函数的单调性与最值ppt课件.ppt

1、4.3.1 函数单调的概念,我们在函数的基本性质中曾经讨论过函数的单调性问题，在此我们再次回顾一下函数单调的定义。 定义 设函数 f(x)在区间（a，b）上有定义，如果对于区间（a，b）内的任意两点 x1 ， x2 ，满足 （1）当 x1 x2 时，恒有 f(x1) f(x2)（或 f(x1) f(x2)）,则称函数 f(x)在开区间（a，b）内单调增（或严格单调增）； （2）当 x1 x2 时，恒有 f(x1) f(x2)（或 f(x1) f(x2)）,则称函数 f(x)在开区间（a，b）内单调减（或严格单调减）； 一般情况下，单调增函数的图形是一条沿 x 轴正向逐渐上升的曲线。单调减函数的

2、图形是一条沿 x 轴正向逐渐下降的曲线。 如果函数在其定义域内的某些子区间上是单调增的，而在另一些子区间上是单调减的，则称函数为分段单调函数。,天马行空官方博客： ；QQ:1318241189；QQ群：175569632,4.2.2 单调与导数的关系,在本段中，我们将考虑函数的单调性与导数符号之间的关系，利用这种关系，就可以应用导数的符号来研究函数的单调性。 定理 1 设函数 f(x)在闭区间 a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，则函数 f(x)在区间 a，b上单调增加（或单调减少）的充分必要条件是 f (x) 0（或 f (x) 0 ）； 证明：必要性。设函数 f(x)在区间 a，b上单

3、调增加，在区间（a，b）内任取两点x, x+x，有 （1）当x 0时，则 x x+x，从而 f(x+x) f(x)， 于是 f(x+x) - f(x) 0； （2）当x 0时，则 x x+x，从而 f(x+x) f(x)， 于是 f(x+x) - f(x) 0； 综合（1）、（2）即知，对任意的 x，恒有,从而有 充分性。设函数 f(x)在 开区间（a，b）内可导，且 f (x) 0，则对于开区间（a，b）内的任意两点 x1 ， x2 ，且设 x1 x2 ，由拉格朗日中值定理可知，有 由于 f () 0，因此， f( x2) f( x1)。即 f(x)为单调增加。 对于单调减少的情况类似可以证

4、明。 利用拉格朗日中值定理还可以证明 定理 2 设函数 f(x)在闭区间 a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，且 f (x) 0 （或 f (x) 0），则函数 f(x)在区间a，b 内严格单调增加（或严格单调减少）。,定理 3 设函数 f(x)在闭区间 a，b上连续，在开区间（a，b）内可导，且 f (x) 0（或 f (x) 0），同时 f (x)至多存在有限个零点， 则函数 f(x)在区间a，b 内仍为严格单调增加（或严格单调减少）。 有了这些结果以后，我们就可以利用导数的性质来判断函数的性质，这可以说是导数的一个重要应用。它通常包含三个典型的问题： （1）、求函数的单调区间； （2

5、）、证明不等式，通常是两项不等式； （3）、证明方程只有一个实根。,4.2.3 实 例 分 析,例 1 确定函数 的单调区间。 解：该函数的定义域为（-，），由于 当 x（-，1）时，有 f (x) 0，所以，函数 f(x)在这个区间内为严格单调增加。 当 x（1，2）时，有 f (x) 0，所以，函数 f(x)在该区间内为严格单调减少。 当 x（2，）时，有 f (x) 0，所以，函数 f(x)在这个区间内为严格单调增加。 函数的单调增区间和单调减区间统称为函数的单调区间。显然，x=1 和 x=2是函数 f(x)单调区间的分界点，且有 f (x) =0。,例 2 证明 。 证明：令 则 从而，当 x（0， ）时，函数 f(x)为严格单调增加。又由于 f(0) = 0，所以， f(x) f(0)=0，即不等式成立。 例 3 证明方程 sin x = x 只有一个实根。 证明：令 ，则 且仅在孤立点 x =2n时，有f (x)=0。从而，当 x（-， ）时，函数 f(x)为严格单调减少。又由于在