆,y(0)=1*6+2*0+3*9+4*8+5*7=100,y(1)=1*7+2*6+3*0+4*9+5*8=95,y(2)=1*8+2*7+3*6

12、+4*0+5*9=85,y(3)=1*9+2*8+3*7+4*6+5*0=70,y(4)=1*0+2*9+3*8+4*7+5*6=100,y(n)= 100,95,85,70,100 ,利用循环移位特性,写成矩阵形式,矩阵法（类似序列排列法）,y(n)= 19 , 13 , 22 ,例3-4-2设x1(n)= 1 , 2 , 3 x2(n)= 4 , 5 ，计算3点循环卷积,解：x2(n)为2点，在其尾部填零使其成为3点序列， x2(n)= 4 , 5 , 0 ,矩阵法,二、循环卷积的应用,1、用循环卷积求线性卷积 设x(n)是长度为K点的有限长序列，h(n)是长度为M的有限长序列。则二者线性

13、卷积 y(n)=x(n)*h(n) 的长度为N=M+K-1。 若将x(n)与h(n)均补零，使其增长为N点序列，再进行N点循环卷积,其中,结论：N点的循环卷积是线性卷积以N为周期的周期延拓 的主值序列。 当NM+K+1时，有yN(n)= y(n) 若NM+K+1时，则产生混叠现象（失真）。,为线性卷积y(n)以N为周期的周期延拓。,例3-4-3：已知输入序列x(n)和系统单位冲激响应h(n)如图， 试求其输出序列y(n),解：y(n)= x(n)*h(n) 序列排列法 x(n)= 1 , 1 , 1 , 1 , 1 h(n)= 1 , 1 , 1 ,1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

14、1 1 1 1,x(0) x(1) x(2) x(3) x(4) 1 1 1 1 1,h(2) h(1) h(0) 1 1 1,长度为N=M+K-1=7,1 1 1,y(0)=1,y(1)=2,y(2)=3 y(3)=3 y(4)=3 y(5)=2 y(6)=1,循环卷积： 将x(n)与h(n)均补零，使之增长为N=3+5-1=7点的序列,x(n),h(0) h(6) h(5) h(4) h(3) h(2) h(1),x(n)= 1,1,1,1,1,0,0 h(n)= 1,1,1,0,0,0,0 ,重叠相加法 设h(n)的长度为M，x(n)是长序列，将x(n)分为L段，每段长度为N，将每段分别

15、与h(n)进行线性卷积，然后将结果重叠相加。,设x(n)分为L段 x0(n), x1(n), xk(n), xL-1(n),xk(n)表示为,2、长序列的分段卷积,则有,注意：每一段yk(n)的长度为M+N-1，简单相加(M+N-1)L点 如果不分段卷积结果长度应为NL+M-1 所以不是简单相加而是重叠相加。 每段卷积的最后M-1个点必然和下一段最前面的M-1个点重合,例3-4-4：已知输入 x(n) 和单位冲激响应 h(n)，如图,K=5,解：序列x(n)为18点， 可分成4段，每段为5点长，M+K-1=7,每段计算用线性卷积或循环卷积都可,分别 求得,重叠相加,设h(n)长度为M，x(n)

16、是长序列，将x(n)分为L段，每段长度K 将第一段前面补零，使其长度为M+K-1点，其余各段前面M-1个点均保留 x(n)对应的值，长度亦为M+K-1点； 分段进行M+K-1点循环卷积，舍去每段前M-1个值，相加； 例3-4-5：已知输入 x(n) 和单位冲激响应 h(n)，如图,重叠保留法,K=5,前面保留M-1=2点,第一段前面补零M-1=2点,M+K-1=7,x0(n)=0,0,1,1,1,1,1,x1(n)=1,1,1,1,1,1,1,x2(n)=1,1,1,1,1,1,1,x3(n)=1,1,1,1,1,0,0,舍去,舍去每段前M-1=2个值,两种方法结果相同 注意：重叠保留法的要点,舍去相加,3.5 用DFT求线性卷积,若,则,设,利用DFT来减化计算工作量,循环卷积yN(n)在一定