概率与数理统计历年考研试题及解答(数一、数三、数四)

1、概率与数理统计历届真题第一章 随机事件和概率数学一：1（87，2分）设在一次试验中A发生的概率为p，现进行n次独立试验，则A至少发生一次的概率为；而事件A至多发生一次的概率为。2（87，2）三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。3（88，2分）设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于，则事件A在一次试验中出现的概率为。4（88，2分）在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数

2、之和小于”的概率为。5（89，2分）已知随机事件A的概率P（A）=0.5，随机事件B的概率P（B）=0.6及条件概率P（B | A）=0.8，则和事件AB的概率P（AB）=。6（89，2分）甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为。7（90，2分）设随机事件A，B及其和事件AB的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若表示B的对立事件，那么积事件A的概率P（A）=。8（91，3分）随机地向半圆0y(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比。则原点与该点的连线与x轴的夹角小于的概率为。9（92，3分）已知P

3、（A）=P（B）=P（C）=，则事件A、B、C全不发生的概率为。10（93，3分）一批产品有10个正品和2个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为。11（94，3分）已知A、B两个事件满足条件P（AB）=P（），且P（A）=p，则P（B）= 。12（96，3分）设工厂A和工厂B的产品的次品率分别为1%和2%，现从由A厂和B厂的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，则该次品是A厂生产的概率是 。13（97，3分）袋中有50个乒乓球，其中20个是黄球，30个是白球。今有两人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率是

4、。14（98，3分）设A、B是两个随机事件，且0P(A)0, P(B | A)=P(B | )，则必有（A）P（A | B）= P(|B)（B）P（A | B）P(|B)（C）P（AB）= P(A)P（B）（D）P（AB）P(A)P（B）15（99，3分）设两两相互独立的三事件A，B和C满足条件；ABC=，P（A）=P（B）=P（C），且已知，则P（A）=。16（00，3分）设两个相互独立的事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P（A）=。17（06，4分） 设为随机事件，且，则必有（A）（B）（C）（D） 数学三：1（87，2分）若二事件A和B同时出现

5、的概率P（AB）=0，则（A）A和B不相容（互斥）。（B）AB是不可能事件。（C）AB未必是不可能事件。（C）P（A）=0或P（B）=02（87，8分）设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求（1） 先取出的零件是一等品的概率p;（2） 在先取出的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q。3（88，2分）设P（A）=0.4, ，那么（1）若A与B互不相容，则P（B）=；（2）若A与B相互独立，则P（B）=。4（88，2分）（是非题）若事件A，B，C

6、满足等式，则A=B（）。5（88，7分）玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。6（89，3分）以A表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为：（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。（B）“甲、乙两种产品均畅销”。（C）“甲种产品滞销”。（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。 7（90，3分）一射手对同一目标独立地进行4次射击，若至少命中

7、一次的概率为，则该射手的命中率为。8（90，3分）设A、B为二随机事件，且，则下列式子正确的是（A）（B）（C）（D）9（90，4分）从0，1，2，9等10个数字中任意选出3个不同的数字，求下列事件的概率：A1=三个数字中不含0和5；A2=三个数字中不含0或5。10（91，3分）设A和B是任意两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：（A）不相容。（B）相容。（C）。（D）11（92，3分）将C，C，E，E，I，N。S这七个字母随机地排成一行，则恰好排成SCIENCE的概率为。12（92，3分）设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则（A）（B）（C）（D）13（93，3分）设

8、两事件A与B满足，则（A）A是必然事件。（B）。（C）。（D）。14（94，3分）设，则事件A和B（A）互不相容。（B）互相对立。（C）不独立。（D）独立。15（95，8分）某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求（1） 全部能出厂的概率；（2） 恰有两台不能出厂的概率；（3） 至少有两台不能出厂的概率。16（96，3分）已知且，则下列选项成立的是（A）（B）（C）（D）17（96，6分）考虑一元二次方程其中B、C分别是将一枚骰子连掷两次

9、先后出现的点数，求该方程有实根的概率p和有重根的概率q。18（98，9分）设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份和5份。随机地取一个地区的报名表，从中先后抽出两份（1） 求先抽到的一份是女生表的概率p；（2） 已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q。19（00，3分）在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的。在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以E表示事件“电炉断电”，而为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于（A）（B）（C）（D）20（03，4分）将一枚硬币独立地

10、掷两次，引进事件：=掷第一次出现正面，=掷第二次出现正面，=正、反面各出现一次，=正面出现两次，则事件（A）相互独立。（B）相互独立。（C）两两独立。（D）两两独立。数学四：1（87，2分）对于任意二事件A和B，有P（A-B）=（A）P（A）-P（B）。（B）P（A）-P（B）+P（AB）。（C）P（A）-P（AB）。（D）P（A）+P（）-P（A）。2（87，8分）设有两箱同种零件：第一箱内装50件，其中10件一等品；第二箱内装30件，其中18件一等品。现从两箱中随机挑出一箱，然后从该箱中先后随机取出两个零件（取出的零件均不放回）。试求：（1） 先取出的零件是一等品的概率p；（2） 在先取出

11、的是一等品的条件下，后取出的零件仍然是一等品的条件概率q.3（88，2分）设P（A）=0.4, P(AB)=0.7，那么（1）若A与B互不相容，则P（B）=；（2）若A与B相互独立，则P（B）=。4（88，2分）（是非题）若事件A，B，C满足等式AC=BC，则A=B。（）5（88，7分）玻璃杯成箱出售，每箱20只。设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只：若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求：（1） 顾客买此箱玻璃杯的概率；（2） 在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。6（89，3分）以A

12、表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件为：（A）“甲种产品滞销，乙种产品畅销”。（B）“甲、乙两种产品均畅销”。（C）“甲种产品滞销”。（D）“甲种产品滞销或乙种产品畅销”。7（90，4分）从略，1，2，9等十个数字中任意选出3个不同的数字，求下列事件的概率：A1=三个数字中不含0和5；A2=三个数字中含0但不含5。8（91，3分）设A、B为随机事件，P（A）=0.7，P（A-B）=0.3，则P（）= 。9（91，3分）设A和B是任意两个概率不为0的互不相容事件，则下列结论中肯定正确的是：（A）与不相容。（B）与相容。（C）P（AB）=P（A）P（B）（D）P（A-B）=P（A）

13、 10（92，3分）设A，B，C为随机事件，P（A）=P（B）=P（C）=，P（AB）=P（BC）=0， P（AC）=，则A，B，C至少出现一个的概率为。11（92，3分）设当事件A与B同时发生时事件C也发生，则（A）P（C）=P（AB）。（B）P（C）=P（AB）（C）P（C）P（A）+P（B）-1。（D）P（C）P（A）+P（B）-1。 12（93，3分）设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为。13（94，3分）设一批产品中一、二、三等品各占60%、30%、10%，现从中任了一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为

14、。14（94，3分）设0P（A）1，0P（B）1，P（A | B）+P（| ）=1，则事件A和B（A）互不相容。（B）互相对立。（C）不独立。（D）独立。 15（95，8分）某厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂，以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格产品不能出厂。现该厂新生产了n(n2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立），求（1） 全部能出厂的概率;（2） 恰有两台不能出厂的概率；（3） 至少有两台不能出厂的概率。16（96，3分）设A，B为随机事件且AB，P（B）0，则下列选项必然成立的是（A）P（A）P（A | B）。（B）P（A）P

15、（A | B）。（C）P（A）P（A | B）。（D）P（A）P（A | B）。 17（97，3分）设A，B是任意两个随机事件，则P（+B）（A+B）（+）（A+）=。18（98，3分）设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=时，成功次数的标准差的值最大，其最大值为。19（98，3分）设A，B，C是三个相互独立的随机事件，且0P（C）1。则在下列给定的四对事件中不相互独立的是（A）与C。（B）与。（C）与。（D）与。20（00，3分）设A，B，C三个事件两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件是（A）A与BC独立。（B）AB与AC独立。（C）AB与AC独立。（D）AB与A

16、C独立。21（00，3分）在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电。以E表示事件“电炉断电”，设T（1）T（2）T（3）T（4）为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E等于事件（A）T（1）t0.（B）T（2）t0.（C）T（3）t0.（D）T（4）t0.22（01，3分）对于任意二事件A和B，与AB=B不等价的是（A）AB。（B）（C）。（D）。23（02，8分）设A，B是任意二事件，其中0P（A）1。证明：P（B | A）=P（B | ）是A与B独立的充分必要条件。24（03，4分）对行任意二事件A和

17、B，（A） 若AB，则A，B一定独立。（B） 若AB，则A，B有可能独立。（C） 若AB=，则A，B一定独立。（D） 若AB=，则A，B一定不独立。25（06，4分）设为两个随机事件，且，则有（ ）（A）（B）（C）（C）考研数学概率与统计历年真题答案第一章数学一：1.2. 3. 4. 5.0.7 6. 7.0.3 8. 9. 10. 11. 1-p 12. 13. 14.(C) 15. 16. 17. (C)数学二：1.(C)2.; 0.486 3.0.3; 0.54.非 5.0.943; 0.8486.(D) 7.8.(A) 9.10.(D)11. 12.(B) 13.(D) 14.(D)

18、15.0.94n; 16.(B) 17. 18. 19. (C) 20. (C)数学四：1.(C) 2.; 0.486 3.0.3; 0.54.非 5.0.943; 0.8486. (D) 7.8.0.69.(D)10. 11.(D) 12. 13.14.(D)15.0.94; 16.(B) 17.0 18.; 5 19.(B) 20.(A) 21.(C) 22.(D) 23.(B) 24. (B) 25. (C)第二章 随机变量及其分布数学一：1（88，2分）设随机变量X服从均值为10，均方差为0.02的正态分布上。已知则X落在区间（9.95, 10.05）内的概率为。2（88，6分）设随机

19、变量X的概率密度函数为，求随机变量Y=1-的概率密度函数。3（89，2分）设随机变量在区间（1，6）上服从均匀分布，则方程有实根的概率是。4（90，2分）已知随机变量X的概率密度函数，则X的概率分布函数F（x）=。5（93，3分）设随机变量X服从（0，2）上的均匀分布，则随机变量在（0，4）内的概率分布密度。6（95，6分）设随机变量X的概率密度为求随机变量的概率密度。7（02，3分）设随机变量X服从正态分布，且二次方程无实根的概率为，则。8（04，4分） 设随机变量X服从正态分布N(0,1)，对给定的，数满足，若，则等于(A) . (B) . (C) . (D) . 9（06，4分） 设随机

20、变量服从正态分布，服从正态分布，且（A）（B）（C）（D） 数学三：1（87，2分）（是非题）连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0。2（87，4分）已知随机变量X的概率分布为PX=1=0.2，PX=2=0.3, PX=3=0.5试写出其分布函数F(x).3（88，6分）设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量的概率密度f(y)。4（89，3分）设随机变量X的分布函数为则A=，=。5（89，8分）设随机变量X在2，5上服从均匀分布，现在对X进行三次独立观测，试求至少有两次观测值大于3的概率。6（90，7分）对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布

21、，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。附表：表中是标准正态分布函数。7（91，3分）设随机变量X的分布函数为则X的概率分布为。8（91，5分）一辆汽车沿一街道行驶，要过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且红、绿两种信号显示的时间相等。以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X的概率分布。9（92，7分）设测量误差XN（0，102）。试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求出的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。附表：10（93，8

22、分）设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为t的泊松分布。（1） 求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2） 求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q。11（94，3分）设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件出现的次数，则 。12（95，3分）设随机变量XN（，2），则随着的增大，概率（A）单调增大。（B）单调减小。（C）保持不变。（D）增减不定。13（97，7分）设随机变量X的绝对值不大于1，。在事件-1X1出现的条件下，X在区间（-1，1）内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比。试求X的分布函数。14（

23、00，3分）设随机变量X的概率密度为若的取值范围是。15（03，13分）设随机变量X的概率密度为16（04，4分） 设随机变量服从正态分布, 对给定的, 数满足, 若, 则等于(A) . (B) . (C) . (D) . 17（06，4分） 设随机变量X服从正态分布,随机变量Y服从正态分布,且,则必有 ( )(A)(B) (C) (D) 数学四：1（87，2分）（是非题）连续型随机变量取任何给定实数值的概率都等于0。（）2（88，6分）设随机变量X在区间1，2上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度f(y).3（89，3分）设随机变量X的分布函数为F(x)则A=，P|X|。4（89，

24、8分）某仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命（单位：小时）都服从同一指数分布，分布密度为f(x)=试求：在仪器使用的最初200小时内，至少有一只电子元件损坏的概率。5（90，7分）对某地抽样调查的结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。表中（x）是标准正态分布函数。6（91，7分）在电源电压不超过200V、在200240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压XN（220，252），试求（1） 该电子元件损坏的概率；（2）

25、该电子元件损坏时，电源电压在200240V的概率。表中（x）是标准正态分布函数。7（92，7分）设测量误差XN（0，102）。试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率，并用泊松分布求出的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。8（93，8分）设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为的泊松分布。（1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q。9（94，7分）设随机变量X的概率密度为f(x)=现对X进行n次独立重复观测，以Vn表示观测值不大于0.1的次数，试求随机变量Vn的

26、概率分布。10（95，3分）设随机变量XN（，2），则随着的增大，概率P|X-|（A）单调增大。（B）单调减小。（C）保持不变。（D）增减不定。11（95，7分）设随机变量X服从参数为2的指数分布，证明：Y=1-e-2X在区间（0，1）上服从均匀分布。12（96，3分）一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i个零件是不合格品的概率pi=(i=1，2，3)，以X表示3个零件中合格品的个数，则P（X=2）=。13（97，3分）设随机变量服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y服从参数为（3，p）的二项分布，若PX1=，则PY1=。14（97，8分）设随机变量X的绝对值不大于1，PX=

27、-1=，pX=1=，在事件-1X0的指数分布。当三个元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作。试求电路正常工作的时间T的概率分布。4（97，3分）设随机变量服从参数为（2，p）的二项分布，随机变量Y服从参数为（3，p）的二项分布，若PX0=，则PY1=。5（98，3分）设分别为随机变量X1与X2的分布函数。为使F(x)=aF1(x)-bF2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（A）（B）（C）（D）6（99，9分）设二维随机变量（X，Y）在矩形G=(X,Y)0x2,0y1上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s)。7（99，8分）已知随机

28、变量X1和X2的概率分布而且P X1X2 =0=1。（1） 求X1和X2的联合分布：（2） 问X1和X2是否独立？为什么？8（02，3分）设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为，分布函数分别为。则（A）必为某一随机变量的概率密度。 （B）必为某一随机变量的分布函数。（C）必为某一随机变量的分布函数。（D）必为某一随机变量的概率密度。9（04，13分） 设随机变量在区间上服从均匀分布，在的条件下，随机变量在区间上服从均匀分布，求() 随机变量和的联合概率密度；() 的概率密度； () 概率10（05，4分） 从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，X中任取一

29、个数，记为Y，则PY=2= .11（05，4分） 设二维随机变量（X，Y）的概率分布为YX 0 10 0.4a1 b 0.1若随机事件X=0与X+Y=1互相独立，则A、a=0.2, b=0.3B、a=0.1, b=0.4C、a=0.3, b=0.2D、a=0.4, b=0.1 12（05，13分） 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为求：（I）(X,Y) 的边缘概率密度（II）Z=2X-Y的概率密度（III） 13（06，4分） 设随机变量与相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 14（06，13分） 设二维随机变量（）的概率分布为 YX-101-100.200.10.2100.1其中为常数

30、，且的数学期望，记求：（1）的值（2）的概率分布（3）第三章 参考答案数学一：1.2. 3. 4. 5. 6. 7. (B)8. YX19. (D)10. 11. 12. B 13. ，14. 1/915. 16. 数学三：1. (C)2. 独立； 3. ; 1-24. 5. 6. (A)7. (A)8. (A)9. 10. 11. 12. a=0.4, b=0.1 13. ，14. 1/9 数学四：1. XY01200.160.320.160.6410.080.160.080.3220.010.020.010.040.250.50.2512. (A)3. 4. 5. (A)6. 7. (1)

31、 -101001001(2) 不独立8. (B) 9. (1) (2) (3) 10. 11.D 12. ，13. 1/9 14. ; 第四章 随机变量的数字特征数学一：1（87，2分）已知连续型随机变量X的概率密度为则EX=，DX=。2（89，6分）设随机变量X与Y独立，且XN（1，2），YN（0，1），试求随机变量Z=2X-Y+3的概率密度函数。3（90，2分）已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，且胡机变量Z=3X-2，则EZ=。4（90，6分）设二维随机变量（X，Y）在区域D：0X1, |y|x内服从均匀分布，求关于X的边缘概率密度函数及随机变量Z=2X+1的方差DZ。5（91，3分）设随机变量X服从均值为2、方差为的正态分布，且。6（92，3分）设随机变量X服从参数为1的指数分布，则。7（93，6分）设随机变量X的概率密度为（1） 求EX和DX；（2） 求X与|X|的协方差，并问X与|X|是否不相关？（3） 问X与|X|是否相互独立？为什么？8（94，6分）已知随机变量。（1） 求EZ和DZ；（2） 求X与Z的相关系数（3） 问X与Z是否相互独立？为什么？9（95，3分）设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0.